電磁場(chǎng)與電磁波：第四章時(shí)變電磁場(chǎng)

1、電磁場(chǎng)與電磁波課件：第四章時(shí)變電磁場(chǎng)第1頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五14.1 波動(dòng)方程 在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程 波動(dòng)方程 二階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。 麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng) 間的相互作用關(guān)系。 麥克斯韋方程組 波動(dòng)方程。 問(wèn)題的提出電磁波動(dòng)方程第2頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五2同理可得 推證 問(wèn)題 若為有源空間，結(jié)果如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？第3頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五34.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù) 討論內(nèi)容 位函

2、數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程第4頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五4引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。 引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義第5頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五5 位函數(shù)的不確定性 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和 能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。 不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。 原因：未規(guī)定 的散度。為任意可微函數(shù)第6頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五6除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即 在電磁理論中

3、，通常采用洛侖茲條件，即 位函數(shù)的規(guī)范條件 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定 的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。第7頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五7 位函數(shù)的微分方程第8頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五8同樣第9頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五9 說(shuō)明 若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什么特點(diǎn)? 問(wèn)題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱 的，且比較簡(jiǎn)單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于

4、J，標(biāo) 量位只決定于，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需 解出 就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。 電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位 的解也不相同，但最終 得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。第10頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五104.3 電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容 坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量第11頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五11 進(jìn)入體積V的能量體積V內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量： 特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)

5、的電磁場(chǎng)能量密度也要隨 時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。 電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系第12頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五12 其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加 的電磁能量 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率 通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積V 的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式： 坡印廷定理微分形式：第13頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五13在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由 推證第14頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五1

6、4即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S 所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式 物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積V的電磁能量等于 體積V 中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。第15頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五15 定義： ( W/m2 ) 物理意義： 的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较?的大小 通過(guò)垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率 描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）第16頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五16 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑

7、為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I 。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線第17頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五17 解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第18頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分

8、，星期五18電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）第19頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五19 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）第20頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五20式中 是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功

9、率。由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）第21頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五214. 4 惟一性定理 在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V 內(nèi)，如果給定t0 時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值，并且在 t 0 時(shí)，給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，那么，在 t 0 時(shí)，區(qū)域V 內(nèi)的

10、電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述 在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問(wèn)題。 惟一性問(wèn)題第22頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五22 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng) 問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。 第23頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五234. 5 時(shí)諧電磁場(chǎng) 復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時(shí)諧場(chǎng)的位

11、函數(shù) 亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量第24頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五24 時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念 如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。 研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信 的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。 任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不 同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示第25頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五25 時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)

12、表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。 設(shè) 是一個(gè)以角頻率 隨時(shí)間t 作正弦變化的場(chǎng)量標(biāo)量函數(shù)，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成其中時(shí)間因子空間相位因子 利用三角公式式中的A0為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示第26頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五26 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量 真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。 由

13、于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來(lái)，只用與坐標(biāo)有 關(guān)的部分就可表示。第27頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五27 例 將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以第28頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五28（2）因?yàn)?故 所以 第29頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五29 例 已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量第30頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五30以電場(chǎng)旋度方程 為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得 將 、 與 交換次序，得上式對(duì)任意 t 均成立。令

14、 t0 ，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程令t/2 ，得即第31頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五31從形式上講，只要把微分算子 用 代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程 略去“.”和下標(biāo)m第32頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五32 例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為式中 解：（1）因?yàn)楣孰妶?chǎng)的復(fù)矢量為試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。第33頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五33（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值第34頁(yè)，

15、共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五34實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗。 電介質(zhì)受到極化時(shí)，存在電極化損耗。 磁介質(zhì)受到磁化時(shí)，存在磁化損耗。 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中c= -j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。 對(duì)于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有第35頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五35 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì) 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率 對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)

16、，有 ，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。 對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為 對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。第36頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五36 損耗角正切 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì) 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體 一般導(dǎo)電媒質(zhì) 良導(dǎo)體 工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。第37頁(yè)，

17、共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五37導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4 亥姆霍茲方程 在時(shí)諧時(shí)情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量復(fù)矢量第38頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五384.5.5 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量復(fù)矢量第39頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五394.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。 設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)

18、度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為 電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。 時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法第40頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五40則能流密度為 如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實(shí)部，再代入 第41頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五41使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題 二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式 場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可 場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘” 如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子第42頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五42 二次式的時(shí)間平均值 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心二次式在一個(gè)時(shí)間周期 T 中的 平均值，即平均能流密度矢量平均電場(chǎng)能量密度平均磁場(chǎng)能量密度 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì) 算，有第43頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五43則平均能流密度矢量為 如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)