空間向量法解決立體幾何問題(專題課)課件

1、利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二一.引入兩個重要的空間向量 1.直線的方向向量 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB一.引入兩個重要的空間向量 1.直線的方向向量 2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個向量垂直于平面,記作n,這時向量n叫做平面的法向量. n2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? 如圖,設(shè)a=( x1,

2、y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說,若na = 0且nb = 0,則n . abn3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? abn(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). (1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長為2的正方體AB

3、CD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxy例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z =1解得:得:由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D1二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條

4、直線a,b的方向向量分別為a ,b. 若ab,即a=b,則ab. 若ab,即ab = 0,則ababab二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè) a, b, c,依題意有| a |=| b |，于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD 證明：設(shè) a, b, (2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,

5、平面的法向量為n,且L . 若an,即a =n,則 L 若an,即an = 0,則a .nanaLL(2)直線與平面的位置關(guān)系nanaLL例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y

6、,z),則 解之得 ，取z = 1得n=(-2,0,1)(1) =- n,從而A1E 平面DBC1(2) ,而 n =-2+0+2=0AB1 平面DBC1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-(3)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2 若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1 n2= 0,則n2n1n1n2(3)平面與平面的位置關(guān)系n2n1n1n2例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1證

7、明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 平面AED平面A1FDn1 n2 = -2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是 ，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角

8、就行了.2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_. BC A MxzyB1C1D1A1CD例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn)解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正方體的棱長為2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos =|cos|設(shè)DB1與CM所成角為, 與 所成角為,于是：解: 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面的法向量, a是直

9、線L的方向向量,設(shè)L與所成的角, n與a所成的角 則 = - 或= - 于是,因此nnaa(2)直線與與平面所成的角nnaa例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得 由 ，解得 ，取y= ,得n=(3, ,0)，設(shè) 與n夾角為而故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則（3）二面角

10、設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個半平面、的法向量，由幾何知識可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號時相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號時互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2n1n2（3）二面角n1n2n1n2例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0，0），C（1，1，0），D（

11、0，2，0），S（0，0，1）. 設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小滿足 二面角A-SD-C的大小為 .解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n, 這時分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離. 即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向

12、量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A1解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由 ,得 n=(-1,-1,2). ,異面直線AC1與BD間的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 (2)點(diǎn)到平面的距離A為平面外一點(diǎn)(如圖), n

13、為平面的法向量,過A作平面的斜線AB及垂線AH. = = . 于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABH(2)點(diǎn)到平面的距離nABH例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= 解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 ,或 ,可見,選

14、擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時,與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無關(guān). 解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 會求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 側(cè)棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面BED間的距離. xzyPBEADCF會求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則F為CD的中點(diǎn),于是A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2).n 2+6-8=0，故PC面BED, PC到面BED的距