態(tài)和力學(xué)量的表象課件

1、第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象 1 態(tài)的表象 2 算符的矩陣表示 3 量子力學(xué)公式的矩陣表述 4 么正變換5 Dirac 符號(hào)6 線性諧振子與占有數(shù)表象第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象 1 態(tài)的表象 本章目的 給出用各種方式平行描述體系狀態(tài)、力學(xué)量等方案表象 找出不同表象之間的相互關(guān)系和變換規(guī)則 么正變換 建立一套用態(tài)矢量描述量子態(tài)的方案 Dirac算符 引入產(chǎn)生、湮滅算符重新討論簡(jiǎn)諧振子本章目的坐標(biāo)表象 到目前為止，體系的狀態(tài)都用坐標(biāo)( x , y , z )的函數(shù)表示，也就是說描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)。力學(xué)量則用作用于坐標(biāo)函數(shù)的算符表示。但是這種描述方式在量子力學(xué)中并不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐

2、標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對(duì)空間的描寫是完全是等價(jià)的。 波函數(shù)也可以選用其它力學(xué)量作為變量,力學(xué)量則相應(yīng)的表示為作用于這種函數(shù)上的算符。表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。一個(gè)力學(xué)量 一個(gè)表象坐標(biāo)表象 到目前為止，體系的狀態(tài)都用坐標(biāo)( x , y一 動(dòng)量表象中波函數(shù) Q 表象中的波函數(shù) 4.1 態(tài)的表象已知: 坐標(biāo)表象的波函數(shù)如何獲得其他表象中波函數(shù)? 問一 動(dòng)量表象中波函數(shù)4.1 態(tài)的表象已知: 坐標(biāo)表象的波動(dòng)量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)可按其展開展開系數(shù)假設(shè) (x,t) 是歸一化波函數(shù)，則 C(p,t) 也是歸一。命題證一 動(dòng)量表

3、象的波函數(shù)動(dòng)量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)可按其展開展開系數(shù)假設(shè) |C(p,t)| 2 d p 是在(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的動(dòng)量所得結(jié)果在p p + d p 范圍內(nèi)的幾率。 是在(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的位置所得結(jié)果在 x x + d x 范圍內(nèi)的幾率。 (x,t) 與 C(p,t) 一 一 對(duì)應(yīng)，描述同一狀態(tài)。 (x,t) 是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)； C(p,t) 就是該狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)。C(p,t) 物理意義|C(p,t)| 2 d p 是在(x,若(x,t) 描寫的態(tài)是具有確定動(dòng)量 的自由粒子態(tài).即：則相應(yīng)動(dòng)量表象中的波函數(shù)：所以，在動(dòng)量表象中， 具有

4、確定動(dòng)量p的粒 子的波函數(shù)是以動(dòng)量 p為變量的- 函數(shù)。 換言之，動(dòng)量本征函 數(shù)在自身表象中是一 個(gè)函數(shù)。 x 在自身表象即坐標(biāo)表象中對(duì)應(yīng)有確定值 x本征函數(shù)是(x - x)。同樣這可由本征 值方程看出：若(x,t) 描寫的態(tài)是具有確定動(dòng)量 的自由粒子態(tài).即那末，在任一力學(xué)量 Q 表象中， (x,t) 所描寫的態(tài)又如何表示呢？推廣上述討論：x, p 都是力學(xué)量，分別對(duì)應(yīng)有坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象，因此可以對(duì)任何力學(xué)量 Q 都建立一種表象，稱為力學(xué)量 Q 表象。問題1 具有分立本征值的情況 2 含有連續(xù)本征值情況二 Q 表象中的波函數(shù)那末，在任一力學(xué)量 Q 表象中， 推廣上述討論：x, p 都1 具有

5、分立本征值的情況設(shè) 算符 Q 的本征值為： Q1, Q2, . , Qn, .， 相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x), u2(x), . , un(x), .。將(x, t ) 按 Q 的 本征函數(shù)展開：若 , un 都是歸一化的， 則 an(t) 也是歸一化的。證：由此可知，| an| 2 表示 在(x,t)所描述的狀態(tài) 中測(cè)量Q 得 Qn 的幾率。a1(t), a2(t), ., an(t), .就是(x,t)所描寫狀態(tài)在 Q 表象中的表示。寫成 矩陣形式1 具有分立本征值的情況設(shè) 算符 Q 的本征值為： Q共軛矩陣歸一化可寫為共軛矩陣歸一化可寫為2 含有連續(xù)本征值情況例如氫原子能量就是這樣一種力

6、學(xué)量， 即有分立也有連續(xù)本征值。設(shè)力學(xué)量 Q 的本征值和本征函數(shù)分別為：Q1, Q2, ., Qn, . , qu1(x), u2(x), ., un(x), . , uq(x)則歸一化則變?yōu)椋簗an(t)|2 是在 (x,t) 態(tài)中測(cè)量力學(xué)量 Q 所得結(jié)果為 Qn 的幾率；|aq(t)|2dq 是在(x,t) 態(tài)中 測(cè)量力學(xué)量 Q 所得結(jié)果在 q q + d q之間的幾率。在這樣的表象中， 仍可以用一個(gè)列矩陣表示：歸一化仍可表為：+= 12 含有連續(xù)本征值情況例如氫原子能量就是這樣一種力學(xué)量這類似于一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量 A 在直角坐標(biāo)系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐

7、標(biāo)系用三分量 Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描寫同一矢量 A 。態(tài)矢量基本矢量同一狀態(tài)可以在不同表象用波函數(shù)描寫，表象不同， 波函數(shù)的形式也不同，但是它們描寫同一狀態(tài)。三 討論這類似于一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量 A 在直角坐波函數(shù)是態(tài)矢量 在 Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有無限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。 所以我們可以把狀態(tài)看成是一個(gè)矢量態(tài)矢量。選取一個(gè)特定力學(xué)量 Q 表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系， u1(x) , u2(x) , . , un(x) , . 是 Q

8、表象 的基本矢量簡(jiǎn)稱基矢。波函數(shù)是態(tài)矢量 在 Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q一 動(dòng)量表象中的算符表示二 Q 表象中力學(xué)量算符的矩陣表示 三 Q 表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì) 四 Q 有連續(xù)本征值的情況 算符的矩陣表示已知: 坐標(biāo)表象的波函數(shù)求 在其他表象中的形式? 一 動(dòng)量表象中的算符表示 算符的矩陣表示已知: 坐標(biāo)表坐標(biāo)表象：動(dòng)量表象：一 動(dòng)量表象中力學(xué)量的算符表示坐標(biāo)表象：動(dòng)量表象：一 動(dòng)量表象中力學(xué)量的算符表示坐標(biāo)表象：Q 表象：假設(shè)只有分立本征值，將, 按 un(x)展開：兩邊左乘 u *n(x) 并對(duì) x 積分Q 表象的 表達(dá)方式代入二 Q 表象中力學(xué)量算符的矩陣表示坐標(biāo)表象：Q

9、 表象：假設(shè)只有分立本征值，將, 按 uQ表象的表達(dá)方式=FQ表象的表達(dá)方式=F1 力學(xué)量算符用厄密矩陣表示所以厄密算符的矩陣 表示是一厄密矩陣。三 Q表象中力學(xué)量算符 F 的性質(zhì)1 力學(xué)量算符用厄密矩陣表示所以厄密算符的矩陣 三 Q表Q 的矩陣形式 結(jié)論： 算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是算符的本征值。2 力學(xué)量算符在自身表象中的形式Q 的矩陣形式 結(jié)論： 算符在自身表象中 如果 Q 有連續(xù)本征值q ，上面的討論仍然適用，只需將u, a, b 的角標(biāo)從可數(shù)的 n, m 換成連續(xù)變化的 q，求和換成積分，見下表。分立譜連續(xù)譜算符 F 在 Q 表象仍是一個(gè)矩陣，矩陣元由右式確定：只是該

10、矩陣的行列不是可數(shù)的，而是用連續(xù)下標(biāo)表示四 Q有連續(xù)本征值的情況 如果 Q 有連續(xù)本征值q ，上面的討論仍然適用，只需例1：求坐標(biāo)表象中 F的矩陣元例2： 求動(dòng)量表象中 F的矩陣元要計(jì)算此積分，需要 知道 F的具體形式.例1：求坐標(biāo)表象中 F的矩陣元例2： 求動(dòng)量表象中 F的矩陣一、動(dòng)量表象（連續(xù)譜） 1、平均值公式 2、本征方程 3、Schrodinger方程二、Q表象（分立譜） 1、平均值公式 2、本征方程 3、Schrodinger方程的矩陣形式3 量子力學(xué)公式的矩陣表述一、動(dòng)量表象（連續(xù)譜）3 量子力學(xué)公式的矩陣表述一 動(dòng)量表象（連續(xù)譜）1 平均值公式2 本征方程3 Schroding

11、er方程一 動(dòng)量表象（連續(xù)譜）1 平均值公式2 本征方程例1 求動(dòng)量表象中動(dòng)量的本征方程解:用 表示本征態(tài), 表示本征值,例2 動(dòng)量表象中的定態(tài)Schrodinger方程解:所以動(dòng)量表象中的定態(tài)Schrodinger方程為線性諧振子的定態(tài)Schrodinger方程為動(dòng)量表象坐標(biāo)表象例1 求動(dòng)量表象中動(dòng)量的本征方程解:用 表示本征態(tài),坐標(biāo)表象平均值公式在Q表象中式右寫成矩陣相乘形式簡(jiǎn)寫成一 Q表象（分立譜）1 平均值公式坐標(biāo)表象平均值公式在Q表象中式右寫成矩陣相乘形式簡(jiǎn)寫成一 寫成矩陣形式表成顯式整 理 改 寫上式是一個(gè)齊次線性方程組2 本征方程寫成矩陣形式表成顯式整 上式是一個(gè)齊次線性方程組2

12、 本征方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久 期 方 程求解此久期方程得到一組值：1, 2, ., n, .就是F的本征值。將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應(yīng)于各i的本征矢于是求解微分方程的問題就化成了求解代數(shù)方程根的問題。方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久 求解此久期方寫 到 Q 表 象按力學(xué)量算符 Q的本征函數(shù)展開左乘 um*(x) 對(duì) x 整個(gè)空間積分 H 都是矩陣3 Schrodinger方程寫 到 Q 表 象按力學(xué)量算符 Q的本征函數(shù)展開左乘 um*一 不同表象之間的變換和么正變換矩陣 算符的變換 波函數(shù)的變換四 么正變換的性質(zhì)4 么正矩陣一 不同表象之間的

13、變換和么正變換矩陣 4 么正矩陣一 不同表象之間的變換和么正變換矩陣A表象B表象一 不同表象之間的變換和么正變換矩陣A表象B表象 為了找到A表象和B表象之間的關(guān)系,現(xiàn)將B的本征函數(shù)用A的正交歸一完備系展開 為了找到A表象和B表象之間的關(guān)系,現(xiàn)將B的本征函數(shù)用A 么正矩陣二 算符的變換 么正矩陣二 算符的變換三 波函數(shù)的變換三 波函數(shù)的變換1 么正變換不改變算符的本征值設(shè) F 在 A 表象中的本征方程為：F a = a在B 表象，= S-1 a F = S-1 F S b = S-1 aF b = S-1 F a= S-1 a=b可見，不同表象中，力學(xué)量算符 F 對(duì)應(yīng)同一狀態(tài)（a 和 b 描寫同

14、一狀態(tài)）的的本征值不變?；谶@一性質(zhì)，解 F 的本征值問題就是把該力學(xué)量從某一表象變到自身表象，使 F 矩陣對(duì)角化。(S-1 F S)(S-1 a ) 四 么正變換的性質(zhì)1 么正變換不改變算符的本征值設(shè) F 在 A 表象中的本征方 2 么正變換不改變矩陣的跡矩陣的跡定義為該矩陣對(duì)角元素之和，即F 的跡等于 F 的跡，也就是說：么正變換不改變矩陣的跡。3 矩陣方程式經(jīng)么正變換保持不變表象 AF = 表象 BF = 矩陣方程式證= F = S-1 F S b = S-1 aF =(S-1 F S ) (S-1)= S-1 F= S-1F = 證畢 2 么正變換不改變矩陣的跡矩陣的跡定義為該矩陣對(duì)角

15、元素之例：設(shè)在 A 表象中對(duì)易關(guān)系：在B表象對(duì)易關(guān)系在么正變換下保持不變4 么正變換不改變厄密矩陣的厄密性設(shè)：A 表象B表象：F = S-1 F S= S-1 F SF += (S-1F S)+= S+ F+ (S-1)+= F例：設(shè)在 A 表象中對(duì)易關(guān)系：在B表象對(duì)易關(guān)系在么正變換下保5 Dirac 符號(hào) 一 引言 二 態(tài)矢量 三 算符 四 總結(jié)5 Dirac 符號(hào) 一 引言 前三章給出的都是 x 表象中的形式. 本章中給出了任一力學(xué)量 Q 表象中的形式，它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間,即某一具體的力學(xué)量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定表象，正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量

16、形式 A 來表示一個(gè)矢量，而不用具體坐標(biāo)系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一樣。 量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的.所以該方法所使用的符號(hào)稱為 Dirac 符號(hào)。一 引言 前三章給出的都是 x 表象中的形式. 一 引言1 右矢空間 前面已經(jīng)講過，一個(gè)狀態(tài)通過一組力學(xué)量完全集的測(cè)量（完全測(cè)量）來確定，通常用所測(cè)得的力學(xué)量的量子數(shù)來確定。 例如：一維線性諧振子其狀態(tài)由量子數(shù) n 確定，記為n(x)；氫原子的狀態(tài)由量子數(shù) n, l, m 確定，記為n l m( r, )如此等等。 在抽象表象中 Dirac 用右矢空間的一個(gè)矢量

17、| 與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，該矢量稱為右矢。|n n(x)； |n ,l ,m n l m狀態(tài) n(x)和 n l m(x) 亦可分別記成 |n 和 |n l m 。二 態(tài)矢量1 右矢空間 前面已經(jīng)講過，一個(gè)狀態(tài)通過一組力學(xué)量對(duì)力學(xué)量的本征態(tài)可表示為 |x, |p, |Qn . 等。 因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡(jiǎn)稱基矢）。 右矢空間的任一矢量 | 可按該空間的某一完備基矢展開。例如：2 左矢空間 右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量，記為 , |p, |QDirac 符號(hào) 右矢空

18、間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g， 稱為伴矢量。 p |, x|, 和 按 Q 的右基矢 |Qn 展開 | = a1 |Q1 + a2 |Q2 + . + an |Qn + . 展開系數(shù)即相當(dāng)于 Q 表象中的表示：| 按 Q 的左基矢 Qn | 展開： | = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + . + a*n Qn | + . 展開系數(shù)即相當(dāng)于 Q 表象中的表示： + = ( a*1, a*2, ., a*n , .)同理 某一左矢量 | 亦可按 Q 的左基矢展開： | = b*1 Q1 | + b*2 Q2 | +. + b*n 和 和 按 Q 的右本征態(tài)的正交歸 一化條件可寫為：

19、由此可以看出 | 和 |的關(guān)系：1）在同一確定表象中，各分量互為復(fù)共軛； 2）由于二者屬于不同空間所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加； 3）右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進(jìn)行標(biāo)積運(yùn)算，其結(jié)果為一復(fù)數(shù)。4本征函數(shù)的封閉性展開式兩邊左乘 是任意態(tài)矢量，所以成立。本征矢 |n 的封閉性I 分 立 譜本征態(tài)的正交歸 由此可以看出 | 和 ，q 取連續(xù)值，任一狀態(tài) | 展開式為：II 連 續(xù) 譜左乘 是任意態(tài)矢，所以有 同理，對(duì)于 |x 和 |p 分 別 有這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。由于 所以它們也稱為單位算符，在運(yùn)算中可插入（乘到）公式任何地方而不改變?cè)降恼_性。對(duì)于連

20、續(xù)譜 |q ，q 取連續(xù)值，任一狀態(tài) | 投影算符|n上，相當(dāng)于把 | 投影到右基矢 |n 或 |q 上，即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在 |n 上的分量 或 。故稱 |n 在 x 表象的表示是(x, t)，所以顯然有：例如：在 | 左側(cè)插入算符 同理投影算符|nq| 的作用相當(dāng)一個(gè)算符，它作1右矢空間在抽象的Dirac表象Dirac 符號(hào)的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單靈活。如果欲把上式寫至 Q 表象，則只需在適當(dāng)位置插入單位算符。左乘 m|把公式 變到 Q 表象算符 F 在Q 表象 中的矩陣表示的 矩陣元 Fm n寫成矩陣形式Q 表象x 表象三算符1右矢空間在抽象的Dirac表象Dirac 符號(hào)的特點(diǎn)是平均值公

21、式插入 單位算符 （2）共軛式（左矢空間）表明量子力學(xué)中的力學(xué)量 既可以向右作用到右矢量上， 也可以向左作用到左矢量上。若 F是 厄密算符平均值公式插入 （2）共軛式（左矢空間）表明量子力學(xué)中的力學(xué)例：力學(xué)量算符 x 在動(dòng)量中的形式左乘 p |代回原式故坐標(biāo)算符 x 在動(dòng)量表象中取如下形式:例：力學(xué)量算符 x 在動(dòng)量中的形式左乘 代回原式故坐標(biāo)算符1x 表象描述與 Dirac 符號(hào)Dirac 符號(hào) 項(xiàng)目x 表象四總結(jié)1x 表象描述與 Dirac 符號(hào)Dirac 符號(hào) 項(xiàng)目x2左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系左矢空間 右矢空間3 厄密共軛規(guī)則由常量 C、左矢、右矢和算符組成的表示式，求其厄密共軛式的表示規(guī)則1）把全部次序整個(gè)顛倒2）作如下代換：常量 C C* | , |n-1, |n+1 等都是 H 的本征基矢， En, En-1, En+1是相應(yīng)本征值。因?yàn)?振子能量只能以 為單位變化，所以 能量單位可以看成是一個(gè)粒子，稱為“聲子”。狀態(tài) |n 表示體系在此態(tài)中有 n 個(gè)粒子（聲子）稱為 n 個(gè)聲子態(tài)。粒子 湮滅算符粒子 產(chǎn)生算符顯然有振子基態(tài)的基矢4 的物理意義將 作用在能量本征態(tài) n(用產(chǎn)生算符 表示的振子基矢N 的意義 上式表明， n 是N 算符的本征值，描寫粒子的數(shù)目，故N 稱為粒子數(shù)算符。用產(chǎn)生算符 表示的振子基矢N 的意義 上式表明，以