空間向量基礎(chǔ)知識應(yīng)用

1、空間向量基礎(chǔ)知識和應(yīng)用空間向量與立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)知識重點梳理知識點一：空間向量空間向量的觀點在空間，我們把擁有大小和方向的量叫做向量。注：空間的一個平移就是一個向量。向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小?？臻g的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。共線向量1）定義：假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同向來線，也可能是平行直線（2）共線向量定理：空間隨意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使。向量的數(shù)目

2、積（1）定義：已知向量，則叫做的數(shù)目積，記作，即。（2）空間向量數(shù)目積的性質(zhì)：；（3）空間向量數(shù)目積運算律：；2/16空間向量與立體幾何（互換律）；（分派律）。4.空間向量基本定理假如三個向量不共面，那么對空間任一直量，存在一個獨一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間隨意三個不共面的向量都能夠組成空間的一個基底?？臻g直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個基底的三個基向量相互垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向成立三條數(shù)軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱成立了一個空間直角坐標(biāo)系,

3、點叫原點，向量都叫坐標(biāo)向量經(jīng)過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在獨一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)空間向量的直角坐標(biāo)運算律：（1）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（2）若，則，3/16空間向量與立體幾何，；，夾角公式：（3）兩點間的距離公式：若，則或。知識點三：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可經(jīng)過向量運算來證明對于垂直問題，一般是利用進行證明；對于平行問題，一般

4、是利用共線向量和共面向量定理進行證明2利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)變?yōu)榍髢蓚€向量的夾角或其補角，而求兩個向量的夾角則能夠利用向量的夾角公式。3用向量法求距離的公式設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為（如圖）。規(guī)律方法指導(dǎo)向量法在求空間角上的應(yīng)用平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線的向a，b垂直，其數(shù)目積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即獲得平面的一個法向量（如圖）。4/16空間向量與立體幾何線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的

5、角為。（注意：線線角的范圍00,900）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補角的大?。ㄈ鐖D）利用法向量求空間距離點A到平面的距離：，此中，是平面的法向量。直線與平面之間的距離：5/16空間向量與立體幾何，此中，是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，此中，是平面的法向量?？臻g向量是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是辦理空間線線、線面、面面地點關(guān)系和夾角的重要工具，是高考考察的重要內(nèi)容之一.運用向量方法研究立體幾何問題思路簡單，模式固定，防止了幾何法中作協(xié)助線的問題，進而

6、降低了立體幾何問題的難度.本文將空間向量在立體幾何中的應(yīng)用的重要考點和解題方法作以分析.【考點及要求】理解直線的方向向量與平面法向量.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.能用向量方法證明證明直線和平面地點關(guān)系的一些定理（包含三垂線定理）.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算問題，認(rèn)識向量方法在研究會合問題中的應(yīng)用.【考點概括剖析】考點1.利用空間向量證明空間垂直問題6/16空間向量與立體幾何利用空間向量證明空間線線、線面、面面垂直問題是高考考察的重點內(nèi)容，考察形式靈巧多樣，常與探究性問題、平行問題、空間角問題聯(lián)合，考察形式能夠是小題，也能

7、夠是解答題的一部分，或解答題的某個環(huán)節(jié)，題目簡單，是高考取的重要得分點.例1(2010遼寧理19）已知三棱錐PABC中，面，1PAABCABACPA=AC=AB，N為AB上一2點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.證明：CMSN；審題要津：此題空間坐標(biāo)系易成立，可用坐標(biāo)法.證明：設(shè)PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，軸正向成立空間直角坐標(biāo)系如圖，則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,1），N（1,0,0），S（1,1,0）222uuuuruuur1,1,0),CM(1,1,1),SN(222uuuuruuur1100，所以CMSN.由

8、于CM?SN227/16空間向量與立體幾何【評論】對坐標(biāo)系易成立的空間線線垂直判斷（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數(shù)目積為0證明兩直線垂直.例2(2010天津理19)在長方體ABCDA1B1C1D1中，、分別是棱BC,CC1EF上的點，CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4.證明AF平面A1ED審題要津：此題空間坐標(biāo)系易成立，可用坐標(biāo)法.分析：如下圖，成立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB1,依題意得D(0,2,0),F(1,2,1),3A1(0,0,4),E1,02已知uuur,uuur1,3,4,uuur1,1,0于是AF(1,2,1)EA1ED22

9、uuuruuuruuuruuur=0.所以，AFEA1,AFED,又AFEA1=0，AFEDEA1EDE所以AF平面A1ED【評論】對坐標(biāo)系易成立的空間線面垂直問題，往常用向量法，先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面法向量與直線的方向向8/16空間向量與立體幾何量平行或許直接用向量法證明直線與平面內(nèi)兩條訂交直線垂直，再用線面垂直判斷定理即可.例3（2010年山東文）在如下圖的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD/MA，E、F分別為MB、PB、PC的中點，且ADPD2MA.求證：平面EFG平面PDC.審題要津：此題空間坐標(biāo)系易成立，可用坐標(biāo)法.uuuvuuuvuuuu

10、v分析：以A為原點，向量DA,AB,AM分別為x軸、y軸、z軸的正方向，如圖成立坐標(biāo)系，設(shè)AM=1，則AD=AB=PD=2,則B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2),M(0,0,1),則E(0,1,1),G(1,1,1),F(2,1,1)，2uuuv=(-1,0,uuuv=(1,0,0),設(shè)平面EFG的法EG1),GF2向量m=（x，y，z），則uuuvuuuvEG?m=x1z=0且GF?m=x=0，取y=1，則x=z=0，2m=（0，1,0）,易證面PDC的法向量為uuuv=(2,0,0),DAuuuv=200100=0,m?DAuuuv,平面EFG平面PDC

11、mDA9/16空間向量與立體幾何【評論】對于易成立空間坐標(biāo)系的面面垂直問題，常向量法，即先成立坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，經(jīng)過證明這兩個平面的法向量垂直，即得面面垂直.考點2.利用空間向量辦理空間平行關(guān)系空間線線、線面、面面平行關(guān)系問題是高考考察的另一個重點內(nèi)容，考察的形式靈巧多樣，常與探究性問題、垂直問題、空間角問題聯(lián)合，能夠是小題，也能夠是解答題的一個小題，題目的難度一般不大，是高考取的得分點之.例4（2010湖南理18）在正方體ABCDA1B1C1D1，E是棱DD1的中點。在棱C1D1上能否存在一點F，使B1F平面A1BE?證明你的結(jié)論。審題要津：此題坐標(biāo)系易成立，可用向量法求解.分析

12、：以A為坐標(biāo)原點，如圖成立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長為2，則B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2)，uuuvuuuvBE=(2,2,1),BA1=（2，0，2），設(shè)面BEA1的法向量為m=（x，y，z），則uuuvuuuv=2x2z=0，取x=1，則z=m?BE=2x2yz=0且m?BA110/16空間向量與立體幾何1，y=3，m=（1，3，1）,22假定在棱C1D1上存在一點F，使B1F平面A1BE，設(shè)F(x0，2，2)（0 x02）,uuuv=（x0uuuv=1(x02)3=0，則BF2，2，2），則m?BF2(1)22解得x0=1，當(dāng)F為C1D1中點時，B

13、1F平面A1BE.【評論】對于易成立坐標(biāo)系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內(nèi)兩條訂交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共線，依據(jù)共面向量觀點和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，而后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對于探究性問題，往常先假定成立，設(shè)出有關(guān)點的坐標(biāo)，利用有關(guān)知識，列出對于坐標(biāo)的方程，若方程有解，則存在，不然不存在.注意，（1）設(shè)點的坐標(biāo)時，利用點在某線段上，設(shè)出點分線段所成的比，用比表示坐標(biāo)能夠減少未知量，簡化計算;(2)注意點的坐標(biāo)的范圍.例5在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，在底面ABC中A

14、BC=900,D是BC上一點，且A1B面AC1D，D1為B1C1的中點，11/16空間向量與立體幾何求證：面A1BD1面AC1D.審題要津：此題的坐標(biāo)系簡單成立，可用向量法.分析：以B點為原點，如圖成立坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，BC=2b，BB1=c，則A（a,0,0），C1(0，2b，c)，B1(0,0,)，A1(a，0，c)，D1(0，b，c)，設(shè)D(0，y0，（0y02b），uuuv=(auuuuva，2b，c)，uuuvAD，y0，0)，AC1=(BA1=(a，uuuuv=（0，b，c），0，c)，BD1設(shè)面AC1D的法向量為m=(x1，y1，z1)，則uuuvuuuuvcz1=0，取y1=

15、a，則m?AD=ax1y0y1=0且m?AC1=ax12by1x1=y0，z1=ay02ab，c則m=（y0，a，ay02ab），又A1B面AC1D，cuuuvay02ab=0，解得y0=b，m=（b，a，m?BA1=ay0ccab），c設(shè)面A1BD1的法向量為n=(x2,uuuvy2,z2),則n?BA1=ax2cz2=0uuuuvcz2=0，且n?BD1=by2取z2=1，則x2=c，y2=c，則n=(c，c，1)，ababn=abcm，mn，面A1BD1面AC1D.【評論】對面面平行問題的向量方解法有兩種思12/16空間向量與立體幾何路，（1）利用向量證明一個面內(nèi)兩條訂交直線分別與另一個

16、平面平行，依據(jù)面面判斷定理即得；2）求出兩個平面的法向量，證明這兩個法向量平行，則這兩個面就平行.考點3利用空間向量辦理異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題是高考考察的熱門和重點，常與探究性問題、平行問題、垂直等問題聯(lián)合，重點考察綜合利用空間向量、空間平行與垂直的有關(guān)定理、空間角的有關(guān)觀點解決空間角問題的能力，是立體幾何中的難點，難度為中檔難度.例6(2010天津理19)在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC,CC1上的點，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4（1）求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；（2）求二面角A1EDF

17、的正弦值。審題要津：此題坐標(biāo)系易成立，能夠向量法.分析：如下圖，成立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB1,依題意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,3,0213/16空間向量與立體幾何(1)uuur0,1,1,uuuur,于是證明：易得EFA1D(0,2,4)2uuuruuuuruuuruuuur3cosEFgA1D,所以異面直線EF與A1D所EF,A1Duuuruuuur5EFA1D成角的余弦值為35解：設(shè)平面EFD的法向量n=(x,y,z)，則uuuvuuuv1y=0，n?EF=1yz=0且n?ED=x22不如令x=1,可得n=(1,2,1),設(shè)平面uuuv

18、=m1n=0A1ED的法向量m=（m，n，p）則m?ED2uuuuv=2n4p=0，且m?DA1取p=1,則n=2，m=1，則m=（1,2,1）于是cosn,m=n?m=2，進而sinn,m=5，|n|m|33所以二面角A1-ED-F的正弦值為35【評論】（1）對異面直線夾角問題，先求出兩條異面直線的方向向量分別為m、n，在求出m、n的夾角，設(shè)兩異面直線的夾角，利用cos=|cosm,n|求出異面直線的夾角，注意：（1）異面直線夾角與向量夾角的關(guān)系；(2)對二面角l的大小問題，先求出平面、的法向量m、n，再求出m、n的夾14/16空間向量與立體幾何角，在內(nèi)取一點A，在內(nèi)取一點B，設(shè)二面角uuuvuuuvl大小為，若n?AB與m?AB同號，則=m,n，若uuuvuuuvm,n，注意二面角大小與n?AB與m?AB異號，則=法向量夾角的關(guān)系.例7（2010全國卷I理7）正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為A2B3C2D63333審題要津：此題是正方體中的線面關(guān)系問題，可用空間向量法求解.分析：如圖成立坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，BB1與面ACD1的夾角為，則D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),uuuv=（1，1,0uuuuvuuuv=(0,0,1),AC），AD1=(