2022年湖南省永州市祁陽縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)，若，則=（ ）ABCD2某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為

2、4的樣本已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()A10B11C12D163已知數(shù)列滿足，則（ ）A-1B0C1D24對于實數(shù)，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5已知變量，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，若，則的值為( )ABCD16已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)（ ）A1BCiD7中，若，則該三角形一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）A1B0.8C0.6D0.39下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是ABCD10已知直線

3、與雙曲線分別交于點，若兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（）ABC4D11一個幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）ABC2D412點是曲線上任意一點, 則點到直線的距離的最小值是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132019年5月15日，亞洲文明對話大會在中國北京開幕.來自亞洲全部47個國家和世界其他國家及國際組織的1352位會議代表共同出席大會.為了保護各國國家元首的安全，相關(guān)部門將5個安保小組安排到的三個不同區(qū)域內(nèi)開展安保工作，其中“甲安保小組”不能

4、單獨被分派，且每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有_種.14已知直線，若與平行，則實數(shù)的值為_15直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于16已知兩直線的方向向量分別為， ，若兩直線平行，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求b-a的最小值.18（12分）已知一次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.(1) 求f(x)的解析式;(2) 設(shè), 若|g(x)|af(x)a0，求實數(shù)a的取值范圍.19（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單

5、調(diào)性；（2）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點，（）恰為的零點，求的最小值.20（12分）設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，21（12分）證明下列不等式.（1）當(dāng)時，求證：；（2）設(shè)，若，求證：.22（10分）已知拋物線上一點到焦點的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點，且與拋物線交于兩點、.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點.證明：為定值，并求出該定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先計算，帶入，求出即可?！驹斀狻繉η髮?dǎo)得將帶入有?！军c睛】本題考查函數(shù)求導(dǎo)，屬于簡單題。2

6、、D【解析】由題計算出抽樣的間距為13，由此得解【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中故選D【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】分析：先根據(jù)已知推算出數(shù)列的周期，再求的值.詳解：，所以因為，所以點睛：（1）本題主要考查數(shù)列的遞推和周期，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)求數(shù)列的某一項時，如果n的取值比較大，一般與數(shù)列的周期有關(guān)，所以要推算數(shù)列的周期.4、A【解析】先判斷和 成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【點睛】本題考

7、查了充分不必要條件的判斷，掌握對數(shù)的真數(shù)大于零這個知識點是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】根據(jù)題意，可知，代入即可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程，即可求解出答案?！驹斀狻恳李}意知，而直線一定經(jīng)過點，所以，解得故答案選A?！军c睛】本題主要考查了根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求回歸直線，線性回歸直線過點，這個點稱為樣本點的中心，回歸直線一定過此點。6、C【解析】利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)到最簡形式【詳解】解：復(fù)數(shù)，故選：【點睛】本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時除以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過因式分解變形化簡可得

8、結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選：D【點睛】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】因，故由正態(tài)分布的對稱性可知，應(yīng)選答案C。9、B【解析】分析：對四個選項分別進行判斷即可得到結(jié)果詳解：對于，不是奇函數(shù)，故錯誤對于，當(dāng)時，函數(shù)在上不單調(diào)，故錯誤對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故錯誤故選點睛：對函數(shù)的奇偶性作出判斷可以用其定義法，單調(diào)性的判斷可以根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，或者利用導(dǎo)數(shù)來判斷。10、A【解析】由直線與雙曲線聯(lián)立，可知x=為其根，整理可得.【詳解】解：由，兩點在軸上的射影恰

9、好是雙曲線的兩個焦點，故選：【點睛】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線的有關(guān)性質(zhì)和雙曲線定義的應(yīng)用，屬于中檔題11、A【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，利用所給數(shù)據(jù)，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，畫出幾何體的直觀圖，如圖，把幾何體補形為一個直三棱柱，由三視圖的性質(zhì)可知三棱柱的底面面積，高，所以，,所以，幾何體的體積為.故選A.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的

10、關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.12、B【解析】，則，即，所以，故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、108【解析】根據(jù)題意，分兩步，將5個安保小組分成組，然后全排列分派到每個區(qū)域，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分兩步進行：（1）將5個安保小組分成組，有種情況； （2）將分成的組全排列分派到每一個區(qū)域內(nèi)，有種情況，根據(jù)分步計數(shù)原理，這樣的安排方法共計有種情況.故答案為：108【點睛】本題考查了

11、排列、組合以及分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)兩直線平行，列出有關(guān)的等式和不等式，即可求出實數(shù)的值.【詳解】由于與平行，則，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，解題時要熟悉兩直線平行的等價條件，并根據(jù)條件列式求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，之后應(yīng)用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長.【詳解】根據(jù)題意，圓的方程可化為x2所以圓的圓心為(0,-1)，且半徑是2，根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d=0+1+1結(jié)合

12、圓中的特殊三角形，可知AB=24-2=22【點睛】該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果.16、【解析】根據(jù)題意可得出，從而得出m140，解出m即可【詳解】；m140；m1故答案為1【點睛】考查直線的方向向量的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+），減區(qū)間為（1，e）;(2).【解析】分析：（）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（）由題意得，可得

13、函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，即恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得的最小值.詳解：（）當(dāng)a=1時，f（x）=（2x2+x）lnx3x22x+b（x1）f（x）=（4x+1）（lnx1），令f（x）=1，得x=ex（1，e）時，f（x）1，（e，+）時，f（x）1函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+），減區(qū)間為（1，e）；（）由題意得f（x）=（4x+1）（lnxa），（x1）令f（x）=1，得x=eax（1，e a）時，f（x）1，（ea ，+）時，f（x）1函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ea，+），減區(qū)間為（1，ea）f（x）min=f（ea）=e2aea+b，f（x）1恒

14、成立，f（ea）=e2aea+b1，則be2a+eabae2a+eaa令ea=t，（t1），e2a+eaa=t2+tlnt，設(shè)g（t）=t2+tlnt，（t1），g（t）=當(dāng)t（1，）時，g（t）1，當(dāng)時，g（t）1g（t）在（1，）上遞減，在（，+）遞增g（t）min=g（）=f（x）1恒成立，ba的最小值為 點睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法

15、則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.18、 (1) f(x)=x+1.(2) a0.【解析】分析：（1）待定系數(shù)法即可求得f(x)的解析式；（2）分類討論、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合都可以解決.詳解：(1)設(shè)f(x)=kx+b，則解得：k=b=1, 故f(x)=x+1.(2) 由(1)得:g(x)|g(x)|af(x)a0可化為|g(x)|ax.|g(x)|由|g(x)|ax可分兩種情況：(I)恒成立若x0，不等式顯然成立；若x0時，不等式等價于

16、x2a.x22，a2.(II)恒成立方法一分離參數(shù)：可化為a在(0, )上恒成立。令h(x)=,則h(x)= =令t(x)=x(x+1)ln(x+1), 則由t(x)=-ln(x+1)0知t(x)在(0, )上單調(diào)遞減,故t(x)t(0)=0，于是h(x)0時,恒有h(x)= 0于是a0.方法二分類討論：ln(x+1)axln(x+1)ax0令(x)= ln(x+1)ax，則(x)=a=當(dāng)a0時, (x)在(0,)上單調(diào)遞增,故有(x) (0)=0成立;當(dāng)0a1時, (x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 在(1)是遞減.取x=1, 易知(1)=-2lna+a0，故不合題意；當(dāng)a1時, (x)在(0,

17、)上單調(diào)遞減，顯然不合題意。所以a0.方法三數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)圖象可知a0.綜合(1)(2)得2a0.點睛：本題主要考查不等式恒成立問題，一般常用方法是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、分離參數(shù)、分類討論是解決這種問題常用的方法.19、（）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（）.【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律：當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)不變號，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)符號由正變負，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導(dǎo)數(shù)得為方程的兩根，再求導(dǎo)數(shù)得，因此，而由為的零點，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達定理確定自變量范圍：因為又，所以試

18、題解析：（1），當(dāng)時，由解得,即當(dāng)時，單調(diào)遞增， 由解得,即當(dāng)時，單調(diào)遞減,當(dāng)時，,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時，故，即在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根. 因為,所以,又因為為的零點，所以,兩式相減得,得,而,所以令,由得因為,兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以，設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【思路點睛】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則yf(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f(x)0

19、，則yf(x)在該區(qū)間為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性問題包括：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.20、（1）見解析 （2）見解析【解析】（1）先求函數(shù)定義域，由導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（2）由題意可得即證lnxx1xlnx由（1）的單調(diào)性可得lnxx1；設(shè)F（x）xlnxx+1，x1，求出單調(diào)性，即可得到x1xlnx成立；【詳解】（1）由題設(shè)，的定義域為，令，解得 當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減 （2）證明：當(dāng)x（1，+）時，即為lnxx1xlnx由（1）可得f（x）lnxx+1在（1，+）遞減，可得f（x）f（1）0，即有l(wèi)nxx1；設(shè)F（x）xlnxx+1，x1，F(xiàn)（x）1+lnx1lnx，當(dāng)x1時，F(xiàn)（x）0，可得F（x）遞增，即有F（x）F（1）0，即有xlnxx1，則原不等式成立；【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理和運算能力，屬于中檔題21、（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）利用分析法進行證明；（2）利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可