離散數(shù)學 第五六七講 群環(huán)域

1、離散數(shù)學 第五六七講 群環(huán)域1第1頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義2： 如果G是有限集合, 則稱G, *是有限群; 如果G 是無限集合, 則稱G, *是無限群。有限群G的 基數(shù)|G|稱為群的階數(shù)。 如 1, 是有限群，階數(shù)為1； I, +是無限群。定義3：如果群G , * 中的運算* 是可交換的,則稱 該群為可交換群, 或稱阿貝爾群。 如 I, +是阿貝爾群。一、群的定義和性質(zhì)2 *第2頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五例1：Q+, , 1 設A是任一集合, P表示A上的雙射函數(shù)集合,”?！?表示函數(shù)合成，“-1”表示求逆運算， P, 。, -

2、1, IA N,max 代數(shù)Nk, +k, -1, 0 代數(shù)Nk, k一、群的定義和性質(zhì)是Abel群是一個群, 通常這個群不是阿貝爾群。是群, 這里x-1 =k-x不是群, 因為0元素沒有逆元 不是群。運算max和min一般地不能用作群的二元運 算, 因為如果載體多于一個元素, 逆運算不能定義。3 *第3頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五 群是半群和獨異點的特定情況, 有關半群和獨異點的性質(zhì)在群中也成立, 群的性質(zhì)還有：定理1: 如果G , *是一個群, 則對于任何a、bG, (a) 存在一個唯一的元素x, 使得a * x=b。 (b) 存在一個唯一的元素y, 使得y *

3、 a=b。證：(a) 至少有一個x滿足a * x=b, 即x= a-1 * b, 因為 a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 如果x是G中滿足a * x=b的任意元素, 則 x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b 所以, x= a-1 * b是滿足a * x=b的唯一元素。 (b) 同理可證。 一、群的定義和性質(zhì)4 *第4頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理 2： 如果G, *是一個群, 則對于任何a、b、 cG,證： 因為群的每一元素都有逆元, 本定理顯然成立。定理3：么元是群

4、中唯一等冪元素。證：如果x是等冪元素, 則 么元是群中唯一等冪元素。一、群的定義和性質(zhì)5 *第5頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理4：群G , *的運算表中的每一行或每一列都是G中 元素的一個置換。 證：i)首先, 證明運算表中的行或列所含G的一個元素不可 能多于一次。（反證法） 如果對應于元素a的那一行中有兩個元素都是k, 即a * b1=a * b2=k,根據(jù)定理2有b1=b2, 而b1b2,矛盾。 對于列也一樣可以證明。 一、群的定義和性質(zhì)6 *第6頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理4：群G , *的運算表中的每一行或每一列都是G中 元

5、素的一個置換。 證： ii)其次, 要證明G的每一個元素都在運算表的每一行 和每一列中出現(xiàn)。 考察對應于元素a的那一行,設b是G中的任一元素, 由于b=a * (a-1 * b), 所以b必定出現(xiàn)在對應于a的那一行中。 對于列也可同樣證明。 一、群的定義和性質(zhì)7 *第7頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理4：群G ,*的運算表中的每一行或每一列都是G中 元素的一個置換。 證： iii)最后, 因為G, *中含有么元, 所以沒有兩行 或兩列是完全相同的。 綜合以上結(jié)果便得出: 運算表中每一行都是G的元素的 一個置換, 并且每一行都是不同的置換。同樣的結(jié)論適合 于列。證畢。

6、 定理5：群中沒有零元。 一、群的定義和性質(zhì)8 *第8頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理6: 如果G ,*是一個群, 則對于任何a、bG, (a * b)-1= b-1 * a-1證: 由于 (a * b) * (b-1 * a-1) = a * (b * b-1) * a-1 = a * a-1 = e 而這里逆元是唯一的, 所以(a * b) -1=b-1 * a-1。推論： 思考：一階群、二階群、三階群各有幾個？ 一、群的定義和性質(zhì)9 *第9頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五 為了繼續(xù)介紹群的性質(zhì), 我們首先定義群G, *的 任意元素a的冪

7、。 如果nN, 則 由以上定義可知, 對任意m、kI, am, ak都是有意義 的,另外群中結(jié)合律成立, 不難證明以下指數(shù)定律成立: (m、kI) (m、kI) 一、群的定義和性質(zhì)10 *第10頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義4:設G ,*是一個群, 且aG, 如果存在正整數(shù)n使 an=e, 則稱元素的階是有限的, 最小的正整數(shù)n稱為元 素a的階。 如果不存在這樣的正整數(shù)n, 則稱元素a具 有無限階。 如： 群的么元e的階？ 群I,+中各元素的階？一、群的定義和性質(zhì)1么元0的階為1，非零元素有無限階。11 *第11頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星

8、期五定理7：如果群G , *的元素a擁有一個有限階n, 則ak =e, 當且僅當k是n的倍數(shù)。證: 充分性： 設k、m、n是整數(shù)。如果k=mn, 則ak = amn = (an) m = e m = e 必要性： 假定ak =e, 且k=mn+t, 0tn, 于是 at = ak-mn = ak * a-mn = e *(an)-m = e *e-m =e 由定義可知, n是使an =e的最小正整數(shù), 而0tn, 所以t=0, 得k=mn。證畢。這樣, 如果an =e, 并且沒有n的因子d(1dn)能使ad =e,則n是元素a的階。例如, 如果a8 =e, 但a2 e, a4 e, 則8必定是

9、a的階。 一、群的定義和性質(zhì)12 *第12頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理8: 群中的任一元素和它的逆元具有同樣的階。證: 設aG具有有限階n, 即an =e, 因此 (a-1)n = a-1n = (an)-1 = e-1= e 如果(a-1)的階是m, 則mn。 另一方面 am = (a-1)m -1= e -1 = e 因而nm, 故m=n。 一、群的定義和性質(zhì)13 *第13頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理9: 在有限群G , * 中, 每一個元素具有一有限階, 且階數(shù)至多是|G|。證: 設a是G , * 中任一元素。 在序列a,

10、a2 , a3, , a|G|+1中至少有兩元素是相等的, 不妨設ar = as, 這里1sr|G|+1。 因為 ar-s = ar * a-s = ar * a-r = ar-r = a0 = e 所以, a的階數(shù)至多是r-s|G|。 證畢。一、群的定義和性質(zhì)14 *第14頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義5：給定n個元素組成的集合A, A上的置換所構成的群 稱為n次置換群; A上所有置換構成的群稱為n次對 稱群。定義6：在群G, *中,如果存在一個元素gG, 對于每 一個元素aG都有一個相應的iI, 能把a表示成 gi形式,則稱G , *是一個循環(huán)群，g是該循環(huán)

11、群的生成元。 例： I,+ A=0,1,2,3,A,+4定理10：每個循環(huán)群是可交換的。二、置換群和循環(huán)群是循環(huán)群，生成元為1，-1是循環(huán)群，生成元為1和315 *第15頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理11：設G, *是由gG生成的有限循環(huán)群, 如果 |G|=n,則gn =e,G = g, g2, g3, , gn = e 且n是使gn =e的最小正整數(shù)。證: (1)先證 n是使gn =e的最小正整數(shù)。 假定有正整數(shù)mn使 gm=e, 則對G中任一元素gk, 設k=mq+r, 0rm, 于是 gk = gmq+r = (gm)q * gr = e* gr = gr

12、這意味著G中每一元素都可寫成gr形式, 但rm, 所以G中至多有m個不同元素, 這與|G|=n矛盾。 所以gm=e而mn是不可能的。 二、置換群和循環(huán)群16 *第16頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理11：設G, *是由gG生成的有限循環(huán)群, 如果 |G|=n,則gn =e,G = g, g2, g3, , gn = e 且n是使gn =e的最小正整數(shù)。證: (2) 再證g, g2, g3, , gn中的元素全不相同。 若有gi= gj, 不妨設ij, 于是gj-i=e。 但j-in, 這與n是使gn =e的最小正整數(shù)矛盾。 由于G , *是群, 所以G= g, g2

13、, g3, , gn, 又由(1)得gn =e。 證畢。 二、置換群和循環(huán)群17 *第17頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義7: 設G , *是一個群, S是G的非空子集, 并滿足以 下條件: (1) 對任意a、bS有a * bS ; (2) 對任意aS有a-1 S; (3) eS, e是G ,*的么元, 則稱S ,*是G ,*的子群。 如 I ,+是R ,+的子群， N ,+不是。 任意群G ,*均有兩個平凡子群：e,*和G ,*。三、子群18 *第18頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理12：設G , *是個群, SG, 如果(1)若a、b

14、S, 則a * bS, (2)若aS, 則a-1 S。那么S , * 是G, *的子群。證： 對任意元素aS, 由(2)得a-1 S, 再由(1)得a * a-1 =eS。 所以, S , *是G , *的子群。 三、子群19 *第19頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理13：設G, *是一個有限群, 如果對任意元素a、 bS, 有a * bS, 那么S , *是G , * 的子群。證: 設a是S 的任一元素, 則aG, 根據(jù)定理“有限群中每一個元素有一有限階”可知 a具有階數(shù)r, 由于S 對運算*的封閉性, 所以a1, a2, , ar全在S中, 即 ar-1 = a

15、r * a-1 = e * a-1 = a-1 也在S中, 這就證明了若aS, 則a-1S。 根據(jù)上面定理12, 得出S, *是G , *的子群。三、子群20 *第20頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理14：設G, *是一個群, S是G的非空子集，如果對于 S中的任意元素a、b, 有a * b-1S, 那么S , * 是G , *的子群。證: (1)S 非空，存在aS, a * a-1 S , 又 a * a-1 = e, e S ； (2)對任意 aS, eS, 又 e * a-1 S ； a-1 S ； (3)對任意 a、bS, b-1 S , a *(b-1 )

16、-1 S, a *(b-1 )-1 = a *b , a *bS 。 得證。三、子群21 *第21頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義8:設G , *和H , *是兩個群, 映射h:G H 稱為從G , *到H, *的群同態(tài), 如果對任 意a、bG, (1)h(a * b) = h(a) *h(b) (2)h(eG) =eH (3)h(a-1)=h(a)-1(2) h(eG)= h(eG * eG)=h(eG) *h(eG) 群中只有么元是等冪的, h(eG) =eH 。(3) h(a) *h(a-1) = h(a * a-1) = h(eG) = eH h(a-1)

17、*h(a) = h(a-1 * a) = h(eG) = eH h(a-1) = h(a)-1。四、群同態(tài)可以省略22 *第22頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義9:設h是從G , *到H , *的群同態(tài),如果G的 一個子集K 的每一元素都被映入H的么元eH , 再沒有 其它元素映入eH , 則K 稱為同態(tài)h的核, 記為ker(h)。 定理15：從群G , *到群H, *的同態(tài)h的核ker(h) 形成群G , *的子群。證：(a) 如果a、bker(h), 那么h(a) = h(b)= eH 。 h(a * b) = h(a) *h(b) = eH *eH = eH

18、所以, a * bker(h), 即ker(h)對運算 * 封閉。 (b) 如果aker(h), 則h(a-1) =h(a)-1= eH-1= eH , 所以, a-1ker(h)。 證畢。 四、群同態(tài)23 *第23頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義10：設H , *是群G , *的子群, 我們稱集合 aH = a * h|hH 為元素aG 所確定的子群 H , *的左陪集。元素a稱為左陪集aH 的表示 元素。我們稱集合Ha=h * a|hH 為元素aG 所確定的子群H , *的右陪集。元素a稱為右 陪集Ha的表示元素。注意：表示元素一定在它所確定的陪集內(nèi)。 表示元素

19、相同的左右陪集未必相等。 五、陪集和拉格朗日定理24 *第24頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五例：是的子群， 則 3I=I，5I=I，0.5I=+0.5, +1.5,+2.5,。例：設G=RR，R為實數(shù)集，G上的一個二元運算+定義為 +=，顯然，是一個 具有么元的阿貝爾群。 設H= | y=2x，則是的子群。 對于G, H關于的左陪集為H。 幾何意義為：G是笛卡爾平面，H是通過原點的直線 y=2x，陪集H是通過點的且平行于H的 直線。五、陪集和拉格朗日定理25 *第25頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理16：設H , *是群G , *的子群,a

20、H 和bH是任意 兩個左陪集, 那么, 或 aH =bH 或 aHbH = 。證：假定 aHbH , 則存在元素c aHbH, 于是存在h1、h2H, 使c=a * h1=b * h2, 因此, a =b * h2 * h1-1。 設x是aH 中任一元素,于是存在h3H 使x =a * h3, 因而x =b * h2 * h1-1 * h3, 因為h2 * h1-1 * h3 H,所以x是bH中的一個元素。 同理可證bH 的任一元素是aH 中的一個元素。 這樣, aH =bH。 又aH 和bH 都是非空集合,aH=bH和aHbH = 不可兼得。 所以定理得證。 五、陪集和拉格朗日定理26 *第

21、26頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理17：H的任意陪集的大小是相等的。證： 對任意aG, h1，h2 H, 若 h1h2 ，必有a* h1 a* h2 , aH中沒有相同的元素， |aH|=|H|。 a是任意的， H的任意陪集的大小是相等的。注：H的左陪集集合構成G的一種劃分，且劃分塊大小相同。 五、陪集和拉格朗日定理27 *第27頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理18：設H , *是群G , *的子群，于是baH, 當且僅當 a-1 * b H。證： baH iff 存在 hH,使 b = a * h iff h = a-1 * b if

22、f a-1 * b H五、陪集和拉格朗日定理28 *第28頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）設是群的一個子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一個 等價關系。對于aG，若記aR=x | xG且 R,則aR=aH。 (2)如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，則 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理29 *第29頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）設是群的一個子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一個 等價關系。對于aG，若記aR=x | xG且 R,則a

23、R=aH。五、陪集和拉格朗日定理30 *第30頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）設是群的一個子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一個 等價關系。對于aG，若記aR=x | xG且 R,則aR=aH。五、陪集和拉格朗日定理31 *第31頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）設是群的一個子群， (2)如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，則 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理32 *第32頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五 推論1：任何質(zhì)數(shù)階的群不可能有

24、非平凡子群。證明：如果有非平凡子群，則該子群的階必定是原來群的階 的一個因子，這就與原來群的階是質(zhì)數(shù)相矛盾。推論2：在有限群G，*中，任何元素的階必是|G|的一個 因子。證明：設任意aG, r是a的階， 則 e,a1,a2,ar-1，*是G，*的子群。 所以 r 必是|G|的一個因子。五、陪集和拉格朗日定理33 *第33頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五推論3：一個質(zhì)數(shù)階的群必定是循環(huán)群，并且任一與么元不 同的元素都是生成元。 證明： 對任意aG,ae, 因為該群為質(zhì)數(shù)階的群，故a的階必為|G|， 所以 G=e,a1,a2,a|G|-1 即該群必是循環(huán)群且任一與么元不同的

25、元素都是生成元。五、陪集和拉格朗日定理34 *第34頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義11：設H , *是群G , *的子群, 對任意元素 aG, 如果aH =Ha, 則H , *稱為正規(guī)子群。注意:(1)定義中的aH =Ha是指對每一h1H, 都存在h2H, 使a * h1=h2 * a, 并不要求對每一 h H 有 a * h =h * a。 (2)所有阿貝爾群的子群都是正規(guī)子群; 所有平凡子群都是正規(guī)子群。六、正規(guī)子群和商群35 *第35頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理20：正規(guī)子群的不同陪集都是G的同余類。證明：設aH 和bH是兩個

26、陪集, a1是aH中任一元素, b1是bh 中任一元素, 現(xiàn)證明a1 * b1全都在H的同一陪集中。 設 a1 = a * h1 ，b1 = b * h2， hiHa1*b1 =(a*h1)*(b*h2) =(a*h1)*(h3*b) =a*(h1*h3)*b =a*(h4*b) =a*b*h5 因此, 所有a1 * b1都在陪集(a * b)H 中。 再者, 容易證明a1、a2aH 時有a1-1、 a2-1 a-1H 。 因此由正規(guī)子群H誘導出的陪集關系是同余關系。 六、正規(guī)子群和商群36 *第36頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義12：設H, *, -1, e是群

27、A=G, *, -1, e的正規(guī) 子群。H 的陪集關系記為。則A/ = G/, *, -1, H,這里 G/ = aH |aG aH *bH = (a*b)H aH-1 = a-1H 稱為群G , *關于正規(guī)子群H , *的商群。 習慣記為A/H =G/H, *六、正規(guī)子群和商群37 *第37頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五作業(yè)：P206 1，2，3，7，9，11，1638 *第38頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五一、環(huán)的定義及性質(zhì)定義1：若代數(shù)系統(tǒng)R, +, 的二元運算+和具有下列 三個性質(zhì): (1)R, +是阿貝爾群(加法群), (2)R,

28、是半群, (3)乘法在加法+上可分配。 即對任意元素a、b、cR, 有 a(b+c) = ab+ac, (b+c)a = ba+ca 則稱R, +, 是個環(huán)。例1 ： (1) I, +, (2) R(x), +, ,R(x)是所有實系數(shù)的x的多 項式集合。6.8 環(huán)和域是環(huán)是環(huán)39 *第39頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理1：設R, +, 是個環(huán), 0是加法么元, 則對任意 元素a, b, cR有(a) a0 = 0a = 0(b) (-a)b = a(-b) = -(ab)(c) (-a)(-b) = ab(d) a(b-c) = ab-ac(e) (b-c)a=

29、ba-ca一、環(huán)的定義及性質(zhì)40 *第40頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義2 ：R, +,是一個環(huán), 如果對于某些非零元素 a,bR, 能使ab=0, 則稱R, +, 是含零 因子環(huán), a、b稱為零因子, 無零因子的環(huán)稱為無 零因子環(huán)。 如N8 , +8 ,8是含零因子環(huán)。一、環(huán)的定義及性質(zhì)41 *第41頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定理2：環(huán)R, +, 無零因子, 當且僅當R, +, 滿足 可約律。證： 設a, b, cR是任意元素, 且a0。 (1)必要性。 如果ab=ac, 那么ab -ac=0, a(b-c)=0, 由于無零因子,

30、所以b-c=0, 即b=c。 所以R, +, 滿足可約律。 (2)充分性。 如果bc=0且b0, 那么bc=b0, 由于滿足可約 律, 所以c=0。 又如果bc=0且c0, 那么bc=0c, 由于滿足 可約律, 所以, b=0?？梢奟, +, 無零因子。一、環(huán)的定義及性質(zhì)42 *第42頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義3：給定環(huán)R, +,如果R, 是可交換的, 稱 R, +, 是可交換環(huán); 如果R, 是含么半 群, 稱R, +, 是含么環(huán)。如果R, +, 是可交換的, 含么而無零因子環(huán), 則稱它是整環(huán)。 例2: (1)I, +, (2)N7 , +7 ,7 (3)N8 , +8 ,8 一、環(huán)的定義及性質(zhì)是整環(huán)是整環(huán)不是整環(huán)43 *第43頁，共49頁，2022年，5月20日，11點8分，星期五定義4： 如果F, +, 是整環(huán), |F|1,F -0, 是群, 則F, +, 是域。域的定義也可這樣敘述: 滿足 (1)F, +是阿貝爾群, (2)F -0, 是阿貝爾群, (3) 乘法對加法可分配的代數(shù)系統(tǒng)F, +, 稱為域。 例3: (1)Q, +, (2)R