中值定理及導數(shù)應用

1、第四章中值定理及導數(shù)應用在這一章 ,我們應用上一章所學的導數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些形態(tài) ,并利用這些知識來解決一些實際問題 ,為此 ,我們先要學習微分學的幾個中值定理 ,它們是導數(shù)應用的理論基礎。4.1中值定理我們先講羅爾(Roll) 定理 ,然后根據(jù)它推出拉格朗日(Lagrange) 中值定理和柯西定理。羅爾定理首先, 我們觀察圖3-1-1 。設曲線弧 AB 是函數(shù)f ( x) ( x a,b) 的圖形。這是一條連續(xù)的曲線弧 , 除端點外處處有不垂直于x 軸的切線 , 且兩個端點的縱坐標相等,即 f (a)f (b) 。可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點或最低點C 處,曲線有水平的切線。如果記C 點

2、的橫坐標為, 那么就有f ( )0 。現(xiàn)在用分析語言把這個幾何現(xiàn)象描述出來, 就可得下面的羅爾定理。為了應用方便, 先介紹費馬引理。圖 4-1-1費馬引理設函數(shù) f ( x) 在點 x0 的某鄰域 U ( x0 ) 內有定義 , 并且在 x0 處可導 , 如果對任意的 xU ( x0 ) , 有f ( x)f (x0 ) ( 或 f (x)f ( x0 ) )那么 f ( x0 )0 。證不妨設 xU (x0 ) 時 ,f (x)f (x0 ) (如果 f ( x)f ( x0 ) , 可以類似地證明) 。于是 , 對于 x0 xU ( x0 ) , 有f (x0 x)f (x0 )從而當x

3、0時 ,f (x0 x)f (x0 )0 x當x0 時 ,f (x0 x)f (x0 )0 x因 f( x0 ) 存在，故極限 limf ( x0 x)f (x0 ) 存在，且其左、右極限均都等于f (x0 ) 。x0 x從而f ( x0 )f(x0 )f ( x0 x)f (x0 )0limxx0f (x0 )f ( x0 )f ( x0 x) f (x0 )0limxx 0所以 ,f (x0 )0 。證畢。通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點(或穩(wěn)定點 ,臨界點 )。羅爾定理若函數(shù)f ( x) 滿足：在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；在開區(qū)間 ( a, b) 內可導 ;(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等

4、,即 f (a)f (b),那么在 (a,b) 內至少存在一點(ab) ，使得 f() 0。證 由于 f (x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理, f (x) 在閉區(qū)間 a,b 上必能取得最大值M 和最小值 m，此時，又有二種情況：(1)Mm ，即 f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上取得最大值和最小值相等，從而知，此時 f (x) 為常數(shù)： f ( x)Mm ，由此 , x(a,b) ,有 f ( x)0 ，因此，任取(a,b) 內，都有f ( )0 。(2)Mm 。因為在區(qū)間端點處的函數(shù)值f (a)f (b) ,m這兩個數(shù)必有一個所以M 和不等于 f (a)

5、 或 f (b) ，不妨設 Mf (a)（對 mf (a) 同理證明），這時必然在開區(qū)間(a,b)內存在一點，使得 f ()M 。因此 ,即 f(x) 在點得最大值 ,即 , x a,b ,有 f ( x)f ( ) ,從而由費馬引理可知f( )0 。定理證畢。我們再對羅爾定理的三個條件作如下幾點說明:1 定理中的三個條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充分的，但非必要。試看下例 :端點的值不等 ( 圖 3-1-2)yf ( x)x a,b0,1f (x)1 0o1x圖 3 12非閉區(qū)間連續(xù) ( 圖 3-1-3)yf ( x)1x010 x11xa,b0,1o1xf ( x)1

6、0 x1x2圖313非開區(qū)間內可導 ( 圖 3-1-4)yf ( x)x a,b1,11x0f (x)不存在x01x01o1x圖314條件是充分而不是必要的 ( 圖 3-1-5)圖 3-1-5中的函數(shù)對定理中的三個條件均不滿足, 但也存在一點，使得f ( ) 0y2羅爾定理中的點不一定唯一。3定理的幾何意義：在兩端高度相等的連續(xù)aob x曲線弧上 ,若除端點外處處有不垂直于x 軸的切線存在， 則圖3 15此曲線弧上至少有一點處的切線平行于x 軸。拉格朗日中值定理去掉羅爾定理中相當特殊的條件f ( a)f (b) ，仍保留其余兩個條件，可得到微分學中十分重要的拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理如

7、果函數(shù)f ( x) 滿足如下兩個條件:(1) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；在開區(qū)間 (a,b) 內可導；則至少存在一點(a,b) ，使得ff (b)f (a)（ 1）( )ab在證明之前，我們先看一下定理的幾何意義:f (b)f ( a) 是弦 AB 的斜率， f ( ) 為曲線在點 C 處的切線斜率。 在曲線 yf (x) 上ba至少有一點C ，使曲線在 C 點處的切線平行于弦AB 。由于拉格朗日中值定理與羅爾定理十分相似，我們設法構造一個滿足羅爾定理三個條件的輔助函數(shù)( x) ，并利用它完成拉格朗日中值定理的證明。很自然地，取弧AB與弦 AB所代表的函數(shù)之差就行了。證明 作輔助函數(shù)(x)f

8、 (x)f ( a)f (b)f (a) ( x a)(a x b)ba(x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 可導，且(a)(b) 0 ，由羅爾定理，至少存在一點(a,b) ，使( )0 ，即() f (f (b)f (a)0f (b)f (a)ba亦即f (。)ba拉格朗日中值定理是微分學中最基本的一個定理，有廣泛的應用。注 1: 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；定理中的結論，可以寫成f (b)f (a)f ( )(ba)( ab)此式也稱為拉格朗日中值公式。3:當 ba 時式子 (1) 仍然成立。4: 設在點 x 處有一個增量x ，得到點 xx ，由于x 可正可負，因此，無法確

9、定是區(qū)間 x, xx ，還是區(qū)間 xx, x ，因此，我們只能講“介于x 與xx 之間” ,可表示成為：xx, 其中 01。在以 x 和 xx 為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，有f ( xx)f ( x)f ( xx)x(01)即yf (xx)x這準確地表達了y 和x 這兩個增量間的關系，故該定理又稱為又稱為有限增量定理。它在微分學中占有重要地位 , 有時也稱為 微分中值定理 。它精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這個區(qū)間內的某點處的導數(shù)之間的關系。由定理還可得到下列結論:推論 1: 如果 yf (x) 在區(qū)間 I 上的導數(shù)恒為零，則f (x) 在 I 上是一個常數(shù)。證 在 I 中

10、任取兩點x1 ,x2 ， x1x2 。在 x1, x2 上使用拉格朗日中值定理得f ( x2 )f ( x1 )f ( ) (x2x1 )(x1x2 )又在 I 上， f ( x)0 ，從而在 x1, x2 上， f ( )0 ，所以f ( x2 )f (x1)0即f ( x2 )f (x1)可見， f ( x) 在 I 上的任意兩點的函數(shù)值均相等, 因而 f (x) 在 I 上是一個常數(shù)柯西中值定理若函數(shù)f ( x) 、 F ( x) 滿足下述三個條件：f ( x) 、 F ( x) 在 a,b 連續(xù)；f ( x) 、 F ( x) 在 (a,b) 可導；(3)F ( x)0 x(a,b)

11、，則至少存在一點(a,b) ， 使得f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F (2)柯西中值定理的幾何意義也十分明顯，考慮由參數(shù)方程所表示的曲線XF (x)x a, bYf ( x)曲線上點 (X ,Y)處的切線斜率為dYf ( x)dXF ( x)弦 AB 的斜率為f (b) f (a)F (b)F (a)假定點 C 對應于參數(shù)x，那未曲線C 點處切線平行于弦AB ，于是f (b)f (a)f()F (b)F (a)F ()證 首先注意到 F (b)F (a)0 ，這是由于 F (b)F (a)F () (ba)其中 ab ，根據(jù)假定 F () 0 ，又 ba0 ，所以 F (b)

12、F (a) 0 。類似拉格朗日中值定理的證明，取弧AB 與弦 AB 所代表的函數(shù)之差。作輔助函數(shù)(x)f (x) f ( a)f (b)f (a) F (x)F (a)(axb)F (b) F (a)顯然，這個輔助函數(shù)適合羅爾定理的條件：(a)(b)0 ；( x) 在 a,b 上連續(xù)；(x) 在 (a,b) 內可導且( x)f ( x)f (b)f (a) F (x)F (b)F (a)根據(jù)羅爾定理，( a, b) ， ( )0 ，即f ( )f (b)f (a) F ( )0F (b)F (a)故f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F (。)注 : 柯西中值定理是拉格朗日中值定理

13、的推廣，事實上，令F (x) x ，就得到拉格朗日中值公式。中值定理運用舉例例 1 設多項式p(x) 的導函數(shù)p ( x) 沒有實根，證明p( x) 最多只有一個實根。證 假設多項式函數(shù)p( x) 有兩個實根 x1, x2 ,p( x) 在 x1 , x2 上滿足羅爾定理的三個條件 ,則在區(qū)間 ( x1, x2 ) 內至少存在一點,使 p ()0 ,即是 p ( x) 的實根 ,這與已知 p (x)沒有實根相矛盾。故p(x) 最多只有一個實根。例 2試證： 當 x0 時， 有不等式xln(1x) x 。x1證 考慮輔助函數(shù)f ( x) ln(1x), 顯然 f (x) 在區(qū)間 0, x 上滿足

14、拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理有f ( x)f (0)()0 xxf0由于 f (0)0, f (x)11，因此上式即為xln(1x)1x1又由 0 x ，有1111x110故xln( 1x)x.( x0)1x例 3 證明 arcsin x arccos x（ 1x 1）。2證 令 f (x)arcsin xarccos x ，f (x)110，x211x 2由推論知 f ( x) 為常熟，再由f (0)2，故 arcsin xarccos x。2例 4 若 方 程 a0 x na1 x n 1an 1 x0 有 一 個 正 根 x x0，證明方程a0 nxn 1a1 ( n1) xn2an

15、1 0必有一個小于 x0的正根。證 令 f (x)a0 x na1 xn1an1 x ，在閉區(qū)間 0, x0 上滿足羅爾定理的三個條件，故 f ( )0(0 x0 )由于f (x)a0 nxn 1a1 (n1)x n2an 1則有a0 n n 1a1 (n 1) n 2an 10上式表明 x（ 0 x0 ）即為方程 a0 x na1 xn 1an1 x0 的根。例 5 對函數(shù) f ( x)sin x 、 F (x)x cosx 在 0, 上驗證柯西中值定理的正2確性。解 顯然 f ( x) 、 F ( x) 在 0, 上滿足柯西中值定理的三個條件：f ( x) 、 F ( x)2在0, 上連續(xù)

16、, 在(0,)上可導,且22F ( x)1sin x0 x( 0,)2欲在 (0, ) 上找到一點使下式成立：2f ()f (0)f()2F ()F (0)F ()2即10cos11sin2由三角函數(shù)公式上式可化為 :2(cossin)(cossin)cossin1tg22222222(cossin)2cossin1tg2222222tg(2)(2) tg，224tg24tg，2由 041， 有arctg4(0, )24只需取2 arctg 4，顯然(0,)2這就驗證了柯西中值定理的正確性。4.2洛必達法則我們在第一章討論過無窮小的商的極限問題，它們有的存在， 有的不存在， 例如 x 0時，

17、sin x1 ，而 sin x。類似地，兩個無窮大的商的極限問題也是有的存在，有的xx2不存在，對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一法則。當xa ( 或 x) 時，兩個函數(shù) f ( x) 與 F ( x) 都趨向于 零或都趨向于 無窮大 ，那么，極限 lim f ( x)可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式 ，并分別簡記為 0 型或xa0( x) F (x)型?；绢愋偷奈炊ㄊ? ,型0定理 1設當 x a 時，函數(shù) f ( x) 及 F ( x) 都趨于零；(2)f ( x) 及 F ( x) 在點 a 的某去心鄰域內存在，且F ( x)0 ；lim f

18、( x) 存在 ( 或無窮大 ) ，a F ( x)則lim f ( x)lim f ( x) 。xa F ( x)x a F (x)這就是說，當 limf (x)存在時 ， lim f (x) 也存在且等于lim f (x) ；當 lim f (x) 為x a F ( x)x a F ( x)x a F (x)x a F (x)無窮大時， limf ( x) 也是無窮大。這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確a F ( x)定未定式的值的方法稱為洛必達法則。證因 為 求 極 限lim f (x)與 函 數(shù) 值f (a) 、 F ( a) 無 關 ， 那 么 我 們 可 設a F (

19、x)f (a)F (a)0 ， 這并不會影響極限lim f ( x) 。由這一假設及條件(1) 、(2) 知， f (x) 與a F ( x)F ( x) 在點a 的某個鄰域內是連續(xù)的，設 x 是這鄰域內的一點，那么在以x 及 a 為端點的區(qū)間上，f ( x) 與 F ( x) 全部地滿足柯西中值定理的條件，因此有f ( x)f ( x) f (a)f ( )( 介于 x與 a之間）F ( x)F ( x) F (a)F ( )當 xa 時，a ，而由條件 (3) 知lim f ()lim f (x)x a F ()x a F ( x)故lim f ( x)limf ( x) 。x a F (

20、 x)x a F ( x)注: 1、此定理用來處理 xa 時的 0型未定式極限問題。02、如果極限 lim f (x) 仍屬于0型， 且 f (x) 、 F ( x) 又滿足定理中的條件，則可x a F (x)0以再使用洛必達法則。即f (x)limf (x)f ( x)limlimx a F (x)x a F ( x)x a F ( x)3、如果 limf ( x) 不存在，不能斷言lim f ( x) 也不存在，只能說明該極限不適合x a F ( x)x a F (x)x2sin 11用洛必達法則來求。例如，極限limxlim x0 存在，sinx0 xx 0 xx2sin 111而使用洛

21、必達法則limxlim (2x) 不存在。sincosx 0 xx0 xx例1求極限ex1(2)limcos x1(1) limxx2x0 x0解 lim ex1lim ex1x 0 xx 01limcos x 1limsin xlimcos x1x22 x22x 0 x 0 x0上述定理僅是適合于xa 時的 0型不定式；對于 x0有相應定理。時的 0 型不定式，我們也0定理 2設(1)當 x時，函數(shù) f ( x) 及 F ( x) 都趨向于零；(2)f ( x)及 F ( x) 當 xX 時存在，且 F (x)0， X 是充分大的正數(shù)；(3)lim f( x) 存在 ( 或無窮大 )F (

22、x)則limf ( x)limf ( x) 。xF ( x)xF ( x)這一定理的證明略。定理1 的注解對它同樣適用，僅需將x a 改成 x即可。例 2求極限lim 2arctanxln(1 1)(1)1(2)limxxxarc cot xxarctanx12x21解 lim 2lim1 xlim2lim1xx1x1x1x1xx21x21 )1(x 2 )ln(111lim 1211limxlimxx 2limx21xarc cot xx1xxxx11x21x對于 xa (或 x) 時的型不定式，我們有如下相應的定理；定理1 的注解對它們仍適用，僅需作相應地改動。定理 3設當 x a 時，

23、函數(shù) f ( x) 及 F ( x) 都趨向于無窮大；(2)f ( x) 及 F ( x) 在 a 點的某去心鄰域內存在，且F (x)0 ；lim f ( x) 存在 ( 或無窮大 ) ，a F ( x)( x)則lima F ( x)定理 4設f ( x)lim。當 x時， 函數(shù) f ( x) 及 F ( x) 都趨向于無窮大；(2)f ( x) 及 F (x) 在 xX 時存在，且 F ( x)0 ， X 是充分大的正數(shù)；(3)lim f ( x) 存在 ( 或無窮大 ) ，F(xiàn) ( x)則limf ( x)limf ( x) 。xF ( x)xF ( x)例3 求極限(1)lim(ln x

24、)n(n 0)xx(2)limxn(n為正整數(shù)，0)xe解lim(ln x) nlimn (ln x)n 1limn(n1)(ln x)n 2xxxxxxn(n1) 2 1 (ln x) 0limn!0limxxxxlimxnn xn 1limn(n 1) xn 2exlime x2 exxxxlimn( n 1)2 1 x0n!1n!n elim0 0 xxn xexn此例中的正整數(shù)n 改為一般正實數(shù)時，結論仍成立。同學們可以自行驗證。這樣，我們獲得 了一把 函數(shù)趨向于無窮大的快慢標尺 。e x(ln x)xe x當 x時， x慢快(ln x)4.1.2 其它類型的未定式上述類型的未定式均可

25、化歸為0 型或型的未定式。0例 4 求lim xln x(0)(0型)x0解 lim xln x(0型 )x 0limln x(型)x 01x1limx1(用洛必達法則 )xx 01 lim x0 x0結論可推廣到一般lim x(ln x)0( , 均為正實數(shù) )x0例 5 求 lim (11 )(型 )x0sin xx解lim (11 )x 0sin x xlim xsin x0 x sin xcos xlimx0sin xx cos xlimsin x2 cosxx sin xx0002000 , 0 ,1 型的不定式，一般是(型)0(型 )(用洛必達法則)(再用洛必達法則,已非未定式 )

26、(商的極限法則 )冪指函數(shù)的極限，可采用對數(shù)求極限法。例 6 求lim xx(00型)x0解設yx x取對數(shù) ln y x ln xln x1xy 的極限。對上式兩端求極限，最后轉化為對函數(shù)lim ln ylimln x(型 )x 0 x 01x1limx(洛必達法則 )1x 0 x2limx0 x 0y lim eln ylimln y1從而有l(wèi)imex 0e0 x0 x01例 7 求 lim (cosxsin ) x(1 型)x0 x1ln(cos x sin x)解令 y(cos xsin x) x ,則ln yxlim ln ylim ln(cos xsin x)(0 型 )x0 x0

27、 x0sin xcos xlimcos xsin x(用洛必達法則 ,已非不定式 )x0101110limylimln ye故lim ex0e1x 0 x 01tan x例 8 求lim(0型)x 0 x1tan x解令 y，則xln ytan x ln 1tan x ln xxlim ln ylimln x(型 )1x 0 x0tan x1limx(用洛必達法則sec2xx0tan2 xlimsin 2 xx0 xlimsin xlim sin x0 x0 xx0limy lim eln ylimln y1 。故ex0e0 x0 x0ln x1tan x)利用幾個工具極限、求極限四則運算法則

28、，可幫助我們快速地求出許多較為復雜的極限。1.當 x時，(lnx)xe x慢快2. lim x(ln x)0(,均為正實數(shù) )0例9求極限lim tan x ln xx0解 已知極限lim x ln x0 x0limtan x ln xlim x ln xsin x1x 00 x0 xcosxlim (x ln x)limsin xlim1x0 x 0 xx 0cosx1 1 4.3泰勒公式多項式是函數(shù)中最簡單的一種，用多項式近似表達函數(shù)是近似計算中的一個重要內容，在 2.6中，我們已見過：ex1x,sin xx( x 充分小 ) 等近似計算公式，就是多項式表示函數(shù)的一個特殊情形，當然這種近似

29、表示式還較粗糙（尤其當x 較大時），從下圖可看出。圖 4-3-6上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數(shù)。2、任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個想法進一步地數(shù)學化：對復雜函數(shù)f (x) ，想找多項式pn (x) 來近似表示它。自然地，我們希望pn (x) 盡可能多地反映出函數(shù)f ( x) 所具有的性態(tài)如：在某點處的值與導數(shù)值；我們還關心pn (x) 的形式如何確定；pn (x) 近似 f ( x) 所產生的誤差Rn ( x)f ( x)pn ( x) 。問題1 設 f (x) 在含 x0 的開區(qū)間內具有直到n1

30、 階的導數(shù)，能否找出一個關于( xx0 ) 的n 次多項式pn (x) a0a1( x x0 ) a2 ( xx0 )2an ( x x0)n(1)且 pn(k ) ( x0 )f (k ) ( x0 ) ( k 0, 1, n )近似 f (x) ?問題 2 若問題 1 的解存在，其誤差Rn (x)f (x)pn (x) 的表達式是什么 ?4.3.1 泰勒 (Taylor)中值定理問題 1 的求解就是確定多項式的系數(shù)a0 ,a1 ,an 。pn (x) a0a1 (x x0 ) a2 (x x0 ) 2an (x x0 ) na0pn ( x0 )pn ( x)a12a2 ( xx0 )3a

31、3 (xx0 )2nan ( xx0 )n 1a1pn ( x0 )pn(x)2 1 a23 2 a3 (x x0)4 3 a4 (xx0)2n (n 1) an (xx0 )n 22 1 a2pn ( x0 )pn (x)3 2 1 a34 3 2 a4 (x x0)5 4 3 a5 (x x0)2n (n 1) (n 2) an (x x0 )n 33 2 1 a3pn( x0 )上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出：a 0p n ( x 0 )f ( x 0 )1 a 1p n ( x 0 )f ( x 0 )2 1 a 2p n ( x 0 )f ( x 0 )3 2 1 a 3p

32、 n ( x 0 )f ( x 0 )一般地有,k ( k1 )( k2 )2 1 a kp n( k ) ( x 0 )f ( k ) ( x 0 )從而得到系數(shù)計算公式,a 0f( x 0 )a 1f( x 0 )1!a 2f( x 0 )2!a 3f( x 0 )3!a kf( k ) ( x 0 ) ( k0 ,1,2 , n )k !于是 , 所求的多項式為 :pn(x)f ( x0 )f (x0 ) ( xx0)f ( k)(x0 ) ( x x0)kf (n) (x0 ) (x x0)n(2)1!k!n!泰勒 (Taylor)中值定理若函數(shù) f ( x)在含有 x0 的某個開區(qū)間

33、 ( a, b) 內具有直到 n1階導數(shù)，則當 x( a, b) 時，( x) 可以表示成f ( x) f (x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f (n) (x0 ) ( xx0 )nRn ( x)(3)2!n!其中 Rn (x)f ( n1) () ( xx0 )n 1（介于 x0 與 x 之間）( n1)!證 令 Rn (x)f (x)Pn (x) ，下證在 x0 與 x 之間，使得：Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1(n1)!由于 f (x) 有直到 ( n1) 階導數(shù)， Pn (x) 為多項式， 故 Rn (x) 在

34、 (a,b) 內有直到 ( n 1)階 導 數(shù) ， 并 且 Rn ( x0 ) Rn (x0 ) Rn (x0 )Rn (n ) ( x0 )0 。 現(xiàn) 對 函 數(shù) Rn (x) 和( x x0 )n 1 在以 x0 和 x 為端點的區(qū)間上應用 Cauchy 中值定理，Rn ( x)Rn ( x) Rn ( x0 )Rn ( 1 )(x x0 ) n 1( x x0 )n 1(x0 x0 )n 1(n 1)( 1 x0 )n（1在 x0 與 x 之間）Rn ( 1 )Rn ( 1 ) Rn ( x0 )Rn ( 2 )(n 1)( 1x0 )n(n 1)( 1x0 ) n(n 1)( x0 x

35、0 )n(n 1)n( 2 x0 )n 1（ 2介于1 與 x0 之間）如此繼續(xù)下去，經過(n1)次后，一個n 1 介于 n 與 x0 之間，使得Rn ( x)n 1(n1)Rn(n 1)， 顯然n1 介于 x0 與 x 之間。(xx0 )(n1)!一般地，記號Rn ( x)Rn(n1)n 1(xx0 )n 1(n1)!又因為 Rn ( x)f ( x)Pn ( x)而 Pn (x) 為 n 次多項式，故當Pn (n 1) ( x)0Rn (n 1) ( x)f (n 1) ( x)Rn ( x)f ( n 1) ( )或Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( xx0 )n 1（ 介于 x

36、0 與(xx0 ) n1(n1)!(n 1)!x 之間）。注:1 、 f ( x) f ( x0 )nf (k ) ( x0 ) ( x x0 ) kf ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1k1k!(n 1)!此式稱為函數(shù)f (x) 按 (xx0 ) 的冪展開的n 階泰勒公式；或者稱之為函數(shù)f ( x) 在點x0 處的n階泰勒展開式。當 n0時， 泰勒公式變?yōu)閒 (x)f (x0 )f (01) ( ) (xx0 ) 0 1f ( x0 )f( ) ( x x0 )(01)!這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項:f ( n1)( )( xx0 )n 1Rn (

37、x)1)!(n為拉格朗日型余項。2、對固定的 n ，若f (n 1) (x)M ,a xb有 Rn ( x)Mxn 1(n1)!x0此式可用作誤差界的估計。Rn ( x)Mx00( xx0)( xx )n( nx1)!0( )(n,() 。即誤差時較n高階故)是當Rnxoxx0 xx0Rn (x)xx0(x x0 )無窮小 , 這一余項表達式稱之為佩亞諾型余項 。3、若 x00 ，則在 0 與 x 之間，它表示成形式x (01) ，泰勒公式有較簡單的形式 麥克勞林 ( Maclourin) 公式f ( x)f (0)f( 0) xf( 0) x 2f ( n ) ( 0) x nf ( n 1

38、) (x) x n 1 (01)1!2!n!(n1)!近似公式f ( x)f (0 )f(0) xf( 0) x 2f ( n ) (0) x n (01)1!2!n!誤差估計式Rn (x)Mxn1(n1)!。4、麥克勞林展開式是一種特殊形式的泰勒展開式，容易求。因此求函數(shù)f ( x) 在任意點 xx0處的泰勒展開式時，可通過變量替換xx0t化歸到這一情況。令xx0t，則 f (x)f (tx0 )F (t)，對函數(shù)F (t ) 作麥克勞林展開。4.3.2幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式例 1 求 f ( x)ex 的麥克勞林公式。解(k )( )x(0,1,2, )fxeknf (0)f (0)f

39、(0)f (n ) (0)e01 ， f ( n 1) ( x) e x于是ex1x x2xne xxn 1 (01)1!2!n!(n1)!ex1xx2xn有近似公式1!2!n!Rn ( x)e xn1其誤差的界為(nx1)!我們有函數(shù)(1) 、ex 的一些近似表達式 :y 1 x(2) 、 y1 x1 x2(3) 、 y 1 x1 x21 x3226例 2求f ( x)sin x的n 階麥克勞林公式。解f ( n) ( x)sin( xn )f (n) (0)sin n22f (0)0, f(0)1, f(0)0, f ( 3) (0)1, f (4 ) (0) 0,它們的值依次取四個數(shù)值0

40、,1,0, 1sin x xx3x5( 1) m 1x2m 1R2m ( x)3!5!(2m 1)!sinx ( 2m1)其中 :R2m ( x)(2m 1)!2x2 m 1 (01)函數(shù) ysin x的一些近似表達式并給出它們的圖象( 見圖 4-3-7)(1) yx (2) yx1 x3(3) yx1 x31x5(4) yxx3x5x7661203!5!7!x3x 5x 7x3y x 3 !5 !7 !y x43!yx26420224圖 4-3-7同理有：cosx1x2x4(1)mx2 mR2 m 1()2!4!( 2m)!x ，其中： R2m 1 ( x)cos( x(m1) x2m2(0

41、( 2m 2)!例 3 求 (1 x) 的麥克勞林公式解y xx3x53!5!ysin x46。(1 x) 1x(1) x2(1)(2) x3( 1)(2)(n 1) xnRn ( x)2!3!n!其中： Rn ( x)(1)(2)(n) xn 1(1 x)n 1 ，（ 01）(n 1)!例 4 求 ln(1x) 的麥克勞林公式。解ln(1x)x2x3( 1) n 1 xn( )x3nRn x2(1)nn! xn 1n1xRn (x)(1x) n 1( 1)n 1。(n1)!(n1 1x例 5 求 f ( x)tan x 的麥克勞林展開式的前四項，并給出佩亞諾型余項。解 (tan x)1cos

42、2 x(tan x)2 cos x( sin x) 2 sin xcos4 xcos3 x(tan x)2 cos xcos3 xsin x 3cos2 x ( sin x)2cos2 x 6sin 2 xcos6 xcos4 xtanx x00,(tan x)x 0 1,(tan x) x 0 0,(tan x) x 0 2于是tan xx2 x3o( x3 )3!利用泰勒展開式求函數(shù)的極限， 可以說是求極限方法中的 “終極武器” ， 使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。例 6 利用泰勒展開式再求極限lim tan x3sin x 。x0 x解tan xx1 x3o(x3 ) ，si

43、n xx1 x3o( x3 )36tan xsin x x1 x3o(x3 ) x1 x3o(x3)36( xx)(1x31x3 )(o(x3)o( x3 )361 x3o( x3)2lim tan x1 x3o( x3 )1 x33sin xlim 2x3lim 2lim o( x)1x 0 x3x 0 x 0 x3x 0 x32注: 現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處因為 tan x x sin x( x0)，從而lim tan xsin xlimxxlim 00 x 0 x3x0 x3x0當 x0 時， tan xsin xxx 0 ，應為tan xsin x1 x3o(x3

44、)2例 6三階泰勒公式求sin 18的近似值，并估計誤差。解：181818010 x3sinx52sin x x(1)31x53!5!故： sin101()30.3094251061015R4( )( )510 52.55 10 5 。105!101204.4導數(shù)的應用 (1)函數(shù)的單調性從圖 4-4-7 可觀察到函數(shù)yexx1與它的導函數(shù)yex1 在 1,1 上的圖象 :yex1yexx1圖 4-4-7函數(shù) yexx1 在 1,0) 上是單調減少，在(0,1 上是單調增加；其導函數(shù) yex1 在 1,0) 上小于零，在(0,1 上大于零。函數(shù)的單調性是否與導函數(shù)的符號有關呢?yyABy f

45、( x)y f ( x)BAoabxoabxtanf ( x) 0tanf ( x) 0圖 448我們從圖4-4-8 可觀察到函數(shù)yf (x) 在 a,b 上單調增加 ( 減少 ) ，則它的圖形是一條沿 x 軸正向上升 ( 下降 ) 的曲線，曲線上各點處的切線之斜率均為正的( 負的 ) ，即：yf ( x)0 (yf ( x)0 )這表明：函數(shù)的單調性確實與其導數(shù)的符號有關，因此，可以利用導數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調性 , 下面我們用拉格朗日中值定理來討論這個問題。設函數(shù) yf ( x) 在 a,b 上連續(xù) , 在 (a, b) 上可導， 任意 x1 ,x2 a,b( x1x2 ) ，則f (

46、x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1)( x1x2)若在 (a,b) 內 f (x)0 ，則 f ( )0 ，從而f (x2 )f ( x1 ) ；即函數(shù) yf (x) 在 a , b 上單調增加；若在 (a,b) 內 f (x)0 ，則 f ( )0 ，從而f (x2 )f ( x1 ) ，即函數(shù) yf (x) 在 a , b 上單調減少。我們講上述討論歸納為如下定理:定理 1 ( 函數(shù)單調性判別法)設函數(shù) yf ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 上可導，(1) 若在 (a, b) 內 f ( x)0 ， 則 yf ( x) 在 a, b 上單調增加；(2) 、

47、若在 ( a, b) 內 f ( x)0 ， 則 yf ( x) 在 a,b 上單調減少。注:1、判別法中的閉區(qū)間若換成其它各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結論仍成立。2、如果在(a,b) 內 f (x)0 (0 ) ，且等號僅在個別點處成立，則yf ( x) 在 a,b 上單調增加 ( 減少 ) 。（見例 4）3、以后把函數(shù)單調的區(qū)間稱之為函數(shù)的單調區(qū)間。例 1 討論函數(shù)yexx1的單調性。解 函數(shù)的定義域為(,) ， 且 yex 1當 x(,0) 時，y0 ， 故函數(shù)在 (,0) 上單調減少；當 x(0,) 時，y0 ， 故函數(shù)在 (0,) 上單調增加（見圖4-4-7 ）。我們注意到 , x0

48、是函數(shù)單調減少區(qū)間(,0 ) 與單調增加 ( 0,) 的分界點， 且函數(shù)在分解點的導數(shù)為零，即y (0)e010例 2 討論函數(shù)yx 的單調性。解 函數(shù)的定義域為(,) ，當 x(,0) 時，yx ，y10 ，故函數(shù)在 (,0) 上單減；當 x(0,) 時，yx，y10 ，故函數(shù)在 (0,) 上單增。我們看到，函數(shù)在單調減少區(qū)間(,0 ) 與單調增加 ( 0,) 的分界點為 x0 ，且函數(shù)在分解點不可導，即y (0) 不存在。一般講， f ( x) 在定義域內未必單調，但可用適當?shù)囊恍c把定義域分為若干個區(qū)間，便得 f (x) 在每一個區(qū)間上都是單調函數(shù)。而這些分點主要有兩大類：其一是導數(shù)等于

49、0 的點，即 f ( x) 0 的根；其二是導數(shù)不存在的點。事實上，只要f (x) 在定義域內連續(xù)，且只在有限個點處導數(shù)不存在，則可用分點將區(qū)間分為若干個小區(qū)間，使得 f ( x) 在各小區(qū)間上，保持有相同的符號，即恒正或恒負，這樣f ( x) 在每個小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，各小區(qū)間則相對地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間。例 3 試確定函數(shù)y8的單調區(qū)間。2xx解： 當 x 0 時，函數(shù)無定義，故函數(shù)在 x0 處不可導；當 x82x 28 2( x 2)( x 2)0 時， 導函數(shù)為 y 2x2x2x2令 y0 得： x2于是，點 x2,0,2 將函數(shù)定義域 (x0 ) 分劃成四個區(qū)間 (, 2)、

50、(2,0) 、(0,2) 、 (2,) ，列表討論如下：x(, 2)(2,0)(0,2)( 2,)+-+f ( x)yf (x)例 4 討論函數(shù)yx3 的單調性。解 函數(shù)的定義域為(,) ，它的一階導數(shù)為y3x2 ，除去點 x 0外，恒有 y 0因此，函數(shù)在區(qū)間 (,0) 及 (0,) 上單調增加。 故函數(shù)在 ( , )單調增加。利用函數(shù)的單調性可以證明較為復雜的函數(shù)不等式。例 5 試證明：當 x4 時， 有 2 xx2 。證 作輔助函數(shù)() 2x24, )，f xxx ，f xxx( )2 ln 2 2f ( x) 2x (ln 2)22 2 2 x 3 (ln 4) 2 1 ，當 x 4,

51、) 時，2x 32 ，(ln 4)21 ，故f ( x)0,x4,) ， f ( x) 在 4,) 上單調增加，從而有f ( x)f (4) ，而 f (4) 24 ln 2 2 4 16 ln 2 8 8 (ln 4 1)0 ，于是f ( x)0 ， f (x) 在 4,) 上也單調增加。從而有f ( x)f ( 4)244216160 ，即2xx2 x4,) 。該證明方法十分典型，對于一些較精細的函數(shù)不等式的證明可借助此法。例 6 求方程 ln xax （其中 a0 ）有幾個實根？1解 設 f ( x)ln x ax x (0, ) f (x) a x令 f( x)0, 則 x1，用 x1

52、)分為 (0,1) 和 (1,) 二個區(qū)a點將其定義域 (0,aaa間，且當0 x1時 ， f(x)0， 所 以 f ( x) 在 (0, 1) 是 單 增 的 ， 故 當 x1時 ，aaaf ( x)f ( 1 ) 。a當 1x時， f ( x)0，所以f ( x) 在 1 ,) 上為單減的，故當x1時，aaaf ( x)f ( 1 ) 。a由以上討論知，當x1時， f ( x)f ( 1 )(1ln a)aa即對x(0,), f ( x)(1ln a) ，下面來討論 ln xax 有幾個實根 ：（a）若 (1ln a)0 ，即 a1時， f ( x)0 ，即方程無解。e（b）若 (1ln

53、a)0 ，即 a1時， f ( x)0 ，且僅在 x a1f (x)0 ，e時，有e此時，方程有唯一的解。（ c）若 (1ln a)0，即0a1時， f ( 1 )0 ，又在 (0, 1 ) 上， f ( x) 單增，且eaalimf ( x)，故在 (0, 1 ) 上，函數(shù) f ( x) 與 x 軸有一個且只一個交點，即方程的根，又x 0a在1,1 ,) 上， f ( x) 單減，且 limf ( x)，故在 ) 上， f ( x) 與 x 軸有一個且只axa有一個交點，即方程的根，合起來，此時方程有二個實根。函數(shù)的極值及其求法定義設函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (a, b) 內有定義，點x0

54、是 (a,b) 內的一點。若存在點x0 的一個鄰域，對于該鄰域內任何異于x0 的點 x ，不等式f (x)f ( x0 )(f ( x)f (x0 ) )成立，稱f ( x0 ) 是函數(shù) f ( x) 的一個極大值 ( 極小值 ) ；稱點 x0 是函數(shù) f ( x) 的極大值點 ( 極小值點 )。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱為極值點。yyf ( x)ax1ox2x3x4x5x6 x7b x圖 4-4-9關于函數(shù)的極值，如下幾點注記是十分重要的。1、函數(shù)的極值概念是一個局部概念。如果 f ( x0 ) 是函數(shù)f ( x) 的一個極大值，那只是對x0 的一個局部范圍

55、來說f ( x0 ) 是f ( x) 的一個最大值。但對于整個函數(shù)的定義域來說，f ( x0 ) 就不一定是最大值了。對于極小值也是類似的。2、極小值有可能較極大值更大。圖4-4-9的 函 數(shù)f ( x) 有 兩 個 極 大 值f (x2 )、f ( x5 ), f ( x7 ) ， 三 個 極 小 值f ( x1 )、 f ( x4 )、 f ( x6 ) , 其中 f (x2 )f ( x6 ) ( f (x2 ) 是極大值，而 f (x6 ) 是極小值)從圖中可看出，在函數(shù)取得極值之處，曲線具有水平的切線( 當切線存在時 ) 或者沒有切線，如曲線在xx7 處，但有水平切線的點不一定是極值

56、點，如曲線在xx3 ?，F(xiàn)在，我們來討論極值存在的必要條件和充分條件。定理 2 ( 可導函數(shù)取得極值的必要條件)設函數(shù) f ( x) 在點 x0 處具有導數(shù)，且在x0 處取得極值，則f (x0 )0 。定理 2 的結論可換成等價的說法：可導函數(shù)的極值點必定是為駐點。反過來，函數(shù)的駐點不一定就是函數(shù)的極值點,例如函數(shù)yx3 的導數(shù)為 y3x2 ，f (0)0 ，因此 x0 是這可導函數(shù)的駐點，但x0 卻不是這函數(shù)的極值點。定理 3(函數(shù)取得極值的第一充分條件)設函數(shù) f ( x) 在 x0 處連續(xù)，且在0 x0 的某個去心鄰域 U (x0 , ) 內可導，(1) 若 x( x0 , x0 ) 時，

57、 f ( x)0；而當 x ( x0 , x0) 時， f (x)0 ，則 f (x) 在x0 處取得極大值；(2)若 x( x0, x0 ) 時， f (x)0 ；而當 x( x0 , x0) 時， f (x)0 ，則 f (x)在 x0 處取得極小值；0(3) 當xU( x0 ,)時，f (x) 的符號保持不變，則f (x) 在x0 處沒有極值。圖證4-4-10證(1) 由函數(shù)f ( x)在( x0, x0 ) 單調增加,即當xx0 時，f ( x)f (x0 )；在( x0 , x0) 單調減少，即當xx0 時，f (x)f (x0 ) . 又由于函數(shù)f ( x)在x0 處連續(xù)，因此x0

58、 是f ( x) 的極大值點,f (x0 )是f ( x)的極大值類似可以證明(2) 及情形(3) 。（圖4-4-10）根據(jù)上面的兩個定理，如果函數(shù)f ( x) 在所討論的區(qū)間內連續(xù)，除個別點外處處可導，那么就可以按下列步驟來求在該區(qū)間內的極值點和相應的極值:求出導數(shù) f (x) ；求出 f (x) 的全部駐點與不可導點；考察 f ( x) 的符號在每個駐點或不可導點的左右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點，進一步是極大值點還是極小值點；并求出各極值點的函數(shù)值，就得函數(shù)f (x)的全部極值。例 7 求函數(shù)f (x)x33x29x5 的極值。解 (1) 函數(shù)的定義域為(,) ，且f( x)3x2

59、6x9 3( x22x 3) 3( x1)( x 3) ，(2)令f(x)0 ，可得到函數(shù)的駐點 : x1,3 。(3)當x(, 1)時，f(x) 0 ，當 x( 1,3) 時，f ( x) 0 ，故 x1 是函數(shù)的極大值點，且函數(shù)的極大值為:f ( 1) ( 1) 33(1)29(1) 5 10。當x(3,) 時， f ( x)0 ，故x3 是函數(shù)的極小值點，且函數(shù)的極小值為f (3)333 329 3522 。另外我們要注意函數(shù)的不可導點，也是函數(shù)可疑的極值點，在討論函數(shù)的極值時，應予以考慮。 例如 yx 在 x0 處不可導， 但函數(shù)在 x0 處取得極小值， 故點 x0 是函數(shù)的極小值點。

60、2例 8 討論函數(shù)y1(x2) 3 的極值。解 (1)函數(shù)的定義域為 (, ) ，且 x2 時， y2,3 x32當 x2 時， y 不存在。(2) 當x(,2) 時，f ( x)0 ，函數(shù)單調增加，當x( 2,) 時，f ( x)0 ，函數(shù)單調減少，故 當 x2 時，盡管 y 不存在，由上面的單調性可知，圖 4-4-12x 2是函數(shù)的極大值點，且y(2) 1是函數(shù)的極大值（圖4-4-12 ）。定理 4( 函數(shù)取得極值的第二充分條件)設函數(shù)f ( x) 在點 x0 處具有二階導數(shù)，且 f ( x0 )0 、 f ( x0 )0，則當當f ( x0 )0 時， 函數(shù) f (x) 在 x0 處取得