三角函數(shù)正余弦定理

1、_戴氏教育中高考名校沖刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友們，請(qǐng)你們仔細(xì)聽老師講而且隨著老師的思想走。學(xué)業(yè)的成功重在于考點(diǎn)的不停過濾，相信我贈(zèng)予你們的是你們學(xué)業(yè)成功的過濾器。感謝使用！】主管署名：_3.6正弦定理和余弦定理一、考點(diǎn)、熱門回首2014會(huì)這樣考1.考察正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、引誘公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考察復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.經(jīng)過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角變換，和三角函數(shù)性質(zhì)相聯(lián)合基礎(chǔ)知識(shí).自主學(xué)習(xí)abc2R，此中R是三角形

2、外接圓的半徑由正弦定理可1正弦定理：sinAsinBsinC以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sinAabc，sinB，sinC等形式，以解決不一樣的三角形問題2R2R2R2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余cosAb2c2a2a2c2b2Ca2b2c2弦定理能夠變形：，cosB，cos.2bc2ac2ab111abc13SABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半2224R2徑)，并可由此計(jì)算R、r.4在ABC

3、中，已知a、b和A時(shí)，解的狀況以下：_A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAabab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，AB?ab?sinAsinB.依據(jù)所給條件確立三角形的形狀，主要有兩種門路：化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)行邊、角變換1在ABC中，若A60，a3，則abc_.AsinBsinCsin2(2012福建)已知ABC的三邊長(zhǎng)成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_(2012重慶)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos33A，co

4、sB55，b3，則c_.134(2011課標(biāo)全國(guó))在ABC中，B60，AC3，則AB2BC的最大值為_5已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc162，則三角形的面積為()A22B82C.22D.2_二、典型例題題型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a3，b2，B45.求角A、C和邊c.思想啟示：已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的個(gè)數(shù)的判斷研究提高(1)已知兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只要直接用正弦定理代入求解即可已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意議論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)惹起注意已知

5、a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a1，b3，AC2B，則角A的大小為_題型二利用余弦定理求解三角形例2cosBb在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.cosC2ac(1)求角B的大?。蝗鬮13，ac4，求ABC的面積_cosBb思想啟示：由，利用余弦定理轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺年P(guān)系求解cosC2ac研究提高(1)依據(jù)所給等式的構(gòu)造特色利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是快速解答本題的重點(diǎn)嫻熟運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用A已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos22cosA0.求角A的值；若a23，bc4，

6、求ABC的面積題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2012課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC_3asinCbc0.求A；(2)若a2，ABC的面積為3，求b，c.思想啟示：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)變?yōu)榻?，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相聯(lián)合，可求出b，c.研究提高在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角往常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山牵俾?lián)合正、余弦定理即可求角在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)3，求a，b的值；若c2，C，且ABC的面積為3(2)若sinCsin(BA)sin2A，試判斷ABC的形狀_易錯(cuò)警告系列代數(shù)化

7、簡(jiǎn)或三角運(yùn)算不妥致誤典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀審題視角(1)先平等式化簡(jiǎn)，整理成以單角的形式表示判斷三角形的形狀能夠依據(jù)邊的關(guān)系判斷，也能夠依據(jù)角的關(guān)系判斷，因此能夠從以下兩種不一樣方式切入：一、依據(jù)余弦定理，進(jìn)行角化邊；二、依據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊化角規(guī)范解答溫馨提示(1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷此題也可剖析式子的構(gòu)造特色，從式子看擁有顯然的對(duì)稱性，可判斷圖形為等腰或直角三角形(3)易錯(cuò)剖析：方法一中由sin2Asin2B直接獲得A

8、B，其實(shí)學(xué)生忽視了2A與2B互補(bǔ)的狀況，因?yàn)橛?jì)算問題犯錯(cuò)而結(jié)論錯(cuò)誤方法二中由c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)許多同學(xué)直接獲得c2a2b2，實(shí)際上是學(xué)生忽視了a2b20的狀況，因?yàn)榛?jiǎn)不妥致誤結(jié)論表述不規(guī)范正確結(jié)論是ABC為等腰三角形或直角三角形，而許多學(xué)生回答為：等腰直角三角形_高考圈題系列高考取的解三角形問題典例：(12分)(2012遼寧)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.角A，B，C成等差數(shù)列求cosB的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值考點(diǎn)剖析此題考察三角形的性質(zhì)和正弦定理、余弦定理，考察轉(zhuǎn)變能力和運(yùn)算求解能力解題策略依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可直接

9、求得B；利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)變到只含角或只含邊的式子，而后求解規(guī)范解答解后反省(1)在解三角形的相關(guān)問題中，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷(2)在求解時(shí)要依據(jù)式子的構(gòu)造特色判斷使用哪個(gè)定理以及變形的方向.方法與技巧ABC1應(yīng)嫻熟掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，2中互補(bǔ)和互余的狀況，聯(lián)合222引誘公式能夠減少角的種數(shù)_2正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈巧運(yùn)用，如由正、余弦定理聯(lián)合得sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，能夠進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明失誤與防備在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和此中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，從而求出其余的邊和角時(shí)，有

10、時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，因此要進(jìn)行分類議論利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制三、習(xí)題練習(xí)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每題5分，共20分)1(2012廣東)在ABC中，若A60，B45，BC32，則AC等于()A43B23C.3D.322(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若acosAbsinB，則sinAcosAcos2B等于()1B.1C1D1A223在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a2bcos，則此三角形必定ABCC是()A等腰直角三角形B直角三角形_C等腰三角形D等腰三角形或直角三角

11、形4(2012湖南)ABC中，AC7，BC2，B60，則BC邊上的高等于()33336339A.2B.C.D.224二、填空題(每題5分，共15分)51(2011北京)在ABC中，若b5，B，sinA，則a_.436(2011福建)若ABC的面積為3，BC2，C60，則邊AB的長(zhǎng)度等于_7在ABC中，若AB5，AC5，且cosC9，則BC_.10三、解答題(共22分)8(10A25分)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且知足cos，ABAC253.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值BC79(12分)在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2cos2A.22求A的度數(shù)；(2)若a3，bc3，求b、c的值_B組專項(xiàng)能力提高(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每題5分，共15分)1(2012上海)在ABC中，若sin2Asin2BBC,3b20acosA，則sinAsinBsinC為()A432B567C543D654二、填空題(每題5分，共15分)4在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則A_，ABC的形狀為