第二型線積分和面積分

1、第二型線積分和面積分2009年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第1頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日若對(duì)全空間或其中某一區(qū)域 V 中每一點(diǎn) M, 都有一 個(gè)數(shù)量 (或向量) 與之對(duì)應(yīng), 則稱在 V 上給定了一個(gè) 數(shù)量場(chǎng) (或向量場(chǎng)). 例如: 溫度和密度都是數(shù)量場(chǎng), M 的位置可由坐標(biāo)確定. 因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就總是設(shè)它對(duì)每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每 重力和速度都是向量場(chǎng). 在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后, 點(diǎn) 等于給定了一個(gè)數(shù)量函數(shù) 在以下討論中 場(chǎng)的概念第2頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日個(gè)向量場(chǎng)都與某個(gè)向量函數(shù) 相對(duì)應(yīng). 這里 P, Q

2、, R 為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù), 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如,設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受點(diǎn) O 的距離成正比,F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 第3頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日磁力線等都是向量場(chǎng)線.注 場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān). 引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來 進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì). 則稱曲線 L 為向量場(chǎng) 的向量場(chǎng)線. 例如電力線、 設(shè) L 為向量場(chǎng)中一條曲線. 若 L 上每點(diǎn) M 處的切線 方向都與向量函數(shù) 在該點(diǎn)的方向一致, 即 第4頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分

3、，星期日梯度場(chǎng) 我們已經(jīng)介紹了梯度的概念, 它 方向上的方向?qū)?shù). grad u 是由數(shù)量場(chǎng) u 派生出來的一個(gè)向量場(chǎng), 稱為 是由數(shù)量函數(shù) 所定義的向量函數(shù) grad u 的方向就是使方向?qū)?梯度場(chǎng). 由前面知道, 數(shù) 達(dá)到最大值的方向, 就是在這個(gè)方 第5頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日因?yàn)閿?shù)量場(chǎng) 的等值面 的法線 方向?yàn)?所以 grad u 恒與 u 的等值面 正交. 當(dāng)把它作為運(yùn)算符號(hào)來看待時(shí), 梯度可寫作 引進(jìn)符號(hào)向量 第6頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日解 若以 上的單位向量, 則有 例1 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 質(zhì)量為 1

4、的質(zhì)點(diǎn) 位于 記 第7頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力, 方向朝著原點(diǎn), 大小與質(zhì)量 的乘積成正比, 與兩點(diǎn)間距離的平方成反比. 這說明了引力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng) 的梯度場(chǎng), 因此常稱 為引力勢(shì)(gravitational potential ).第8頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1 第二類曲線積分的概念2 兩類曲線積分的聯(lián)系3 第二類曲線積分的計(jì)算第9頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日 向量函數(shù)其大小和方向都隨點(diǎn)M變化 有向曲線指定了方向的曲線.通常指出起點(diǎn)，終點(diǎn)來表明.是向量預(yù)備知識(shí)第10頁(yè)，

5、共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第二型曲線積分的概念1. 問題的提出 變力沿曲線所作的功求變力 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功W.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在變力 作用下,從點(diǎn)A點(diǎn)B,常力沿直線所作的功處理辦法分割近似代替取極限求和第11頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日（1）分割（2）近似代替( 3 ) 求和（4）取極限第12頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第13頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日2. 定義 存在稱此極限為向量若在有向曲線 上的第二類曲線積分函數(shù)(坐標(biāo)形式)(向量形式),或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分(與分法和點(diǎn)的取法無關(guān)！)，第14

6、頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第二類曲線積分（向量形式）第二類曲線積分（坐標(biāo)形式）積分路徑被積函數(shù)單獨(dú)形式稱為對(duì)坐標(biāo) x 的曲線積分;稱為對(duì)坐標(biāo) y的曲線積分.第15頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日由定義，變力沿曲線所作的功第16頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日3. 性質(zhì) 注第二類曲線積分必須注意積分路徑的方向 !第17頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日兩類曲線積分的聯(lián)系第18頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是其中簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為第19

7、頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日定理1 一定存在, 且第20頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解其中C 沿上半圓周第21頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解法2其中C 沿上半圓周第22頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日解化為定積分ab將積分化為定積分第23頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日定理設(shè)上連續(xù)，則起點(diǎn)終點(diǎn)第二類曲線積分的計(jì)算計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分當(dāng)t由ab時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(x,y)從起點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B 描出曲線為端點(diǎn)的區(qū)間

8、上連續(xù)，第24頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日注第25頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日A B對(duì)應(yīng)曲線上ab第26頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例2 計(jì)算其中(1)(2)(3)解 (1)(2)(3)被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，但是路徑不同，積分結(jié)果相同。第27頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例3 計(jì)算曲線積分解第28頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例4 設(shè)曲線G:從 ox 軸正向看去為逆時(shí)針方向,求曲線積分解第29頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日例5

9、 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受力 的作用,已知的方向指向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿直線移動(dòng)到求 F 所作的功 W.解第30頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日思考題第31頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.第32頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日練 習(xí) 題第33頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第34頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第35頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日練習(xí)題答案第36頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日第37頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日回顧: 常力沿直線所作的功若改變運(yùn)動(dòng)方向，即從點(diǎn)B到點(diǎn)A所作的功 有向曲線指定了方向的曲線.通常指出起點(diǎn)，終點(diǎn)來表明.與從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功大小相等，但符號(hào)相反.第38頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)3分，星期日 向量函數(shù)在平面區(qū)域D