高等數(shù)學(xué)習(xí)題2

1、 題1試討論以下函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)是否存在一 ，f) ：1 f ( ) x ，解 因為f在0,連續(xù)，在(0, 1 ) 可導(dǎo)，且 f (0) ( ) ，所以由 Rolle 定理，)，使得f) 。2證明方 這里 為數(shù)在區(qū)間0, 1內(nèi)不可能有兩個同的實根；證 設(shè)f ( x) x 由方f 在(0, 1)內(nèi)沒有根以由 ， 方程 在區(qū) 0, 1內(nèi)不可能有兩個同的實根。2方程xpx 0n 為整數(shù) n 為偶數(shù)時至多有兩個實根當(dāng) n 為奇數(shù)時至多有三個根。證 設(shè)f x) px ，于是f n p 0。當(dāng) n 為數(shù)時，-1 為奇數(shù)，故方程f nx 0至多有一個實根因為冪函數(shù)nx p嚴(yán)格遞增從而方程xpx 至多有兩個實根

2、當(dāng) n 為 奇 數(shù) 時 ， -1 為 偶 數(shù) 由 上 述 證 明 關(guān) 的 結(jié) 論 有 ： 方 程f n p 0至多有兩個實根方程x n px 0當(dāng) 奇數(shù)時至多有三個實根。3證明假設(shè)函數(shù)f和均在區(qū)間I上可導(dǎo)f g， I則區(qū)I上f和只相差一常數(shù)，f ( x) g ( x 為一數(shù)證 令F ( ) f ( x) ( x) F 在區(qū)間 I 上導(dǎo)F g ，由推論 ，存在常數(shù) ，使得F ( ) ，即f ( x) g ( x 584明 假設(shè)數(shù) 在 上可導(dǎo)f 則 (b ) m )2假設(shè)函數(shù) 在 , b上可導(dǎo)，且| f M ， | f (b ( a) (b )3對任意實數(shù) x12，都有| x x |1 2 1證

3、因為f在a b上可導(dǎo)，所以f在a b上滿足 中定理的條件于是 , )，使得f (b) f ( ) f )1因為f ，所以f b) f ( a f)( ) m(b )，從而有f (b) ( ) m (b )2因為| f M ，以 f (b f ( ) ) M b )3不妨設(shè) x12，正弦函數(shù)f ( ) sin 在 x 1 2上連續(xù)，在( x , x ) 1 2可導(dǎo)，于是 b，使得| sin x |cos1 2| x 1 2 2 15應(yīng)用拉格朗日中值理證明以下不等式：1 b b a a，其中 證 設(shè)f ( x 則f在a b上連續(xù)且可導(dǎo)以f在 b上滿足 中值定理的條件于是 )，使得lnln b (

4、，因為0 ，所以 b ，從而 b b ln a a2 2 arctan h ，中 h 證設(shè)f ( x x ， f 在 h上滿足 中值理的條件，于是 )，使得arctan arctan arctan 0 f h1 。因為590 ，所以h 1 1 ，從而 2 arctan h 。6確定以下函數(shù)的單區(qū)間：1f ( x) x f x) xln x3 f ( x) 2 2f ( x) 解 f ，令 f ，得 當(dāng) 時， 遞；當(dāng) 2時，f ，f遞減。2f的定義域為 。f 4 x x x，令f ，得 當(dāng) 1時， 遞減；當(dāng) 時 f 2 ， f 遞增3 的義域為 。 f 1 2x 2，令f ， 當(dāng)0 時 f ，

5、f 遞增；當(dāng)1 2 時 f ， f 遞減4f的定義域為 。 f x x 20，故f在其定義域( 0) (0, 遞增。7應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性明以下不等式：1tan x x ， (0, )證 設(shè)f ( x x ，則 f 在 x 續(xù)，且f 0。因為f x tanx 0 ， x ) ， 在 (0,)嚴(yán)格單調(diào)遞60增，又因f在 連續(xù)，于是f ( ) (0) ，從而tan x x ， (0, )。2 x x x ， x )證 先證 x x x 2 x 此明： f ( ) x f在 連續(xù)，且f ( ) 。因為f cos x sin x ( x tan x) 2 20， )。所以 在 (0, sin x ) 格單

6、調(diào)遞減，于是 f ( x ) f ( ) 0 ，從而 ， x (0, 2。其次證明：sin x。設(shè)f ( x) x x，則f在 連續(xù)，且f (0) 0。因為f 0， )。所以f在(0,)嚴(yán)格單調(diào)遞增，因f在 連續(xù)，于是f ( ) (0) 0 ，從而 x sin x ， )。3 x ln(1 ) 2 2(1 x )， 證 先證 2 ) x ( ) x )f在 連續(xù)且f (0) 0 。因為 f 0 x 1 ， 。所以f在 嚴(yán)格單調(diào)遞減因 在 x 連是f ( ) (0) 從而 ) ， 。其次證明：ln( ) 2 x 2 ， 。 f ( ) ) )ln(1 )，則f在 連續(xù)f (0) 0為f 2 1

7、0 2(1 ) 1 (1 ) 。所以 f 在 嚴(yán)格單調(diào)遞，又因f 在 連，于是f ( x (0) 0，從而61 ) x 2 )， 。8 ( x)記由( f ( ,(b f (b),( x, f x )三點組成的三角面積 , 試對 ( x)應(yīng)用羅爾中值定證明拉格朗日中值定.證明 因為 f ( 1S ( ) f (b 1 , 假 f ) 在 a f ( ) 1連續(xù) , 在( a b)可導(dǎo) 則易見 ( x)也在 連續(xù) 在( a b)可導(dǎo) 且 ( a) ( ) 0. 故由羅爾定理知 存a b), 使 . 而S f ( a 1f ( 1 ff 0 ) f (b) ( a, 故f b) f ( ) f)(

8、b .1試問函數(shù)f x) x ) 在區(qū)間 1 上能否應(yīng)用柯中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？解 因為f x, x，故當(dāng) 時 f 0, g ，不滿足柯西中值定理的條，所以在區(qū)間 1上不能柯西中值定理。2設(shè)函數(shù) f 在 , b上可導(dǎo)，證明：在a b)，使得 f ( ) f ( ) ) f)證設(shè)F ( ) f (b ) f ( ) b) f x)，則F ( x)在a b上連續(xù)并可導(dǎo) ， 且F ( a) 2 f (b) f a (b )， 由 Rolle 定 理 ， 存 在 , )， 使 得F ) f (b ) f ( ) b) f) 0，從而621 1 f ( ) f ( ) f)3設(shè)函數(shù) f 在點

9、處有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。證明：h f ( ) f ( a ) f ( ) f證 因為f在點 處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以f在點 的某鄰域 U ( a內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，于是由必達法則，分子分母分別對h求導(dǎo)，有l(wèi)imh 0f ( a ) f ( a ) ( a)h 2limh f ) f 2 )1 f ) f f lim2 h 0 h f )1 f (lim2 ) f hh 0f ) f 1) ( 4設(shè) 。證明存在，使得sincossin cot證設(shè)f ( x) sin x，g ( x cos x，則f g 都 續(xù)，在 可導(dǎo)，且f都 不 等 于 0 ，g (。 柯 中 值 定 理 ， 存 在， 使 得si

10、ncos cos sin ，即 sin cossin cot5求以下不定式極限12lim 0lim e x xlim sin x 0 cos x 2sin x 3 lim x x 3 limx ln(1 ) cos x x 1x lim sin x 0 1 4lim 0tan x sec x x 2 2 xlim lim lim lim sin 1 x x 0 cos x 0 1 cos x 0 sin 63 x x 56tan x sec 2 x sec x lim lim lim lim sec x sec x x 2 2lim 0 xe x lim x 0 x( ee x 0 2ee x

11、 1 2 7lim(tan )x sin 2 x解 x ) x x ln(tan x) ln(tan x)lim x 0 1 lim x 0 x tan xsin x x x所以lim(tan x)sin xlim sin ln(tan ) x 8x 111 ln x ln 解 因為 lim ln lim lim 所以 lim x x 1 x1 1 1 x 9lim(1 )xx 解 因為lim 2 ) lim 0 ) lim 0 1 所以lim(1 )xlim x)x 0 xlim sin x lim x lim lim x x x 0 x lim x x21 1 11 lim sin 0si

12、n x lim 2 x x 464 ln 3 5lim ln 3 5 x x 2 x x lim lim x x 0 x 2 x 0 0 tan x xtan 1 ln 2 xlim 0ln(tan x ) x sec 2 1 x2 xlim x sin cos 2 x sin lim x sin 2x x 2 x 1 lim lim 3 0 cos x 0 x 2 x 0 12 x 所以 x 0 x tan x 題1求以下函數(shù)帶佩亞型的麥克勞林公式1f ( x) x解f1 1 ) ， f x 22 ，f 31 2(1 72，f ( n ) ( ) 1 2 )2 2麥克勞林公式為f ( x )

13、 2 1 1 x 2 2 2 3! 2 n !f ( ) arctan x 到有 x 的 n )解 因為f x2， f 所以( ) f 。在此式的兩端用萊布尼茲公式，分對x求n階導(dǎo)數(shù)，得(1 ( n ( x) 2 xf ( ) ( ( n f( ( ) 令 x 得推公式：f( n (0) n ( n (0)65x limx lim因為有f ，于是f，f(0) 。又因為f x 2 )2， f 以n為偶數(shù)時，f ( ) (0) 0從而arctan 24 1 1 x ( x 5 ) 3 x 5 x 3! 5! 53f ( ) tan x到含有x5的項解f x ， f f2 tan x x，ff co

14、s ，ff(4)( ) 8sin cos 5 ，f (4) (0) 0f( ) 2 6 ，f (5) (0) 16tan x x 2 3 5 ( x ) x x 3! 5! 3 155 ( 5)2按例 4 的法求以下極限1x x 2 x (1 ( 2 )( ( x (1 x ) x 3 x 3) (1 limx x x 3( x 2 ) ( 3 ) 3x 0 2 ln(1 1 1 ) lim ( ( ) x 2 2 x 23 lim ) 1 x cos x x) lim ( ) lim x x x x x 2 66limx x 1 x ( x 3 ) x3! 2x 2 ( x )limx x

15、( xx 3)3求以下函數(shù)在指定處帶拉格朗日余項的泰勒公式：1f ( x) x x，在 處；解f (1) 10；f x x，f ；f ，f；f( n )( ) 0, 。所以f x) 10 x x 2f x) ，在 處解f (0) ；f )2，f ；f( )( x) ( n ! ) n ，f ( n ) (0) n n!。所以 x2345 xn( n n xn ，0 1求以下函數(shù)的極值1f x) xx解f x x2 x (3 x) 令 得定點 0,列討論：fx( +00 )+0( , f ( )無極值極大值為27162f ( x) x 267解xff2(1 2 (1 ) ( ，令f 得定點 x

16、( 1)-10+。列表討論：10(1, f ( )極小值為1極大值為 3f ( x (ln x)解f ln x (ln x) ) ln x 2，令f 得穩(wěn)定點x e。列表討論：x(0, 1(1, ) (e, ff ( x )0極小值為 +0極大值為e4f ( x) )解f x 2 ， 令f 得 定 點 。 由 于fx ) 2， 1f ，以 在 x 有大值 f (1) 2 4 22設(shè) f ( ) 2 0 1證明： 是小值點；2說明f的極小值點 處是否滿足極值第一充分條件或第二充分條件證 對任何 ，有f ( x) sin 2 (0)，故 是極小值點。680， (0) 2當(dāng)0， (0) 時，有f 4

17、 x32 1 1 1 x 2 x 2 (2 sin x x x x，作數(shù)列x n12 2， n2n14，則 0，y 0。即在 的任何右鄰域 0 內(nèi)既有數(shù)列 中的點也有數(shù)列 中的點并且f ) ，f ) ，所以在 0 內(nèi)f的符號是變化的從而f不滿足極值的第充分條件。又因為 limx 01 1 1 x 4 sin 2 (2 sin cos ) x x x xx 0 x0，所以用極值的第二充條件也不能確定f的極值。1求以函數(shù)在給定區(qū)間上的最大最小值y x 2解y x x x( x x( 令 得x 1, 3 2 y ， (1) ， y( ， (2) 于是 在 處取得最大值 2，在 處取得最小值-10。2

18、y x tanx ，)解y x sec 2sec 2 (1 )，令，得 。因為 (0) ， ( ) 4且lim (2 x x) lim tan x(2 tan x) x 2 于f在 處取得最大值 ，無最小值。3 ln x, 解 xln x x ln x，令得 x 。因為 (e ) e，且lim ( x ln ) ， lim x ln ) 在 處得最小值 0 e，無最69大值。5f ( x )在區(qū)間 I 上連續(xù)且在 I 上有唯一的極值點 x 證明設(shè) x 是 的 極大小值點則必是f在I上的最大小點。解設(shè)是f的極大值點。用反證法假 0不是 在 I 上最大值。于是存在 ，使 f ) f ( )1 。不

19、妨設(shè)x x 則 f 在閉區(qū)間 0 x 1上連續(xù)從 f 在 x x 上有最小值點 x 是f的極大值點，所x，1，于是是f的極小值點，這f在I上僅有唯一的極值點 x 矛盾。P.155 習(xí)題按函數(shù)作圖步驟作以下函數(shù)圖象1y x x x 20解y x x ，令，得穩(wěn)定點 y ， y 2y x 2 2解定義域 x ， y (1 ，令 得定點 x ，令0得 12漸近線 y x( ( 0(0, )( , +0+0+70y凸增凸減極小值 凸增拐點 1( , 凹增71 a a 總習(xí)1證明：假設(shè)f ( x )在有限開區(qū)間( b)內(nèi)可導(dǎo)，且lim f ( x ) lim a f x )，則至少存在一點 f使 , b

20、，證 令f ( x) a x F ( ) lim f ( x x ， F 在 a, lim f ( x) 內(nèi)連續(xù)，在( b)內(nèi)可導(dǎo)，且F ( a ) lim f ( lim f ( )。于是由 Rolle 定，至少存在一點 a, b，x a x b使F ，而在( b)內(nèi)有F ( ) f ( x )，F(xiàn) f ，從而f 。填題1 x sin 1 ； lim x x x2 lim(1 ) x ； ) x 03設(shè) , , n 2 則lim 4lim ( 1 ) ；lim ( x ) 5假設(shè)lim 1 2 ，則 ， 72 )x )x 6 ， 0 7當(dāng) x 時 ) 2當(dāng)3當(dāng) 時，時，e (1 ) 8假設(shè)函

21、數(shù)f ( x) x ，則 lim f ( x f ( x ) 0 0 9設(shè)函數(shù) f ( ) 0在 連續(xù)，則 10假設(shè)函數(shù) x , x f ( ln( ), x 0在( 連續(xù)，則 設(shè)f在 連續(xù)，且f (1) ，則 f ( x ) x 12設(shè)E | 1) 中理 ，則 ；inf E 13設(shè)E x | x ，則 ；inf E 。14假設(shè)函數(shù)f ( ) a 可導(dǎo)，則h 0f ( a ) ( h)15假設(shè)函數(shù)f ) 0 ，則 lim af ( x) f ( a16設(shè)lim f ( ) ( )a ， f存在，則f 17假設(shè)函數(shù)f ( x ) 在 連，lim f x) 0 x ， 1f ( x) ，f則18設(shè)

22、曲線 y ax 與線 ln x相切，則 7319設(shè)函數(shù) 則dx 0 f ( x) 在 有續(xù)數(shù)，且 f (cos x ) f，20設(shè)函數(shù)f ( x)在( 上可導(dǎo)，且，f ，f ，則f ( x 選題1設(shè)lim | nn ，則 (A) 數(shù)列 收斂；(B)lim x ann ；(C)lim nn ；(D) 數(shù)列 可能收斂，也可發(fā)散。2設(shè)x y ，且 lim( y x ) 0 ， 與 n nn (A) 都收斂于a(B) 都斂但不一定收斂于a(C) 可能收斂，可能發(fā)散；(D)都發(fā)散。3設(shè)數(shù)列 收斂，數(shù)列y 發(fā)散，則數(shù)列 y n (A) 收斂；(B) 發(fā)散(C) 是無窮大；(D)可能收斂也可能散。4設(shè)xn(

23、 n，則數(shù)列 是 (A) 無窮大；(B) 無?。?C) 無界量；(D) 有界量。5設(shè) n sinn，則數(shù)列 是 (A) 收斂列；(B) 無窮大；(C) 發(fā)的有界列；(D) 無界但不是無窮大。6當(dāng) ， ( ) 1 是 (A) 無窮?。?B) 無窮大；(C) 有但不是無窮?。?D) 無界但不是無窮大。7當(dāng) a時，f ( x )為無窮大，g ( x )為有界量，則f ( x) ( x)是 (A) 無窮大；(B) 有界量；(C) 無但不是無窮大；(D) 以上都不對。8設(shè)lim f ( ，lim f x) ，則 x a (A) (B) ；(C) ；(D) 以上都不對。742 9設(shè)函數(shù) f 在 ( 2 上

24、單調(diào)，則f ( a 與 ( (A) 都存在且相等； (C) 有一個不存；(B) 都在但不一定相等； (D) 都不存在10設(shè)lim f ( ) ， lim f ( )x ax (A) 存在且等于 ； (C) 存在；(B) 不在；(D) 可能存在，也可能不在。設(shè)lim | f ) |b ， | lim f ( x) | x a x (A) 存在且等于 b (C) 不存在；(B) 存在等于 ；(D) 不一定存在，假設(shè)存即為 b 。12設(shè)f x sin x ，則 是 的 (A) 連續(xù)點； (B) 可間斷點； 跳躍間斷點； (D) 第二類斷點。13設(shè)f在x連續(xù)，且 ( x ) ，有f ( x) 0，則 (A)f x ) 0 ； (B)f ( x ) ； (C)f ( x ) ； (D)f x ) 0 14假設(shè)函數(shù) 在 ( b)的任一閉區(qū)間上續(xù)，則f (A) 在 , b上連續(xù)；(B) 在( b)上連續(xù)；(C) 在( b)上不連續(xù)； 在( b)上可能連續(xù)，也能不連續(xù)。15假設(shè)函數(shù) 在 ( b)上連續(xù)，則f (A) 在( b)有界；(B) 在( a b)無界；(C) 在( b)的任一閉區(qū)間上界； (D) 在 b有界。16假設(shè)0，函