電磁場靜電場精品課件

1、電磁場靜電場第1頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場22.1 基本方程及其微分形式 電磁場的普遍規(guī)律麥克斯韋方程組靜態(tài)情況下，D/ t=0, B/ t=0時(shí)變電場和時(shí)變磁場相互聯(lián)系、不可分割組成統(tǒng)一的電磁場電場和磁場分為兩個獨(dú)立的部分第2頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場3靜電場基本方程的積分形式物理學(xué)積分形式場中大范圍的特性電磁場微分形式每個場點(diǎn)上的特性第3頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場42.1.1 高斯通量定理的微分形式 將閉合面S縮小，使其包圍的體積V0 用哈密頓算子表示

2、D = 高斯通量定理的微分形式，表明靜電場是有散場。物理意義 D相當(dāng)于單位體積散發(fā)的電通量，即電通量體密度 S物理上定義為電荷密度數(shù)學(xué)上定義為D的散度divD由divD = 第4頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場5所以 這就是數(shù)學(xué)上的“高斯散度定理” 上式把D的體積分轉(zhuǎn)換為D的閉合面積分D表示單位體積散發(fā)出的電通量，即電通量體密度。 表示總體積V中散發(fā)出的電通量， V表示穿出閉合面S的電通量S同一個量第5頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場6在直角坐標(biāo)系中 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，D的展開式見附錄。 應(yīng)用之一：特殊情況下

3、，已知 分布，求D分布（例2-1） 應(yīng)用之二：已知電場D分布，求體電荷密度 （例2-2）第6頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場7例2.1 已知半徑為R的無限長圓柱體內(nèi)均勻分布體電荷 ，介電常數(shù)為，試由D=求柱內(nèi)外的E。 解：由于 的分布具有軸對稱性， 因此 D 的分布也具有軸對稱性， D只有 Dr 分量，且只與 r 有關(guān)。 柱內(nèi)（rR） ，有體電荷分布，滿足D = 柱外（rR），無體電荷=0，滿足D = 0應(yīng)分兩個區(qū)域分別求解D 在柱坐標(biāo)系下展開簡化第7頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場81）在柱內(nèi)（rR時(shí)）由不定積分

4、求解 得通解 (rR)其中C1為積分常數(shù)，因r = 0處D = 0，故C1=0第8頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場92）在柱外（rR）不定積分求解得 (Rr)其中積分常數(shù)C2由分界面邊界條件確定(rR)第9頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場10可見，電荷只分布在r 2 的圓柱內(nèi)，圓柱外無電荷分布。 例2.2 已知圓柱坐標(biāo)系中r2時(shí)， ；r2時(shí)， ，求電場中的體電荷分布。解：r2時(shí)：r2時(shí)：該點(diǎn)有D線發(fā)出D 00D線在該點(diǎn)終止D 0)( x 0時(shí)通過一次不定積分，得 再次不定積分，得通解 設(shè)分界面x=0處為電位參考點(diǎn)，

5、則 第48頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場49由于對稱于分界面x=0，x=0處，E=0即 則因而 (x0) 第49頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場50兩個區(qū)域中場強(qiáng)解可合并為 3）電場強(qiáng)度可通過電位梯度運(yùn)算得到 兩個區(qū)域中場強(qiáng)解可合并為第50頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場512.3.4 靜電場的唯一性定理 靜電場問題通常難以通過泊松方程或拉普拉斯方程求解，須采用其他方法求解。 靜電場的唯一性定理：在靜電場中凡滿足電位微分方程和給定邊界條件的解，是給定靜電場的唯一正確解。 注

6、意：應(yīng)同時(shí)滿足以下三個條件1）多區(qū)域時(shí)，應(yīng)分別滿足各自場域的微分方程2）在場域的邊界面上，應(yīng)滿足給定的邊界條件3）不同介質(zhì)分界面上，應(yīng)符合分界面銜接條件第51頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場52解：判斷依據(jù)唯一性定理： 既滿足泊松方程,又滿足邊值 d0=U0例2-8 試判斷以下表達(dá)式哪個是圖示問題的正確解？x0 derU0第52頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場532是正確解3也是正確解?4也不是解1絕不是解 x0 derU思考：為何兩個正確解？E= 唯一第53頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期

7、五*第二章靜電場54例2-9 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2，中間為兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，分界面過直徑，電壓為U 。試說明兩種介質(zhì)中的E相同。 U e1R1e2R21中滿足21=02中滿足22=0解：1內(nèi)外邊界電位差為U2內(nèi)外邊界電位差為U且分界面兩側(cè)場強(qiáng)切線分量 E1t= E2t因此，根據(jù)唯一性定理，可知 E1= E2第54頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場55作 業(yè)R 202-10 圖示長直圓柱體半徑為R，表面電位為U ，其中均勻分布體電荷密度為 ，介電常數(shù)為20 ，試由泊松方程求圓柱體內(nèi)的電位和場強(qiáng)。 第55頁，共103頁，2022年

8、，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場562.4 鏡像法與電軸法2.4.1 導(dǎo)電平面鏡像接地導(dǎo)電平面存在感應(yīng)電荷合成場強(qiáng)E不再具有球?qū)ΨQ性無限大接地導(dǎo)電平面上方有一個點(diǎn)電荷q，既無法由高斯通量定理求解，也無法由拉普拉斯方程求解。 q2=0=0E=0 第56頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場57對照q在無限大空間產(chǎn)生的電場：根據(jù)唯一性定理，可以判定這兩個問題的上半空間電場解答是相同的。等效點(diǎn)電荷q代替面電荷鏡像電荷大小 q位置 h q q=02=0E1hh q2=0=0E=0 h第57頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章

9、靜電場58上半空間的電位和場強(qiáng)可由疊加原理得到 q q=02=0E1hh第58頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場59 解：地面和墻壁均為零等位面，場域中除點(diǎn)電荷所在位置之外，其它場點(diǎn)均滿足拉普拉斯方程。 a a b b b a -q q-q2=0=0=0IIIIIIIVq b a 例2-10 求圖示地面和墻壁附近的點(diǎn)電荷q所受的電場力。 2=0baq=0=0第59頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場60一般來說，若兩導(dǎo)電平面夾角為，可用鏡象法求解 此時(shí)鏡象電荷數(shù)目為 個，且都在求解區(qū)外。否則，鏡像電荷必會落在求解區(qū)之內(nèi)，

10、不能用鏡像法求解。qq q q第60頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場612.4.2 介質(zhì)平面鏡象分界面存在極化電荷，影響兩側(cè)的電場分布。（1）1中，除q所在位置外，滿21=0； （2）2中，處處滿足22=0； 1 2（a） q h（3）分界面上，滿足銜接條件1=2邊值問題 P 第61頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場62111qq/r1r2h h22q/hr2對于分界面上的P點(diǎn)，r1=r2=r=rP，由銜接條件1=2確定鏡像電荷聯(lián)立求解，得 第62頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電

11、場63鏡 像 法 小 結(jié)實(shí)質(zhì)等效電荷代替不均勻面電荷依據(jù)靜電場解答的“唯一性定理”關(guān)鍵確定等效電荷的大小和位置注意鏡像電荷必須在求解區(qū)之外計(jì)算多個點(diǎn)（線）電荷電場疊加第63頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場642.4.3 球面鏡象 除q位置外，滿足2 =0 無限遠(yuǎn)處（r）=0 1. 點(diǎn)電荷q在接地導(dǎo)體球外 導(dǎo)體球接地，球面R=0 球面存在不均勻面電荷確定鏡像電荷球面電位 d q R R等位面方程r1r2q2 q R db即得第64頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場652.點(diǎn)電荷q在不接地導(dǎo)體球外 除q所處位置外，空間中

12、滿足2=0； 電荷分布在有限范圍內(nèi),無限遠(yuǎn)處（r），0；qqbdqRRdq 導(dǎo)體球面等電位，但R0； 導(dǎo)體球面上有等量異號感應(yīng)電荷； 負(fù)感應(yīng)電荷用q代替，正感應(yīng)電荷和原有電荷用q代替。鏡像電荷第65頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場66q/的大小分三種情況討論1）若球面原來帶電Q ，由 q= q+ q= Q 2）若球面原來不帶電 3）若已知球面電位 RqqbdqR得由得第66頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場67例2-12 半徑R=0.1m的不接地導(dǎo)體球原先帶電量Q=10-6庫侖，離球心距離d=0.2m處有一點(diǎn)電荷q=

13、105C，求點(diǎn)電荷q受力。 dqRQ由庫侖定律可求得點(diǎn)電荷之間的作用力 F = F + F = 20+13.5 = 6.5 牛頓思考:本例中點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球電荷Q帶同號為何相吸？解：先確定鏡像電荷的大小和位置 qq/q/bd第67頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場68例2-11 無限大接地導(dǎo)板上有一凸起的半球體，正上方有一點(diǎn)電荷q。求：半球體上的最大場強(qiáng)。qhR3）由疊加原理計(jì)算A點(diǎn)的最大場強(qiáng) 2）撤去平面，用鏡像電荷q和q代替平面上的感應(yīng)電荷 q/qdb解：1）撤去半球面，用鏡像電荷q代替球面上的感應(yīng)電荷q/bqd A第68頁，共103頁，2022年，5

14、月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場692.4.4 電軸法adxa 電氣和通信工程中常遇到兩根長直、平行、圓柱導(dǎo)體的電場邊值問題（1）兩根圓柱導(dǎo)體外的空間，處處滿足2=0；（2）兩根圓柱導(dǎo)體表面分別為等電位面；（3）兩根圓柱導(dǎo)體表面分別有等量異號電荷。 xybbaahh(x,y)r1r2例2-5曾討論過，線電荷的等位面是一族偏心園，且有以下關(guān)系第69頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場70電軸法解題步驟daax1）將兩個圓柱面撤去，導(dǎo)體表面電荷用等效電軸代替，aa2）設(shè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在電軸中間hhbby3）根據(jù)圓柱導(dǎo)體的半徑a和位置h，確定電軸位置4）由疊

15、加原理計(jì)算兩平行圓柱導(dǎo)體外的電位(x,y)r1r2第70頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場71例2-13 半徑分別為R1和R2的兩長直圓柱導(dǎo)線幾何軸間距為d，分別帶等量異號電荷，求導(dǎo)線外的電位分布及A、B兩點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：標(biāo)明等效電軸的位置，取其中間為坐標(biāo)原點(diǎn) 由 聯(lián)立求解得求等效電軸到原點(diǎn)的距離 BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2 h2h1d則圓柱導(dǎo)體外電位分布為 第71頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場72由E= 或疊加原理求得場強(qiáng)對于圖示A點(diǎn) 為正值, 對于圖示B點(diǎn) 為負(fù)值, yB=0 BA+(x,

16、y)yxh2R2h1R1bbR1R2 h2h1d第72頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場732-15 兩種電介質(zhì)分界面附近有一點(diǎn)電荷q =1C，距離分界面h=2cm 。求： 1）點(diǎn)電荷q所受的力 2）圖示A點(diǎn)的電位 3）圖示B點(diǎn)的電場強(qiáng)度E 4）穿過分界面進(jìn)入2中的電通量A 1cm2cmq B 1r=12r=2.52cm 作 業(yè)2-17 不接地導(dǎo)體球半徑R=0.1m，原先不帶電。距離球心0.2 m處有一點(diǎn)電荷q =106庫侖，周圍為空氣。求： 1）球心的電位值（0）； 2）球面的電位值（R）； 3）點(diǎn)電荷q 所受的力f dqR第73頁，共103頁，2022

17、年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場742.5 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 2.5.1 兩導(dǎo)體間的電容單位：F 電容的大小只與兩導(dǎo)體的形狀、尺寸、相對位置及導(dǎo)體間的介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)，而與是否帶電及電量大小無關(guān)。 孤立導(dǎo)體的電容 看為另一導(dǎo)體在無限遠(yuǎn)處電容計(jì)算假設(shè)qE假設(shè)U第74頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場75解：設(shè)等效電軸到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為b。 由電軸法可確定 兩導(dǎo)線間電壓 一般來說 ha，bh，傳輸線向單位長度的電容可簡化為+hbhb例2-14 求：傳輸線單位長度的電容。 第75頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電

18、場762.5.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容靜電獨(dú)立系統(tǒng)： （n+1）個導(dǎo)體構(gòu)成的靜電獨(dú)立系統(tǒng)q=0 q1 11#q2 2 2#q3 3 3#0# 電場分布只與系統(tǒng)內(nèi)各帶電體的形狀、尺寸、相互位置及電介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)，而與系統(tǒng)外帶電體無關(guān)； 所有電位移D線全部從系統(tǒng)內(nèi)帶電體發(fā)出，全部終止于系統(tǒng)內(nèi)帶電體。第76頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場771）各帶電體電位與各導(dǎo)體電荷之間的關(guān)系 稱為電位系數(shù)：下標(biāo)相同的ii 稱為自有電位系數(shù)； 下標(biāo)不同的 ij稱為互有電位系數(shù)。 只與各導(dǎo)體自身的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)； 所有電位系數(shù)都是正值； 自有電位系

19、數(shù)ii大于與它有關(guān)的互有電位系數(shù)ij互有電位系數(shù)具有互易性ij=ji第77頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場78例2-16 圖示地面附近有兩個半徑為R1的帶電小球，電量分別為q1和q2，可看為集中在球心上。選地面為0號參考導(dǎo)體，求：該系統(tǒng)的電位系數(shù)。 q1q1 q2 q2h2h2Ddh1h1解：考慮到地面感應(yīng)電荷的影響，應(yīng)看作是由三個導(dǎo)體組成的靜電獨(dú)立系統(tǒng)。將地面影響用鏡像電荷代替，則有 令q10，q2=0，可得則令q20，q1=0，可得 則令q20，q1=0，可得則其中第78頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場792）

20、各帶電體的電荷與各導(dǎo)體電位的函數(shù)關(guān)系式 稱為靜電感應(yīng)系數(shù):下標(biāo)相同的ii稱為自有感應(yīng)系數(shù)， 下標(biāo)不同的 ij（ij）稱為互有感應(yīng)系數(shù)。 只與導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)； 自有感應(yīng)系數(shù)ii都是正值；互有感應(yīng)系數(shù)ij都是負(fù)值； 自有感應(yīng)系數(shù)ii大于與它有關(guān)的互有感應(yīng)系數(shù)的絕對值ij 。 互有感應(yīng)系數(shù)具有互易性ij=ji 第79頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場803）各導(dǎo)體與其它導(dǎo)體之間的電壓Ukj分析實(shí)際問題時(shí)，常將中的電位改寫為各導(dǎo)體之間的電壓Ukj來表示。 例如 因此，方程組改寫為 C 稱為部分電容:主對角線元素Cii稱為自有部分

21、電容，非對角線元素Cij（ij）稱為互有部分電容。 第80頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場81 C只與導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)；部分電容具有以下性質(zhì)： n+1個導(dǎo)體的獨(dú)立系統(tǒng)，共有n（n+1）/ 2個部分電容。 自有部分電容代表各導(dǎo)體與0號導(dǎo)體之間的部分電容； 互有部分電容代表非參考導(dǎo)體之間的部分電容。 三相電纜與外殼組成四導(dǎo)體系統(tǒng)，共有個部分電容。AC10C20C30C12C23C31BC 所有部分電容都是正值； 互有部分電容具有互易性Cij=Cji第81頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場

22、82+ V2#3#G1=2=31#q11你能根據(jù)方程組設(shè)計(jì)測量部分電容的實(shí)驗(yàn)方法嗎？q1j21#3#2#-V+3=01=0G第82頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場83等效電容的概念 從兩個導(dǎo)體看進(jìn)去的入端等效電容 可通過Y變換和串并聯(lián)化簡得到, 一般來說C10= C20= C30，C12= C23= C31； Y 變換時(shí)C = CY/3； Y變換時(shí)CY=3CCABC10C20C30C12C13C23CABAC10C20C30C12C23C31BCCAB第83頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場842.5.3 靜電屏蔽

23、C121#2#部分電容使導(dǎo)體之間會相互影響 當(dāng)用不接地導(dǎo)體將某導(dǎo)體包圍0#C20C10對于三導(dǎo)體組成的靜電獨(dú)立系統(tǒng)若外導(dǎo)體帶電，僅在0#導(dǎo)體外表面感應(yīng)電荷q0=q2，不會在內(nèi)部產(chǎn)生電場，因此對內(nèi)導(dǎo)體實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽。若內(nèi)導(dǎo)體帶電，則在0#導(dǎo)體內(nèi)外分別產(chǎn)生q0，內(nèi)外電場都會受到影響，外導(dǎo)體的電位U20和電荷q2都會改變，不會產(chǎn)生屏蔽效果。 當(dāng)用接地導(dǎo)體將某導(dǎo)體包圍雖然q1使0#導(dǎo)體內(nèi)表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷q0，但外表面沒有+q0，不會改變外導(dǎo)體的電位U20和電荷q2 ，從而對內(nèi)外導(dǎo)體均實(shí)現(xiàn)屏蔽。第84頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場85作 業(yè)0 hR2-20 半徑為

24、R的長直圓柱形導(dǎo)體離地面高度為h，求以下兩種情況時(shí)單位長度導(dǎo)線與大地之間的電容C0。1）考慮大地的影響(需用電軸法)；2）忽略大地的影響（孤立導(dǎo)體）。2-21 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2 ，絕緣材料的介電常數(shù)為30 。求：單位長度的電容C0。UR2R1第85頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場862.6 電場能量和電場力 靜電場中儲存著能量，它在電場建立過程中，由外源做功轉(zhuǎn)化而來。 外源做功轉(zhuǎn)化為電場儲能 對于線性介質(zhì)，使電荷達(dá)到最后的分布需要做的功是一定的，與實(shí)現(xiàn)這一分布的方式和過程無關(guān)。 充電方式之一：假設(shè)所有電荷密度都按同一比例m增加。充電開

25、始時(shí)m=0，各處都沒有電荷， (0)=0；充電終了時(shí)m=1，各處都達(dá)到電荷密度最終值 ；在充電過程中0m1，各處都按同一比例增加(t)= m第86頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場87因此, 將q移至電場內(nèi)，外源作功為由于/ = m 表示某一時(shí)刻移動單位電荷所作的功充電全過程，外源作功轉(zhuǎn)化的靜電場能量為考慮到可能存在面電荷，則電場能量積分公式為 A=q=(m) (mdV)任一瞬時(shí)，電荷密度增量 mm第87頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場88注意：正確理解公式中各 項(xiàng)的含義表示體電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電能？ 表示面電荷單獨(dú)產(chǎn)生

26、的電能？ 表示儲存在體積V中的電能？ 表示儲存在面積S上的電能？ 導(dǎo)體系統(tǒng)的儲能由于電荷只分布在導(dǎo)體表面，每個導(dǎo)體表面是等位面第88頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場89例2-18 雙線傳輸線導(dǎo)體半徑均為R，幾何軸間距為2h，電壓為U，求：單位長度儲存的電場能量。 R2hxRU解：雙線傳輸線電場蔓延至無界場域由因此，單位長度儲能為 第89頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場90電場能量分布及其密度 =D = D nE = 互相抵消空腔內(nèi)表面S1導(dǎo)體外表面S1r時(shí)積分為零Vn導(dǎo)體S1因此電場儲能第90頁，共103頁，202

27、2年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場91對于線性、各向同性介質(zhì) 由此，既可求整個場域中的能量，也可求得局部場域中的靜電能量。 可見，電場能量是分布在場域中每個場點(diǎn)上的靜電能量體密度 單位：J/m3例2-17 已知半徑為R的球形空間均勻分布體電荷密度。求電場中的靜電能量。0R0解法一：由電荷積分公式計(jì)算 （rR時(shí)） 第91頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場92球外： 球內(nèi)外電場總儲能： 解法二：由電場積分公式計(jì)算球內(nèi)： 可見，兩種解法結(jié)果相同，但后者可計(jì)算局部場域儲能0R0第92頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章

28、靜電場932.6.3 點(diǎn)電荷系統(tǒng)的互有能量E = E1 + E2 + En 假設(shè)點(diǎn)電荷q1、q2、qn單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為E1、E2En ，則合成場強(qiáng) 自有能量將許多元電荷dq從無限遠(yuǎn)處移來，壓縮成點(diǎn)電荷qj需要做的功；互有能量由于電荷之間相互作用引起，隨電荷間相互移近或離遠(yuǎn)而改變。利用 求解點(diǎn)電荷系統(tǒng)的能量時(shí)，其中k應(yīng)不含自身產(chǎn)生的電位第93頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場94虛位移法求電場力虛位移法基于虛功原理求電場力的方法。 1）廣義坐標(biāo)和廣義力廣義坐標(biāo)確定系統(tǒng)中各導(dǎo)體的形狀、尺寸和相互位置的一組獨(dú)立幾何量。廣義力企圖改變某一廣義坐標(biāo)的力。

29、力與能量具有密切聯(lián)系。廣義力的物理含義與所選用的廣義坐標(biāo)有關(guān)，兩者的乘積應(yīng)等于功（能）。 廣義坐標(biāo) 廣義力 乘 積長度L（m） 一般的力（N） Fdl=dA（Nm）面積S（m2） 表面張力（N/m） Tds= dA（Nm）體積V（m3） 壓強(qiáng)（N/m2） PdV=dA（Nm）角度（無量綱） 力矩（Nm） Md=dA（Nm） 第94頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場95假設(shè)在n+1個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中， 只有一個導(dǎo)體受力產(chǎn)生位移，其他導(dǎo)體都不動； 而且該導(dǎo)體也只有一個廣義坐標(biāo)g產(chǎn)生位移dg。 2）虛位移法求電場力 根據(jù)能量守恒原理，該系統(tǒng)所發(fā)生的功能過程為dW

30、=kdqk表示外源提供的能量；為靜電能量的增量 fdg為電場力所作的功以下分兩種情況討論 第95頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場96（1）假定各導(dǎo)體的電荷維持不變qk=常數(shù) 所有帶電體都不與外源相聯(lián)，外源不提供能量dW=0 （2）假定各導(dǎo)體的電位維持不變k=常數(shù) 則則負(fù)號表示電場力做功要靠減少電場儲能來實(shí)現(xiàn) 外源提供能量一半用于增加電場儲能，另一半用于電場力作功 第96頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場97解法一：取極間距離d為廣義坐標(biāo)，并假設(shè)U=常數(shù)負(fù)號表示電場力使廣義坐標(biāo)d減小，即兩極相吸單位面積受力例2-20 平板電容器極板面積為S，極板距離為d，電壓為U，介電常數(shù)為0。求：極板上單位面積所受電場力。 0U第97頁，共103頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)43分，星期五*第二章靜電場98解法二：仍取極間距離d為廣義坐標(biāo)，但假設(shè)q=常數(shù) 解法三：取極間體積V為廣義坐標(biāo)，假設(shè)U=常數(shù)