中央電大《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件

1、導(dǎo)數(shù)的計算經(jīng)濟數(shù)學(xué)根底1.4.1 函數(shù)連續(xù)性的概念相應(yīng)的函數(shù)的改變量增量:函數(shù)的終值 與初值 之差 稱為自變量的改變量，記為1.改變量增量：函數(shù)的連續(xù)性0當(dāng)自變量由初值 變化到終值 時，終值與初值之差 稱為自變量的改變量，記為 定義1： 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點 處有增量 時，相應(yīng)的函數(shù)有增量 ,如果當(dāng)自變量的增量 趨于零時，函數(shù)的增量 也趨于零，即那么稱函數(shù) 在點 處連續(xù)，點 稱為函數(shù)的連續(xù)點2.連續(xù)假設(shè)記 ，那么 ，且當(dāng) 時，故定義1又可表達為注：定義2：設(shè)函數(shù)y = f (x)在點 的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)有 ,那么稱函數(shù)y = f (x) 在點 處連續(xù). 1定義1與定

2、義2是等價的, 即由左右極限定義可定義左右連續(xù)定義2由定義2可知假設(shè)函數(shù) 在點 處連續(xù)，那么函數(shù) 在點 處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)3當(dāng)函數(shù) 在點 處連續(xù)時，求 時，只需求出 即可定義3：假設(shè)函數(shù) 滿足 ，那么稱函 數(shù) 在點處左連續(xù)。 同理可以定義右連續(xù)3、左右連續(xù)4、區(qū)間連續(xù)定義4：假設(shè)函數(shù) 在a , b內(nèi)每一點都連續(xù) ，那么稱函數(shù) 在a , b內(nèi)連續(xù)。由定理3可知：函數(shù) 在點 處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)即證明 y = sin x在 內(nèi)連續(xù)例1證 對任意有因為所以故 在 內(nèi)連續(xù)定義5 假設(shè)函數(shù)y = f(x)在a , b內(nèi)每一點都連續(xù)，且在左端點a 處右連續(xù)，在右端點b處左連續(xù)，那么稱函數(shù)y

3、 = f (x)在a , b上連續(xù)。1.4.2 函數(shù)的間斷點及其分類那么一定滿足以下條件如果f(x)在點不能滿足以上任何一個條件，那么點 是函數(shù) 的間斷點。1.可去間斷點：如果函數(shù)在點 的極限存在，但不等于 ，即那么稱 為 的可去間斷點。例2解所以x =1為可去間斷點重新定義新的函數(shù)：那么x=1成為函數(shù)的連續(xù)點2.跳躍間斷點：例3所以 x =1為跳躍間斷點左右極限存在不相等 當(dāng) 時，函數(shù)值不斷地在兩點之間跳動，左右極限均不存在3.無窮間斷點 f(x)在點 的左、右極限至少有一個是無窮大，則稱 為f(x)的無窮間斷點 例4 x=0為無窮間斷點4.振蕩間斷點例5x=0是其振蕩間斷點間斷點的類型：第

4、一類間斷點: 我們把左右極限都存在的間斷點稱為第一 類間斷點.第二類間斷點: 除第一類以外的間斷點,即左右極限至少有 一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點.例6解函數(shù)在x= -1 , x = 0 , x = 1處沒有定義所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函數(shù)的間斷點所以x = -1是函數(shù)的無窮間斷點所以x= 0是函數(shù)的跳躍間斷點()()所以x= 1是函數(shù)的可去間斷點解分界點為 x =1,x =2i當(dāng) x=1時 所以 x= 1 是函數(shù)的跳躍間斷點()例7 ii討論 x=2 而f(2)=5 所以x= 2是函數(shù)的連續(xù)的點因此,分段函數(shù)的分界點是可能間斷點 設(shè)函數(shù)y = f(u)在點 處連

5、續(xù),u= f (x)在點 處連續(xù),且 ,那么復(fù)合函數(shù) 在點 處連續(xù). 1.4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理1 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對應(yīng)區(qū)間上也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。設(shè)f(x),g(x)均在點 處連續(xù),那么 也在處連續(xù)因此,根本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). 定理2定理3即：因此,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).2.1.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的實例例1 平面曲線的切線斜率 曲線 的圖像如下圖,在曲線上任取兩點 和 ，作割線 ，割線的斜率為2.1 導(dǎo)數(shù)的概念這里 為割線MN的傾角，設(shè) 是切線MT的傾角，當(dāng) 時，點N沿曲線趨于點M。假設(shè)上式的極限存在，記為k，那么此極限值k就是所求切線MT的斜率，即當(dāng) 趨向于0時

6、，如果極限設(shè)某產(chǎn)品的總本錢C是產(chǎn)量Q的函數(shù)，即C=C(Q )，當(dāng)產(chǎn)量Q 從 變到 時，總本錢相應(yīng)地改變量為 當(dāng)產(chǎn)量從 變到 時，總本錢的平均變化率存在，那么稱此極限是產(chǎn)量為 時總本錢的變化率。例2 產(chǎn)品總本錢的變化率定義 設(shè)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記 假設(shè)存在，那么稱其極限值為y = f (x)在點x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為或2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 當(dāng)自變量 從變化到 時，曲線y=f(x)上的點由 變到此時 為割線兩端點M0，M的橫坐標(biāo)之差，而 那么為M0，M 的縱坐標(biāo)之差，所以 即為過M0，M兩點的割線的斜率.M0M 曲線y = f (x)在點M0處的

7、切線即為割線M0M當(dāng)M沿曲線y=f(x)無限接近 時的極限位置M0P，因而當(dāng) 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：所以，導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲線y = f (x) 在點M0(x0,f(x0)處的切線斜率.M0M 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，那么曲線y=f(x)在點處的切線方程為： 而當(dāng) 時,曲線 在 的切線方程為(即法線平行y軸).當(dāng) 時,曲線 在 的法線方程為而當(dāng) 時,曲線 在 的法線方程為例3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取極限: 同理可得:特別地, . 例4 求曲線 在點 處的切線與法線方程.解:因為 ,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別

8、為: 于是所求的切線方程為:即法線方程為:即 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x) 在點x處均可導(dǎo)，則:定理一2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么2.2 導(dǎo)數(shù)的運算特別地,如果可得公式注：法那么12均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導(dǎo)，那么解： 例2 設(shè)解：例1解：即 類似可得例3 求y = tanx 的導(dǎo)數(shù)解：即類似可得例4 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù)根本導(dǎo)數(shù)公式表2.2.2 根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5例7解：解：例6解一例11兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有 解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的

9、求導(dǎo)注：解二即或記作或二階導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計算：運用導(dǎo)數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)2.2.6 高階導(dǎo)數(shù)22)(dxxfd解：特別地例15解：即同理例14解如圖，正方形金屬片的面積 A 與邊長 x 的函數(shù)關(guān)系為A = x2 , 受熱后當(dāng)邊長由x0伸長到x0+ 時, 面積A相應(yīng)的增量為2.3.1 微分的概念例1 設(shè)有一個邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了 ，問其面積增加了多少？2.3 微分的線性函數(shù)從上式可以看出，這表明這部分就是面積的增量的主要部分（線性主部）所

10、以上式可寫成 可以表示為定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量在點如果函數(shù)于是,（2.3.1)式可寫成處的微分，可微，稱為在點處在點高階的無窮小，則稱函數(shù)時其中A是與無關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)比記為由微分定義，函數(shù)f (x)在點x0處可微與可導(dǎo)等價，且,因而在點 x0處的微分可寫成于是函數(shù)通常把記為，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a , b)內(nèi)每一點都可微， 那么稱該函數(shù)在(a , b)內(nèi)可微。f (x)在點x0 處的微分又可寫成dxf(x) 在(a,b)內(nèi)任一點x處的微分記為解：例2 求函數(shù) y=x2 在 x=1,時的改變量和微分。于是 面

11、積的微分為 解：面積的增量面積的增量與微分當(dāng)半徑增大例3半徑為r的圓的面積時，求在點處，2.3.2 微分的幾何意義當(dāng)自變量x有增量時，切線MT 的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量因此，微分幾何上表示當(dāng)x有增量時，曲線 在對應(yīng)點處的切線的縱坐標(biāo)的增量 用近似代替就是用QP近似代替QN，并且設(shè)函數(shù)y = f (x)的圖形如下圖所示.過曲線y = f (x)上一點M(x,y)處作切線MT,設(shè)MT的傾角為2.3.3 微分的運算法那么1. 微分的根本公式：續(xù)前表解： 解：對方程兩邊求導(dǎo)，得的導(dǎo)數(shù)與微分例5 求由方程所確定的隱函數(shù)即導(dǎo)數(shù)為 微分為 例4 2.3.4 微分在近似計算中的應(yīng)用或?qū)懗桑?）上式中令2，則特別地,當(dāng)x0=0，很小時,有3公式(1) (2) (3)可用來求函數(shù)f(x)的近似值。，且很小時，我們有近似公式在 x0 點的導(dǎo)數(shù)由