計(jì)量資料的區(qū)間估計(jì)

1、引 言 隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。 概率論的許多問(wèn)題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是在這已知是基礎(chǔ)上得出來(lái)的。 但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。1例如： 某公路上行駛車(chē)輛的速度服從什么分布是未知的； 電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的； 產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)合格率p是未知的； 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。2 從現(xiàn)在開(kāi)始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)

2、理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性作出合理的推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)所包含的內(nèi)容十分豐富，后面學(xué)習(xí)參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等內(nèi)容.包括數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本術(shù)語(yǔ)、基本概念、重要的統(tǒng)計(jì)量及其分布，它們是后面各章的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容32.1 計(jì)量資料的區(qū)間估計(jì) 2.1.1 隨機(jī)抽樣 統(tǒng)計(jì)工作統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)搜集資料整理資料分析資料選估計(jì),檢驗(yàn),回歸,設(shè)計(jì)方法按設(shè)計(jì)抽樣,搜集報(bào)表,試驗(yàn)對(duì)原始數(shù)據(jù)分組和歸納計(jì)算和統(tǒng)計(jì)處理,作出結(jié)論 2 計(jì)量資料分析4統(tǒng)計(jì)資料計(jì)量資料定量方法測(cè)得大小,連續(xù)總體分類(lèi)資料計(jì)數(shù)資料無(wú)序分類(lèi),離散等級(jí)資料有序分類(lèi),離散5樣本與統(tǒng)計(jì)量 總體與

3、樣本 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體（population)或母體，而把組成總體的每個(gè)單元稱(chēng)為個(gè)體。 抽樣 要了解總體的分布規(guī)律，在統(tǒng)計(jì)分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為抽樣。 6樣本與統(tǒng)計(jì)量 子樣 子樣 是n個(gè)隨機(jī)變量，抽取之后的觀測(cè)數(shù)據(jù) 稱(chēng)為樣本值或子樣觀察值。 在抽取過(guò)程中，每抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)總體X進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次抽取的n個(gè)個(gè)體 ，稱(chēng)為總體X的一個(gè)容量為n的樣本（sample）或子樣；其中樣本中所包含的個(gè)體數(shù)量稱(chēng)為樣本容量。7隨機(jī)抽樣方法的基本要求 獨(dú)立性即每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽樣的 結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。 滿(mǎn)足上述兩

4、點(diǎn)要求的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的抽樣方法叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 代表性即子樣( )的每個(gè)分量 與總體 具有相同的概率分布。 從簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的含義可知，樣本 是來(lái)自總體 、與總體 具有相同分布的隨機(jī)變量.8簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 例如：要通過(guò)隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來(lái)的總量中，則這是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時(shí)，可近似看成是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。9統(tǒng)計(jì)量 定義 設(shè)（ ）為總體X的一個(gè)樣本， 為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱(chēng) 為樣本（ ）的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。則 例如： 設(shè) 是從正態(tài)總體 中抽取的一個(gè)樣本，

5、其中 為已知參數(shù), 為未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量 不是統(tǒng)計(jì)量 10幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 樣本均值（sample mean)設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本，樣本方差(sample variance) 11樣本均方差或標(biāo)準(zhǔn)差 它們的觀測(cè)值用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示.反映總體X取值的平均，或反映總體X取值的離散程度。幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S樣本變異系數(shù) 12子樣的K階（原點(diǎn)）矩幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本，子樣的K階中心矩13它包括兩個(gè)方面數(shù)據(jù)整理 計(jì)算樣本特征數(shù)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理 為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過(guò)抽樣調(diào)查或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無(wú)章的，需要通過(guò)整理

6、后才能顯示出它們的分布狀況。數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)。14計(jì)算樣本特征數(shù)： 數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理 數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組 計(jì)算各組頻數(shù) 作頻率分布表 作頻率直方圖（1）反映趨勢(shì)的特征數(shù) 樣本均值中位數(shù)：數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位置居中的那個(gè)數(shù) 或居中的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本中出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)。 15數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理 （2）反映分散程度的特征數(shù)：極差、四分位差 極差樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差， 四分位數(shù)將樣本數(shù)據(jù)依概率分為四等份的3個(gè)數(shù)椐， 依次稱(chēng)為第一、第二、第三四分位數(shù)。第一四分位數(shù)Q1： 第二四分位數(shù)Q2： 第三四分位數(shù)Q3： 16 把包含血糖數(shù)據(jù)的區(qū)間等分為8至15個(gè)小區(qū)間

7、血糖數(shù)據(jù)最大值為632，最小值為334例1 某地148名正常人血糖數(shù)據(jù)（單位mmol/l），分析其分布規(guī)律。 17 記錄各小區(qū)間內(nèi)血糖數(shù)據(jù)的頻數(shù)及計(jì)算頻率 18 以小區(qū)間長(zhǎng)為底、相應(yīng)頻率密度為高作矩形，稱(chēng)為樣本的直方圖 直方圖上緣形成一條 “中間大、兩頭小、兩側(cè)對(duì)稱(chēng)”的正常特點(diǎn)曲線(xiàn)19總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體 樣本 樣本觀察值 ？理論分布 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷總體的情況總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體20集中趨勢(shì)樣本均數(shù)中位數(shù)居中位置的值眾數(shù)頻率最大的值離散程度樣本方差樣

8、本標(biāo)準(zhǔn)差樣本變異系數(shù) 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤極差最大與最小值之差25%、75%位置值 四分位數(shù)21樣本均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤常合寫(xiě)在一起 樣本構(gòu)成不含總體任何未知參數(shù)的函數(shù)稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為的無(wú)偏估計(jì)量估計(jì)量的一個(gè)具體值稱(chēng)一個(gè)點(diǎn)估計(jì)定理1 設(shè)X1，X2，Xn為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X1,X2,Xn與總體X獨(dú)立同分布,EXiEX,DXiDX 22定理1表明，樣本均數(shù)、樣本方差S2分別是總體均數(shù)EX、總體方差DX的一個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì) 23例1 開(kāi)胸順氣丸崩解時(shí)間XN(,)隨機(jī)抽取5丸崩解時(shí)間為:36,40,32,41,36(min),作及2的無(wú)偏點(diǎn)估計(jì) 由數(shù)據(jù)計(jì)算得37，S213 及2的點(diǎn)估計(jì)為 24抽 樣 分 布學(xué) 習(xí)

9、 目 標(biāo) 了解 分布、t 分布、F 分布以及來(lái)自正態(tài) 總體的樣本均值的分布等常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。 會(huì)查 分布、t 分布、F 分布的臨界值表。25 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，是隨機(jī)變量，有其概率分布，統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布. 26 分布275 10 15 2028或29定理 X1,X2,Xn為總體XN(,2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 2(n -1 )證明：30N(0,1) N(0,1) 2(n) 2(1) 2(n -1)31定理32推論33 例 1 已知某單位職工的月獎(jiǎng)金服從正態(tài)分布, 總體均值為 200, 總體標(biāo)準(zhǔn)差為 40 , 從該總體抽取一個(gè)容量為 20 的樣本, 求樣本均值介于 190210 的概率 .

10、解 34 t 分布35也稱(chēng)作36 查表時(shí)要先看清楚表頭的名稱(chēng)或概率表達(dá)式，若為上側(cè)臨界值表，則可以直接查用. 若為雙側(cè)臨界值表，則需換算后查用. 37例 3 解 38例 4 解 39定理證明：N(0，1) 2(n -1)t(n1) 40定理 4 41特別地 42F 分布43也稱(chēng)作44 F 分布的臨界值可以通過(guò)查 F 分布的臨界值表(見(jiàn)附表 IV) 求得. F 分布的性質(zhì) 例 5 解 45定理 5 46正態(tài)總體的抽樣分布定理證明:是n 個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合,故服從正態(tài)分布47(3)證明:且U與V獨(dú)立,根據(jù)t分布的構(gòu)造得證!48參 數(shù) 的 點(diǎn) 估 計(jì) 例 1 某商場(chǎng)在決定是否接收廠家送來(lái)

11、的一大批箱裝商品時(shí), 隨機(jī)地抽取若干箱進(jìn)行檢驗(yàn), 根據(jù)這幾箱的平均次品數(shù), 估計(jì)該批商品平均每箱的次品數(shù). 例 2 某省在一次高考結(jié)束后, 先要對(duì)考試成績(jī)做一個(gè)估計(jì). 隨機(jī)地抽取每科中的幾包試卷進(jìn)行試判. 根據(jù)判卷結(jié)果估計(jì)全體考生的總分的平均值和與平均值的偏離程度進(jìn)行推斷, 從而估計(jì)出當(dāng)年的錄取線(xiàn). 49參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容之一. 參數(shù)估計(jì)有兩種方法: 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì). 要估計(jì)的總體參數(shù)稱(chēng)為待估參數(shù), . 假設(shè)總體分布已知, 其中有一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知, 利用來(lái)自總體的樣本估計(jì)總體的未知參數(shù)值, 就是參數(shù)估計(jì). 50 用一個(gè)估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù), 用這個(gè)估計(jì)量的一個(gè)觀察值作為總體參數(shù)的估

12、計(jì)值的方法稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì). 由這種方法得到的估計(jì)值為點(diǎn)估計(jì)值. 估計(jì)量 . 估計(jì)值51矩估計(jì)法 以樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計(jì)量的方法稱(chēng)為矩估計(jì)法. 例 3 解 52例 4 解 53例 4 解 54 例 5 解 55最大似然估計(jì)法 例 6 設(shè)有一批產(chǎn)品, 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道它的產(chǎn)品率 p 可能是 0.1 或 0.3. 生產(chǎn)這批產(chǎn)品的廠家認(rèn)為該批產(chǎn)品質(zhì)量很好, 次品率大約為 0.1, 而收購(gòu)產(chǎn)品的商業(yè)部門(mén)認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量有問(wèn)題, 次品率可能為 0.3. 現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 15 件, 發(fā)現(xiàn)有 5 件次品. 問(wèn): 生產(chǎn)廠家與收購(gòu)部門(mén)誰(shuí)的估計(jì)更可靠些 ? 56解 57最大似然估計(jì)的思想: 最大似然估計(jì)值 . 最大似然估計(jì)值 . 58似然函數(shù)59 求總體未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值就是求似 然函數(shù)的最大值. 最大似然估計(jì)值. 最大似然估計(jì)量. 60例 7 解 61估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 1. 無(wú)偏性 定義無(wú)偏估計(jì)量 . 62例 8 證 63定義2. 有效性 (1) 頻率是概率的最小方差