高中 高二 數(shù)學(xué) 變化率問題（教學(xué)設(shè)計(jì)）

1、5.1.1 變化率問題坪山高級(jí)中學(xué) 李思念一、教學(xué)目標(biāo)1.體會(huì)由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程，理解平均速度、瞬時(shí)速度的區(qū)別和聯(lián)系.2.掌握瞬時(shí)速度的概念，會(huì)求解瞬時(shí)速度的相關(guān)問題.3.掌握割線與切線的定義，會(huì)求其斜率.二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)瞬時(shí)速度的概念、割線與切線的定義及斜率求法.2、教學(xué)難點(diǎn)割線與切線的斜率.三、教學(xué)過程1、新課導(dǎo)入在之前的學(xué)習(xí)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，知道了對(duì)數(shù)增長(zhǎng)是越來越慢的，指數(shù)爆炸比直線上升快得多，那么能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢？這節(jié)課我們就來研究一下這個(gè)問題.2、探索新知一

2、、平均速度問題1 高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度探究 在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？例如，在這段時(shí)間里，；在這段時(shí)間里，.一般地，在這段時(shí)間里，.思考：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，發(fā)現(xiàn)了什么？用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為0. 顯然，在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài). 因此，用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)間段里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).二、瞬時(shí)速度1.瞬時(shí)速度的概念：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.2.求運(yùn)動(dòng)員在s時(shí)

3、刻的瞬時(shí)速度設(shè)運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻附近某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時(shí)間段的長(zhǎng)度，那么將越來越趨近于運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.為了求運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度，在之后或之前，任意取一個(gè)時(shí)刻，是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0. 當(dāng)時(shí)，在1之后；當(dāng)時(shí)，在1之前. 當(dāng)時(shí)，把運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段內(nèi)近似看成做勻速直線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算時(shí)間段內(nèi)的平均速度，用平均速度近似表示運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度.當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)可作類似處理.為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時(shí)間間隔，得到如下表格.當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)當(dāng)時(shí)，在時(shí)間段內(nèi)思考：給出更多的值，利用計(jì)算工具計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均速度的值.當(dāng)無限趨近于0時(shí)，平均速度

4、有什么變化趨勢(shì)？當(dāng)無限趨近于0，即無論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時(shí)，平均速度都無限趨近于.事實(shí)上，由可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，也無限趨近于0，所以無限趨近于，這與前面得到的結(jié)論一致. 數(shù)學(xué)中，我們把叫做“當(dāng)無限趨近于0時(shí)，的極限”，記為.從物理的角度看，當(dāng)時(shí)間間隔無限趨近于0時(shí)，平均速度就無限趨近于時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此，運(yùn)動(dòng)員在s時(shí)的瞬時(shí)速度.三、割線與切線的斜率問題2 拋物線的切線的斜率1.割線與切線的定義為了研究拋物線在點(diǎn)處的切線，我們通常在點(diǎn)的附近任取一點(diǎn)，考察拋物線的割線的變化情況.當(dāng)點(diǎn)無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線稱為拋物線在點(diǎn)

5、處的切線.2.割線與切線的斜率（1）割線的斜率拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率與割線的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.記，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.于是，割線的斜率.（2）切線的斜率我們可以用割線的斜率近似地表示切線的斜率，并且可以通過不斷縮短橫坐標(biāo)間隔來提高近似表示的精確度，得到如下表格. 當(dāng)無限趨近于0時(shí)，即無論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時(shí)，割線的斜率都無限趨近于2.事實(shí)上，由可以直接看出，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于2. 我們把2叫做“當(dāng)無限趨近于0時(shí)，的極限”，記為.從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)，于是割線無限趨近于點(diǎn)處的切線.這時(shí)，割線的斜率無限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率.因此，切線的斜率.課堂總結(jié)平均速度、瞬時(shí)速度的概念及其關(guān)系。瞬時(shí)速度的求法。曲線割線與切線斜率的