第九次課 向量組線性相關(guān)性

1、第九次課 向量組線性相關(guān)性第1頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第2頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日線性相關(guān)的定義 p86 定義4.4第3頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 定義1 設(shè)有m個(gè)n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使則稱向量組1 ， 2 ， ， m線性相關(guān)；否則，稱向量組線性無(wú)關(guān)P86定理4.4 的部分內(nèi)容第4頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日線性相關(guān)兩種定義的等價(jià)性 向量組a1，a2， ，am線性相關(guān)的充要條件是： 向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。必

2、要性：因?yàn)閍1，a2， ，am線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)l1，l2， ， lm，使 l1a1l2a2 lmamo 。不妨設(shè)l10，于是即a1為a2，a3， ，am的線性組合。 充分性：不妨設(shè)a1可由其余向量線性表示： a1=l2a2l3a3 lmam，則存在不全為零的數(shù)1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ，即a1，a2， ，am線性相關(guān)。 證明：第5頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日1. 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。 2.由一個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量為零向量。3.由兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向

3、量的分量 對(duì)應(yīng)成比例。4. n 維基本單位向量e1，e2，en是線性無(wú)關(guān)的。5. 幾何意義第6頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 定義1 設(shè)有m個(gè)n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使則稱向量組1 ， 2 ， ， m線性相關(guān)；否則，稱向量組線性無(wú)關(guān)思考題：給出線性無(wú)關(guān)的直接定義 推論4.1第7頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日向量組a1，a2， ，am線性相關(guān)的充分必要條件是： 以x1，x2，xm為未知量的齊次線性方程組 x1a1 x2a2 xm am o有非零解。綜合P87定理4.4 及 推論4.1的內(nèi)容而向量組a1，a2，

4、 ，am線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是： x1a1 x2a2 xm am o只有零解。第8頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日所以方程組有非零解。21=x12-=x13-=x得方程組 由于 解:設(shè)使所以 線性相關(guān)。 例1 討論向量組的線性相關(guān)性即存在一組不全為零0的數(shù) 21=x12-=x13-=x第9頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日例4.2.1 判斷向量組的線性相關(guān)性。解 設(shè)記把A用初等行變換變?yōu)殡A梯形得知方程只有零解，所以原向量組線性無(wú)關(guān)。第10頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日思考題：如向量個(gè)數(shù)=向量維數(shù)，向量組線性相關(guān)及線

5、性無(wú)關(guān)的條件是什么？答案：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對(duì)應(yīng)行列式的值為0； 線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對(duì)應(yīng)行列式的值不為0。第11頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日注 由于A是方陣，也可以由|A|=-6得知方程組只有零解 設(shè)n階方陣，由上述定理可知，A是可逆矩陣的充要條件是方程組只有零解 由此我們得到下面的定理設(shè)A是n階方陣，則下面的三個(gè)命題等價(jià)(1)A為可逆矩陣(2)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(3)A的行向量組線性無(wú)關(guān)第12頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日例3t取何值時(shí)向量組線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān)？1=（3，2，0），2=（5，4，-1）3=（3，1

6、，t）解 由于 當(dāng) 2t-30，即t3/2時(shí)，1，2，3 線性無(wú)關(guān)當(dāng) 2 t-3 = 0，即t=3/2時(shí)，1，2，3 線性相關(guān)第13頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 例設(shè)向量組a1，a2，a3線性無(wú)關(guān)，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 試證向量組b1，b2，b3也線性無(wú)關(guān)。 證明：（一）考慮 x1b1 x2b2x3 b3 o， ，x1x1x2x2x3x3000=+從而b1，b2，b3線性無(wú)關(guān)。方程組只有零解，即 x1(a1a2) x2(a2a3)x3 (a3a1)o， 整理得 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。 因?yàn)橄蛄拷Ma1，

7、a2，a3線性無(wú)關(guān)，所以必有第14頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 例（續(xù)）設(shè)向量組a1，a2，a3線性無(wú)關(guān)，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。 試證向量組b1，b2，b3也線性無(wú)關(guān)。證明：（二）只有即只有所以向量組b1，b2，b3也線性無(wú)關(guān)。第15頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日P88 例題4.7 “部分相關(guān),則整體相關(guān).反之”觀察知 相關(guān), 從而 相關(guān).設(shè)要證相關(guān).判斷相關(guān)性的一些結(jié)論第16頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 設(shè)向量組a1，a2， ，am中有r 個(gè)向量的部分組線性相關(guān)， 不妨設(shè) a1，a2，

8、 ，ar線性相關(guān)，P88 例題4.7 如果向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。 另證：重要結(jié)論： 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān)則存在一組不全為零的數(shù) 1，2， r 使 1a12a2 raro，因而存在一組不全為零的數(shù)1，2，r，0，0，0使 1a12a2 rar +0ar+1+ + 0amo，即a1，a2， ，am線性相關(guān)。第17頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日P88 例題4.8 “個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)”A 的列組是 4 個(gè) 3 維向量, 必相關(guān).第18頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日 設(shè)向量組線性無(wú)

9、關(guān)，則向量組也線性無(wú)關(guān)(其中*取任意數(shù))“短的無(wú)關(guān), 則長(zhǎng)的也無(wú)關(guān)”.反之第19頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日證 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān), 所以方程組只有零解，從而方程組也只有零解，因此線性無(wú)關(guān)。短的無(wú)關(guān), 則長(zhǎng)的無(wú)關(guān)；長(zhǎng)的相關(guān), 則短的相關(guān). 第20頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日無(wú)關(guān), 相關(guān)則 可由 A 唯一表示.又說明: 如果一個(gè)向量可用無(wú)關(guān)組表示, 則表法必然是唯一的. 為以后引用方便, 給它起個(gè)名子叫唯一表示定理.(唯一表示定理)第21頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日(唯一表示定理) 設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān) 向量組線性

10、相關(guān)，則向量可由向量組 線性表示，且表示方式唯一。證 由于向量組線性相關(guān)，故存在不全零的數(shù)使得必然有否則，若則由于線性無(wú)關(guān)，必有這與不全為零矛盾，因此則第22頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日所以向量 可由向量組線性表示。唯一性 假設(shè)向量 由向量組 的表示有兩種移項(xiàng)由于線性無(wú)關(guān)，所以唯一性得證這一結(jié)論可以等價(jià)的表示為：方程組有唯一解。第23頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日推論4.2.2 設(shè)，且線性無(wú)關(guān)則中的任一向量都可以由向量組唯一表示。第24頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日練習(xí)題 一填空題在一向量組， ，n中，如果有

11、 部分向量組線性相關(guān)，則向量組必（ ）二、多選題：下列命題中正確的有（ ） 非零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān) 含零向量的向量組一定線性相關(guān) 由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無(wú)關(guān) 由零向量組成的向量組一定線性相關(guān) 線性相關(guān)的向量組一定含有零向量。三、分析判斷題 ：若不能被，r線性表出，則向量，r線性無(wú)關(guān)。（ ）四、證明題：設(shè)可由， ，r線性表示，但不能由， ，r線性表示，證明r可由， ，r，線性表示第25頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第26頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第27頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第28頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第29頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星期日第30頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)51分，星