數(shù)學研討專題立體幾何空間向量與立體幾何答案

1、專題立體幾何空間向量與立體幾何答案部分1.分析：（1）連接B1C，ME1因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以MEB1C，且ME=B1C21又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D2由題設知A1B1PDC，可得B1CPA1D，故MEPND，所以四邊形MNDE為平行四邊形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDAuuur以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標系D-xyz，zD1C1A1B1NMDCAByx則A(2,0,0)，(2,0,4)，M(1,uuuruuuur(1,3,2)，A1uuuruuurA1N(1,0,2)，A1N(1,

2、0,2)uuuurmAM01設m(x,y,z)為平面A1MA的法向量，則uuur，mA1A0 x，所以可取m(3,1,0)4z0uuur，nMN設n(p,q,r)為平面A1MN的法向量，則uuurnA1N03q，(2,0,1)所以可取np2r0于是cosm,nmn2315，|mn|255所以二面角AMA1N的正弦值為1052.分析：（I）因為PA平面ABCD，所以PACD.又因為ABCD，所以CD.平面PAD，（II）過A作AD的垂線交BC于點M，因為PA平面ABCD，所以PAAM,PAAD，如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2

3、，0），P（0，0，2），因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）.uuuruuur2,2,2,uuur0,0,2.所以AE0,1,1，PCAPuuur1uuur22,2uuuruuuruuur224所以PFPC3,3，AFAPPF3,3333設平面AEF的法向量為nx,y,z，則nuuuv0yz0AE.nuuuv，即2x2y4zAF00333令z=1,則y=-1,x=-1.于是n1,1,1.又因為平面PAD的法向量為p1,0,0np3，所以cosp.n3因為二面角F-AE-P為銳角，所以其他弦值為33zPFEGDyABMCx（III）直線AG在平面AEF內(nèi)，因為點G在PB上，且PG2uurP

4、B,PB2,1,2,3uuur2uur42,4uuuruuuruuur422所以PGPB3,3，AGAPPG,3,.3333由（II）知，平面AEF的法向量為n1,1,1，uuurn=-422所以AG0，所以直線AG在平面AEF內(nèi).3333.分析：方法一：I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，則A1EBC.又因為A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.所以EFBC.（）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形因為A1E

5、平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O，則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補角）.不如設AC=4，則在RtA1EG中，A1E=23，EG=3.因為O為A1G的中點，故EOOGA1G15，22所以cosEOGEO2OG2EG232EOOG53所以，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=A

6、C，所以，A1E平面ABC.如圖，以點E為原點，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Exyz.不如設AC=4，則13），B（3，1，0），B1(3,3,23)33，C(0，2，0).F(,23)22uuur(3,3,2uuur3,1,0)所以，EF3)，BC(22uuuruuur0得EFBC由EFBC（）設直線EF與平面A1BC所成角為，uuur(uuur(0,2,23)，由（）可得BC3,1,0)，AC1設平面A1BC的法向量為n(x,y,z)，uuurn03xy0BC由uuur，得，A1Cn0y3z0uuur取n(1,3,1)，故sinuuurEFn4cosEF,n

7、uuurn.EF5所以直線EF與平面3A1BC所成角的余弦值為.54.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.32.（2019全國理19）圖1是由

8、矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC構(gòu)成的一個平面圖形，此中AB=1，BE=BF=2，F(xiàn)BC=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.5.分析（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG確立一個平面，從而A，C，G，D四點共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE（2）作EHBC，垂足為H因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC由已知，菱形BCGE的邊長為2

9、，EBC=60，可求得BH=1，EH=3uuur以H為坐標原點，HC的方向為x軸的正方向，建立以下列圖的空間直角坐標系Hxyz，uuuruuur則A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，1，0）設平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則uuurn0,x3z0,CGuuurn即2xy0.AC0,所以可取n=（3，6，3）又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以cosn,mnm3|n|m|2所以二面角BCGA的大小為306.分析：（1）由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE又BEEC1，所以BE平面E

10、B1C1（2）由（1）知BEB190由題設知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12ABuuuruuur以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，|DA|為單位長，建立以下列圖的空間直角坐標系D-xyz，zyxuuuruuur則C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB(1,0,0)，CE(1,1,1)，uuuurCC1(0,0,2)設平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則CBn0,x0,uuurn即xyz0,CE0,所以可取n=(0,1,1).設平面ECC1的法向量為m=（x，y，z），則CC1m0,2z0,uuurm即xyz0.C

11、E0,所以可取m=（1，1，0）于是cosn,mnm1|n|m|2所以，二面角BECC1的正弦值為327.分析：（I）因為PA平面ABCD，所以PACD.又因為ABCD，所以CD.平面PAD，（II）過A作AD的垂線交BC于點M，因為PA平面ABCD，所以PAAM,PAAD，如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）.uuur0,1,1uuur2,2,2,uuur0,0,2所以AE，PCAP.uuur1uuur22,2uuuruuuruuur224所以PFPC3,3，A

12、FAPPF3,3333設平面AEF的法向量為nx,y,z，則uuuvyz0nAE0.nuuuv，即2x2y4zAF00333令z=1,則y=-1,x=-1.于是n1,1,1.又因為平面PAD的法向量為p1,0,0np3，所以cosp.n3因為二面角F-AE-P為銳角，所以其他弦值為33zPFEGDAyMBCx（III）直線AG在平面AEF內(nèi)，因為點G在PB上，且PG2uur2,1,2,PB,PB3uuur2uur4,24uuuruuuruuur422.所以PGPB,，AGAPPG,3333333由（II）知，平面AEF的法向量為n1,1,1，uuur4220，所以直線AG在平面AEF內(nèi).所以A

13、Gn=-3338.分析：方法一：I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，則A1EBC.又因為A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.所以EFBC.（）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形因為A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O，則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角

14、（或其補角）.不如設AC=4，則在RtA1EG中，A1E=23，EG=3.因為O為A1G的中點，故EOOGA1G15，22所以cosEOGEO2OG2EG232EOOG5所以，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是35方法二：（）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC.如圖，以點E為原點，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Exyz.不如設AC=4，則A1（0，0，23），B（3，1，0），B1(3,3,23)，F(xiàn)(3,3,23)，C(

15、0，2，0).22uuur(3,3,2uuur3,1,0)所以，EF3)，BC(22uuuruuur0得EFBC由EFBC（）設直線EF與平面A1BC所成角為，uuuruuur(0,2,23)由（）可得BC(3,1,0)，1，AC設平面A1BC的法向量為n(x,y,z)，uuurn03xy0BC由uuur，得，A1Cn0y3z0uuur取n(1,3,1)，故sinuuurEFn4cosEF,nuuurn.EF53所以直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.59.分析（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG確立一個平面，從而A，C，G，D四點共面由已知得ABBE，ABB

16、C，故AB平面BCGE又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE（2）作EHBC，垂足為H因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC由已知，菱形BCGE的邊長為2，EBC=60，可求得BH=1，EH=3uuur以H為坐標原點，HC的方向為x軸的正方向，建立以下列圖的空間直角坐標系Hxyz，uuuruuur則A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，1，0）設平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則uuurn0,x3z0,CGuuurn0,即y0.AC2x所以可取n=（3，6，3）又平面BCGE的法向量可取為m=（0，

17、1，0），所以cosn,mnm3|n|m|2所以二面角BCGA的大小為3010.分析：（1）由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE又BEEC1，所以BE平面EB1C1（2）由（1）知BEB190由題設知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB以D為坐標原點，uuuruuurDA的方向為x軸正方向，|DA|為單位長，建立以下列圖的空間直角坐標系D-xyz，zyxuuuruuur則C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB(1,0,0)，CE(1,1,1)，uuuurCC1(0,0,2)設平面EBC的法

18、向量為n=（x，y，x），則CBn0,x0,uuurn即xyz0,CE0,所以可取n=(0,1,1).設平面ECC1的法向量為m=（x，y，z），則CC1m0,2z0,uuurm即xyz0.CE0,所以可取m=（1，1，0）于是cosn,mnm1|n|m|2所以，二面角BECC1的正弦值為3211.分析：（1）連接B1C，ME1因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以MEB1C，且ME=B1C21又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D2由題設知A1B1PDC，可得B1CPA1D，故MEPND，所以四邊形MNDE為平行四邊形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DE

19、DAuuur以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標系D-xyz，zD1C1A1B1NMDCAByx則A(2,0,0)，(2,0,4)，M(1,uuuruuuur(1,3,2)，A1uuuruuurA1N(1,0,2)，A1N(1,0,2)uuuurmAM01設m(x,y,z)為平面A1MA的法向量，則uuur，mA1A0 x，所以可取m(3,1,0)4z0uuurnMN0，設n(p,q,r)為平面A1MN的法向量，則uuurnA1N03q，所以可取n(2,0,1)p2r0于是cosm,nmn2315，|mn|255所以二面角AMAN的正弦值為101512.分析：（I

20、）因為PA平面ABCD，所以PACD.又因為ABCD，所以CD.平面PAD，（II）過A作AD的垂線交BC于點M，因為PA平面ABCD，所以PAAM,PAAD，如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）.uuur0,1,1uuur2,2,uuur0,0,2所以AE，PC2,AP.uuur1uuur22,2uuuruuuruuur224所以PFPC3,3，AFAPPF3,3333設平面AEF的法向量為nx,y,z，則uuuvyz0nAE0nuuuv，即2x2y4z.AF0

21、0333令z=1,則y=-1,x=-1.于是n1,1,1.又因為平面PAD的法向量為p1,0,0，所以cosnp3np.3因為二面角F-AE-P為銳角，所以其他弦值為33zPFEGDyAMBCx（III）直線AG在平面AEF內(nèi)，因為點G在PB上，且PG2uur2,1,2,PB,PB3uuur2uur4,24uuuruuuruuur422所以PGPB3,3，AGAPPG,3,.3333由（II）知，平面AEF的法向量為n1,1,1，uuurn=-4220，所以直線AG在平面AEF內(nèi).所以AG333uuuruuuruuur的方向為x軸，yz13.分析依題意，可以建立以A為原點，分別以AB，軸，軸A

22、DAE正方向的空間直角坐標系，以下列圖，可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2).設CFh(h0)，則F1,2,h.uuuruuuruuuruuur0（）依題意，AB(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF(0,2,h)，可得BFAB，又因為直線BF平面ADE，所以BF平面ADE.uuur(1,1,0),uuur(1,0,2),uuur(1,2,2).（）依題意，BDBECEuuur0 xy0設nnBD，不如令z1，(x,y,z)為平面BDE的法向量，則uuur，即x2z0nBE0uuuruuurn4可得n(2,2,1)CE.所以有cosC

23、E,nuuur.|CE|n|9所以，直線CE與平面BDE所成角的正弦值為4.9uuur0 xy0（）設m(x,y,z)為平面BDF的法向量，則mBDuuur，即2yhz0，mBF0不如令y1，可得m1,1,2.h2|mn|418由題意，有cosm,nh.經(jīng)檢驗，符合題意.|m|n|43，解得h327h2所以，線段CF的長為8.72010-2018年1【分析】(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD作PHEF，垂足為H由(1)得，PH平面ABFDuuuruuur以H為坐標原點，HF的方向為y軸正方向，|BF|為單位長，建立以下列圖的空

24、間直角坐標系HxyzzPDCEFyHABx由(1)可得，DEPE又DP=2，DE=1，所以PE=3又PF=1，EF=2，故PEPF可得PH3,EH322則H(0,0,0)，P(0,0,3)，D(1,3uuur(1,3,3)，,0)，DP2222uuur3)為平面ABFD的法向量HP(0,0,2uuuruuur33設DP與平面ABFD所成角為，則sinHPDP4|uuuruuur|HP|DP|34所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為342【分析】(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，四邊形A1ACC1為矩形又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，ACEFABBCACBE，AC平面B

25、EF(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如圖建立空間直角坐稱系ExyzzA1FC1B1DGECxAyB由題意得B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,2)，G(0,2,1)uuuruurCD=(2，0，1)，CB=(1，2，0)，設平面BCD的法向量為n(a，b，c)，uuur02ac0nCDuur0，a2b，nCB0令a2，則b1，c4，平面BCD的法向量n(2，1，4)，uur又平面CDC1的法向量為EB=(0，2，0)，uuruur21cosnEB=nEBuur21|n|EB|由圖可得二面角BC

26、DC1為鈍角，所以二面角BCDC1的余弦值為2121(3)平面BCD的法向量為n(2，1，4)，G(0,2,1)，F(xiàn)(0,0,2)，uuuruuuruuurGF=(0，2，1)，nGF2，n與GF不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD訂交3【分析】(1)因為APCPAC4，O為AC的中點，所以OPAC，且OP23連接OB因為ABBC2AC，所以ABC為等腰直角三角形，2且OBAC，OB1AC22由OP2OB2PB2知POOB由OPOB，OPAC知PO平面ABCuuurxyz(2)如圖，以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系OzPAOyxBMC由已

27、知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,23)，uuur(0,2,2uuur(2,0,0)AP3)，取平面PAC的法向量OB設M(a,2a,0)(0uuur(a,4a,0)a2)，則AM設平面PAM的法向量為n(x,y,z)uuruuurn0得2y23z0，可取n(3(a4),3a,a)，由APn0,AMax(4a)y0所以cosuuur23(a4)uuur3OB,n由已知得|cosOB,n|23(a4)23a2a22所以23|a4|a2=3解得a4（舍去），a423(a4)23a223所以n(83,43,uuur(0,2,23)，所以cosuu

28、ur334)又PCPC,n334所以PC與平面PAM所成角的正弦值為344【分析】(1)由題設知，平面CMD平面ABCD，交線為CD因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM?DC為直徑，所以DMCM因為M為CD上異于C，D的點，且又BCICM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)以D為坐標原點，uuurx軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標系DA的方向為DxyzzMDACyBx當三棱錐MABC體積最大時，M為CD?的中點由題設得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，uuuur(uuuruu

29、ur(2,0,0)AM2,1,1)，AB(0,2,0)，DA設n(x,y,z)是平面MAB的法向量，則nuuuur0,2xyz0,AMnuuur即2y0.AB0.可取n(1,0,2)uuurDA是平面MCD的法向量，所以uuuruuur5nDAcosn,DAuuur，|n|DA|5uuur25sinn,DA，5所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是255D為原點，分別以uuuruuuruuur5【分析】依題意，可以建立以DA，DC，DG的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(

30、0,1,2)，G(0,0,2)，M(0,3,1)，N(1,0,2)2zNGFEMCDyABxuuuruuur(2,0,2)設n0(x,y,z)為平面CDE的法向(1)證明：依題意DC(0,2,0)，DEuuur2y0，n0DC0，不如令z1，可得n0(1,0,1)量，則uuur即n0DE0，2x2z0，uuuur3,1)uuuurn0，又MN(1,，可得MN02又因為直線MN平面CDE，所以MN平面CDEuuur(1,0,0)uuur(1，2，2)uuur(0,1,2)(2)依題意，可得BC，BE，CFuuur，x，設n(x,y,z)為平面BCE的法向量，則uuur即x2y2z，nBE0，0不

31、如令z1，可得n(0,1,1)uuur，x，設m(x,y,z)為平面BCF的法向量，則uuur即y2zmBF0，0不如令z1，可得m(0,2,1)所以有cosm,nmn310，于是sinm,n10|m|n|1010所以，二面角EBCF的正弦值為1010uuur(3)設線段DP的長為h(h0.2(1，2，h)，則點P的坐標為(0,0,h)，可得BPuuur(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量，故易知，DCuuuruuuruuuruuurBPDC2，cosBPDCuuuruuurh2BPDC52sin60o3，解得h3由題意，可得50,2h223所以線段DP的長為336【分析】如圖，在正三棱柱

32、ABCA1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1uuuruuuruuuurOB，以OB,OC,OO1為基底，建立空間直角坐標系Oxyz因為ABAA12，所以A(0,1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2)zA11C1OPB1AOCyQBx(1)因為P為A1B1的中點，所以31，P(,2)22uuur從而BP故|cos3,1uuuur(0,2,2)，(,2),AC122uuuruuuuruuuruuuur|14|310|BPAC1BP,AC1uuuruuuur522|BP|AC1|20所以，

33、異面直線BP與AC1所成角的余弦值為31020(2)因為Q為BC的中點，所以31，Q(,0)22uuur(3uuuuruuuur所以AQ,3,0)，AC1(0,2,2),CC1(0,0,2)2設n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，uuur33AQn0,0,xy則uuuurn即22AC10,2y2z0.不如取n(3,1,1)，設直線CC1與平面AQC1所成角為，uuuuruuuurn|25則sin|CC1，|cosCC1,n|uuuur|n|525|CC1|所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為557【分析】（1）由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD因為ABCD，故ABP

34、D，從而AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）在平面PAD內(nèi)做PFAD，垂足為F，由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCDuuuruuur以F為坐標原點，F(xiàn)A的方向為x軸正方向，|AB|為單位長，建立以下列圖的空間直角坐標系FxyzzPDCyFABx由（1）及已知可得A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(2,1,0)2222uuur(2,1,uuur(2,0,0)uuur(2,0,2)，所以PC2)，CB，PA2222uuur(0,1,0)AB設n(x,y,z)是平面PCB的法向量，則uuur02xy2z0nPCuuur0，即2

35、2，nCB2x0可取n(0,1,2)設m(x,y,z)是平面PAB的法向量，則uuur22mPA0 xz0，即22uuur0mABy0可取n(1,0,1)則cosnm3，|n|m|3所以二面角APBC的余弦值為338【分析】（1）取PA的中點F，連接EF，BF因為E是PD的中點，所以EFAD，EF1AD由BADABC90o得BCAD，又BC1AD，所以22EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PABuuuruuur（2）由已知得BAAD，以A為坐標原點，AB的方向為x軸正方向，|AB|為單位長，建立如圖的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0

36、,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，uuur(1,0,uuur(1,0,0)P(0,1,3)，PC3)，ABzPFMEBADyxC設M(x,y,z)(0 xuuuur(xuuuur(x,y1,z3)1)，則BM1,y,z)，PM因為BM與底面ABCD所成的角為45o，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所uuuur|sin45o，|z|2，以|cosBM,nz2(x1)2y22即(x1)2y2z20uuuuruuur又M在棱PC上，設PMPC，則x，y1，z33x2x12122由，解得y1（舍去），y1z6z622所以M(12,1,uuuur(12,1,6)6)，從而AM2222

37、設m(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，則uuuur0mAM(22)x02y06z00，uuur，即mAB=0 x00所以可取m(0,6,2)，于是cosm,nmn10|m|n|5所以二面角MABD的余弦值為1059【分析】（1）由題設可得，ABDCBD，從而ADDC又ACD是直角三角形，所以ACD=900取AC的中點O，連接DO，BO，則DOAC，DOAO又因為ABC是正三角形，故BOAC所以DOB為二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90o所以平面ACD平面ABCuuur（2）由題設及（1）知，OA,O

38、B,OD兩兩垂直，以O為坐標原點，OA的方向為x軸uuur正方向，OA為單位長，建立以下列圖的空間直角坐標系O-xyz，則zDCEOByxAA(1,0,0)，B(0,3,0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由題設知，四周體ABCE的體積為四周體ABCD的體積的1，從而E到平面2ABC的距離為D到平面ABC的距離的1，即E為DB的中點，得E(0,3,1)故222uuuruuur(2,0,0)uuur1,3,1)AD(1,0,1)，AC，AE(22uuur0，xz0設n=x,y,z是平面DAE的法向量，則ngAD31uuur即x0ngAE0，2yz2可取n(1,3,1)3uuur0，mgAC(

39、0,1,3)設m是平面AEC的法向量，則uuur同理可得mmgAE0，則cosn,mngm7nm7所以二面角DAEC的余弦值為7710【分析】如圖，以A為原點，分別以uuuruuuruuurAB，AC，AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系依題意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)uuuruuur2)設n(x,y,z)，為平面BDE的法向量，（）證明：DE=(0,2,0)，DB=(2,0,uuuruuuur則nDE0，即2y0不如設z1，可得n（，），(1,0,1)又MN1n

40、uuur02x2z0=12DBuuuur0可得MNn因為MN平面BDE，所以MN/平面BDE（）易知n1(1,0,0)為平面CEM的一個法向量設n2(x,y,z)為平面EMN的法向n2uuuur0uuuuruuuur2yz0EM量，則uuuur，因為EM(0,2,1)，MN(1,2,1)，所以不如n2MN0 x2yz0設y1，可得n2(4,1,2)所以有cosn1,n2n1n24，于是sinn1,n2105|n1|n2|2121所以，二面角CEMN的正弦值為10521uuuur(1,2,h)，（）依題意，設AH=h（0h4），則H（0，0，h），從而可得NHuuuruuuuruuuruuuur

41、uuur|2h2|7(2,2,2)由已知，得|cos|NHBE|BENH,BE|uuuuruuur2，整理得|NH|BE|2321h510h221h80，解得h8，或h152所以，線段AH的長為8或15211E，連接ME【分析】（）設AC,BD交點為因為PD平面MAC，平面MACI平面PBDME，所以PDME因為ABCD是正方形，所以E為BD的中點，在PBC中，知M為PB的中點（）取AD的中點O，連接OP，OE因為PAPD，所以OPAD又因為平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD因為OE平面ABCD，所以OPOE因為ABCD是正方形，所以OEAD如圖建立空間直角坐標系O

42、xyz，則P(0,0,2)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，uuuruuurBD(4,4,0)，PD(2,0,2)設平面BDP的法向量為n(x,y,z)，則nuuur04x4y0BDnuuur，即2x2zPD00令x1，則y1，z2于是n(1,1,2)平面PAD的法向量為p(0,1,0)，所以cosnp1|n|p|2由題知二面角BPDA為銳角，所以它的大小為3（）由題意知M(1,2,2)，D(2,4,0)uuuur(3,2,2)，MC22uuuuruuuur26設直線MC與平面BDP所成角為，則sin|nMC|cos|uuuur9|n|MC|所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為2691

43、2【分析】(1)面PADI面ABCDAD，面PAD面ABCD，ABAD，AB面ABCD，AB面PAD，PD面PAD，ABPD，又PDPA，PD面PAB，(2)取AD中點為O，連接CO，PO，CDAC5，COAD，PAPD，POAD，以O為原點，如圖建系易知P(0，01)，B(11，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0)，zPDAOyBCxuuuv(11，1)uuuv(0，1，1)uuuv(2，0，1)uuuv(2，1，0)，則PB，PD，PC，CDvv設n為面PDC的法向量，令n(x0，y0,1)vuuuv0vnPD1，1,1，則PB與面PCD夾角vuuuv0n有，nPC2vuuuv11vu

44、uuvnPB13sincos2n,PBvuuuv13nPB1314(3)假設存在M點使得BM面PCD，設AM，M0,y,z，AP由(2)知A0,1,0，Puuur0,uuuur0,0,1，AP1,1，B1,1,0，AM0,y1,zuuuuruuurM0,1,有AMAPuuuur1,BMuurBM面PCD，n為PCD的法向量，uuuurr0，即10，1BMn2=4綜上，存在M點，即當AM1時，M點即為所求AP413【分析】()連接FC，取FC的中點M，連接GM,HM，因為GM/EF，EF在上底面內(nèi)，GM不在上底面內(nèi)，所以MH/BC，BC平面ABC，MHGHM/平面ABC，由GH平面EAGM/上底

45、面，所以GM/平面ABC；又因為平面ABC，所以MH/平面ABC；所以平面GHM，所以GH/平面ABCFGHCB()連接OB，QABBCOAOB，認為O原點，分別以OA,OB,OO為x,y,z軸，建立空間直角坐標系z，EOFCOBAyxQEFFB123，ABBCAC2OOBF2(BOFO)23，于是有A(23,0,0)，C(23,0,0)，B(0,23,0)，F(xiàn)(0,3,3)，uuur(0,uuur可得平面FBC中的向量BF3,3)，CB(23,23,0),于是得平面FBC的一個法向量為urn1(3,3,1)，又平面ABC的一個法向量為uurn2(0,0,1)，設二面角FBCA為，則cosn1

46、n217n1n277二面角FBCA的余弦值為7714【分析】(1)證明：找到AD中點I，連接FI，矩形OBEF,EFOBG、I是中點，GI是ABD的中位線，GIBD且GI1BD，21BD，EFGI且EF=GIO是正方形ABCD中心，OB2四邊形EFIG是平行四邊形，EGFIFI面ADF，EG面ADF(2)OEFC正弦值，以下列圖建立空間直角坐標系OxyzEzFHBGAOIxCDyB0，2，0，C2，0，0，E0，2，2，F(xiàn)0，0，2設面CEF的法向量ur，n1xyzuruuurx，y，z0，2，0n1EF2y0uruuurx，y，z2，0，2n1CF2x2z0 x2ur得：，y0n1201z1

47、OC面OEF，面OEF的法向量uurn21，00uuruurcosuuruurn1n226n1，n2uuruur313n1n2uruur263sinn1，33(3)AH2uuuur2uuur2，22，4HF，AHAF520250355設Hx，y，z，x32uuuur522，4AHx2，得：y0554z5uuur32，2，4BH55uuurur64cosuuuruurBHn1557BH，n2uuurur2221BHn13515【分析】（）連接BD，設BDIAC=G，連接EG,FG,EF在菱形ABCD中，不如設GB=1，由ABC120o，可得AG=GC=3，由BE平面ABCD，AB=BC可知，AE

48、=EC，又AEEC，EG=3，EGAC，在RtEBG中，可得BE=2在RtFDG中，可得FG=62，故DF=22在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=2，可得EF=32，22EG2FG2EF2，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AECG為坐標原點，分別以uuuruuuruuur（）如圖，以GB,GC的方向為x軸，y軸正方向，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz，由（）可得A(0，3，0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,0，23，0)，)，C(0，2uuuruuur2）AE=（1，3，2），CF=（1，3，2uuuruuuruuuruuur3

49、AEgCF故cosAE,CFuuuruuur3|AE|CF|所以直線AE與CF所成的角的余弦值為3316【分析】解法一：（）如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又G是BE的中點，所以GH/AB，且GH=1AB，2又F是CD中點，所以DF=1CD，2由四邊形ABCD是矩形得，ABCD，AB=CD，所以GHDF，且GH=DF從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH，又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE（）如圖，在平面BEG內(nèi)，過點B作BQEC，因為BECE，所以BQBE又因為AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點，分別以uuuruuuruuurBE,BQ,BA的方向

50、為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(xiàn)(2，2，1)因為ABuuur平面BEC，所以BA=(0,0,2)為平面BEC的法向量，ruuuruuur1)，設n(x,y,z)為平面AEF的法向量又AE(2,0,2)，AF=(2,2,ruuur0，2x2z0,rngAE1,2)由ruuur得2x2yz取z=2得n=(2,ngAF0，0,ruuurruuur42rngBA,從而cosn,BA=uuur323|n|BA|所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為23解法二：（）如圖，取AB中點M，連接MG，MF，又G是BE的中點，可

51、知GM/AE，又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM/平面ADE在矩形ABCD中，由M,F分別是AB，CD的中點得MF/AD又AD平面ADE，MF平面ADE，所以MF/平面ADE又因為GMIMF=M，GM平面GMF，MF平面GMF所以平面GMFP平面ADE，因為GF平面GMF，所以GF/平面ADE（）同解法一17【分析】（）證法一：連接DG，CD，設CDGFO，連接OH在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DF/GC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點，又H為BC的中點，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH證法二：在三

52、棱臺DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點，可得BHEF，BHEF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BEHF，在ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GHAB，又GHHFH，所以平面FGH平面ABED，因為BD平面ABED，所以BD平面FGH（）解法一：設AB2，則CF1，在三棱臺DEFABC中，G為AC的中點，由DF1ACGC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，2所以DGFC，又FC平面ABC，所以DG平面ABC，在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中點，所以ABBC，GBGC，所以GB,GC,GD兩兩垂直，以G為坐標原點，建立以下列圖的空間直角坐標系Gxyz，zDF

53、EGyACBxH所以G(0，0，0)，B(2,0，0)，C(0，2,0),D(0，0，1)可得H(22,0)(02,0)，F(xiàn)，22故GH(2，2,0),(02,0)，GF，2設n(x,y,z)是平面FGH的一個法向量，則uuur0 xy0nGH由uuur0可得2yz0nGF可得平面FGH的一個法向量n(1,1,2)，uuuruuur2,0,0），因為GB是平面ACFD的一個法向量，GB（uuuruuurn21GB，所以cosGB,nuuur222|GB|n|所以平面FGH與平面ACFD所成角（銳角）的大小為60解法二：作HMAC與點M，作MNGF與點N，連接NHDFENMAGCHB由FC平面A

54、BC，得HMFC，又FCACC，所以HM平面ACFD，所以GFNH，所以MNH即為所求的角，在12BGC中，MHBG，MHBG，22由GNMGCF，可得MNGM，從而MN6，F(xiàn)CGF6由HM平面ACFD，MN平面ACFD，得HMMN，所以tanMNHHM3，所以MNH60，MN所以平面FGH與平面ACFD所成角（銳角）的大小為6018【分析】（）在圖1中，因為AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，BAD=，所以BEAC2即在圖2中，BEOA1，BEOC從而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC（）由已知，平面A1BE平面BCDE，又由（）知，BEOA1，BEOC所以A1OC為二面

55、角A1-BE-C的平面角，所以A1OC2如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，因為A1B=A1E=BC=ED=1，BCPED所以B(2,0,0)，E(2,0,0)，A1(0,0,2)，C(0,2,0)2322uuur22,0),uuuur22uuuruuur得BC(-,A1C(0,-)，CD=BE=(-2,0,0)2222uruur設平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2)，平面A1BC與平面A1CD夾角為，uruuurx1y10urn1BC0則uruuur，得y1z1，取n1=(1,1,1)，n1A1C00uuruuurx20uurn2C

56、D0(0,1,1)，uuruuur，得y2z20，取n2n2A1C0從而cosuruur|26，|cosn,n12323即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為6319【分析】（）連接BD交AC于點O，連接EO因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點又E為PD的中點，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，uuuruuurAB的方向為x軸的正方向，AP為單位長，建立空間直角坐標系Axyz，zPEADyBOCx則D(0,3,0),E(0,3uuur(0,3,1),1),AE2222設

57、B(m,0,0)(m0)，則C(m,3,0),uuur(m,3,0)AC設n1(x,y,z)為平面AEC的法向量，uuurmx3y0,n1AC0,3，可取n1(1,3)則uuur即3y1z,n1AE0,0,m22又n2(1,0,0)為平面DAE的法向量，由題設cosn1,n213132，即4m2，解得m322因為E為PD的中點，所以三棱錐EACD的高為12三棱錐E11313ACD的體積V32322820【分析】（）證明：四邊形ABCD為等腰梯形，且AB2CD，所以ABMA且CDMA，連接AD1ABCDA1B1C1D1為四棱柱，CD/C1D1CDC1D1又M為AB的中點，AM1CD/AM,CDA

58、MAM/C1D1,AMC1D1AMC1D1為平行四邊形，AD1/MC1又C1M平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1，AD1/平面A1ADD1（）方法一：由（）知平面D1C1MI平面ABCD=AB作CNAB，連接D1N則D1NC即為所求二面角C1ABC的平面角在中，BC1NBC60032ND1CD12CN2152在RtD1CN中，cosD1NCCN5D1N5方法二：連接AC,MC，由（）知CDAM且CDAMAMCD為平行四邊形可得BCADMC，由題意ABCDAB60o，所以MBC為正三角形所以AB2BC2,CA3，CACBzD1C1A1B1xDCAMBy以C為原點，CD為x軸，CP為y軸，C

59、D1為z軸建立空間坐標系，C1(1,0,3),D1(0,0,133),M(,0)22C1D1(1,0,0),D1M(1,3,3)22設平面C1D1M的法向量為n(x1,y1,z1)x101x13y13z10n1(0,2,1)22明顯平面ABCD的法向量為n2(1,0,0)n1n215cosn1,n2n255n1明顯二面角為銳角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值為55NC3352cosD1CN1515.D1N5221【分析】（）（方法一）BCBD,DFFC，且CBD120，BCF為RT三角形，BFFC同理，BCBA,AEEC，且ABC120，BCE為RT三角形BEEC，BCFBCE

60、，過E作EOBC，垂足為O，連接OF，可證出EOCFOC，所以EOCFOC，即FOBC2從而證出BC面EOF，又EF面EOF，所以EFBCAEBOCDF（方法二）由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立以下列圖空問直角坐標系易得B0,0,0，A(0,1,3)，AzEBCyFDxD(3,1,0)，C(0,2,0)13因此E(0,)，22F(3uuur(3,0,3)，,1,0)，EF2222uuuruuuruuur0，BC(0,2,0)，所以EFgBCuuuruuurBCEFBC，所以EF（）如上圖中，平面