矩陣分析線性變換

1、矩陣分析線性變換7.2 線性變換的運(yùn)算第1頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五1定義設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們事實上，一、 線性變換的乘積 的乘積 為： 則 也是V的線性變換.第2頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五基本性質(zhì)（1）滿足結(jié)合律： （2），E為單位變換 （3）交換律一般不成立，即一般地，第3頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五例1. 線性空間中，線性變換 而， 即第4頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五例2. 設(shè)A、B為兩個取定的矩陣，定義變換則皆為的線性變換，且對有第5頁，共23頁，202

2、2年，5月20日，9點18分，星期五則 也是V的線性變換.二、 線性變換的和 1定義設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的和 為：事實上，第6頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五（3） 0為零變換.（4）乘法對加法滿足左、右分配律：2基本性質(zhì)（1）滿足交換律：（2）滿足結(jié)合律：第7頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五3負(fù)變換設(shè)為線性空間V的線性變換，定義變換為：則 也為V的線性變換，稱之為的負(fù)變換.注：第8頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五三、 線性變換的數(shù)量乘法 1定義的數(shù)量乘積 為：則 也是V的線性變換.設(shè)為線性空間V的線性變

3、換，定義 k 與第9頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五2基本性質(zhì)注：線性空間V上的全體線性變換所成集合對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，記作第10頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五四、 線性變換的逆 則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作1定義設(shè)為線性空間V的線性變換，若有V的變換使2基本性質(zhì)(1) 可逆變換的逆變換也是V的線性變換.第11頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五證：對 是V的線性變換.第12頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五(2) 線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng).證：設(shè)為線性空

4、間V上可逆線性變換.任取 若 則有為單射.其次，對令則且為滿射.故為一一對應(yīng).第13頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為V的線性變換，且故可逆，.線性變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng)(3) 設(shè)是線性空間V的一組基，為V的線性無關(guān).證： 設(shè)于是因為可逆，由(2)，為單射，又第14頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五而線性無關(guān)，所以故線性無關(guān).若線性無關(guān)，則它也為V的一組基.因而，對有即有為滿射.第15頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五線性無關(guān)若 則有其次，任取 設(shè)即由(2)， 為可逆變換.故為一一對應(yīng).從而，為單射.

5、第16頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五(4) 可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組.線性無關(guān).若證：設(shè)為線性空間V的可逆變換，則有，又可逆，于是是一一對應(yīng)，且 故 線性無關(guān).由 線性無關(guān)，有第17頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五當(dāng)時，規(guī)定（單位變換）.五、線性變換的多項式 1線性變換的冪設(shè)為線性空間V的線性變換，n為自然數(shù)，定義稱之為的n次冪. 第18頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五 易證注： 當(dāng)為可逆變換時，定義的負(fù)整數(shù)冪為 一般地，第19頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五設(shè) 為V的一個線性變換，則2線性變換的多項式多項式.也是V的一個線性變換，稱 為線性變換的第20頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五注： 在 中，若則有， 即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律. 對有第21頁，共23頁，2022年，5月20日，9點18分，星期五證明：練習(xí)：設(shè)為線性變換，若證：對k作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)k=2時，若對兩端左乘，得對兩端右乘，得上兩式相加，即得第22頁，共23頁，