選修2-1數(shù)學(xué)教案：212求曲線的方程

1、文檔編碼 : CU4D4W9Q8T10 HR3F9M3B2P6 ZU5J4L9I10T7求曲線方程學(xué)案課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 回憶圓錐曲線的定義,并會(huì)利用定義和性質(zhì)求圓錐曲線的方程；二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1到頂點(diǎn)F5 ,0和定直線x16的距離之比為5 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 452直線 l 與橢圓x2y21交于 P、Q兩點(diǎn),已知 l過(guò)定點(diǎn)（ 1, 0）,就弦 PQ中點(diǎn)的軌跡方4程是y21上任一點(diǎn),過(guò)P 作 x 軸的垂線,垂足為Q,就 PQ中點(diǎn) M3已知點(diǎn) P 是雙曲線x2a2b2的軌跡方程是2 ,0 ,B,20 ,且AC、AB、BC成等差數(shù)列,4在ABC 中,已知A就 C點(diǎn)軌跡方程為 課堂探究學(xué)案【學(xué)習(xí)

2、目標(biāo)】1明白用坐標(biāo)法爭(zhēng)辯幾何問(wèn)題的方法,明白解析幾何的基本問(wèn)題 2懂得曲線的方程、方程的曲線的概念,能依據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程,了 解兩條曲線交點(diǎn)的概念3通過(guò)曲線方程概念的教學(xué),培養(yǎng)同學(xué)數(shù)與形相互聯(lián)系、對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀 點(diǎn)4. 通過(guò)求曲線方程的教學(xué),培養(yǎng)同學(xué)的轉(zhuǎn)化才能和全面分析問(wèn)題的才能,幫忙同學(xué)懂得解析幾何的思想方法. 5. 進(jìn)一步懂得數(shù)形結(jié)合的思想方法【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 嫻熟把握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等,并能靈敏應(yīng)用；學(xué)習(xí)難點(diǎn) ：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、 新 課分析 解析幾何主要爭(zhēng)辯兩大類問(wèn)題：一是依據(jù)題設(shè)條件

3、,求出表示平面曲線的方程；二是通過(guò)方程, 爭(zhēng)辯平面曲線的性質(zhì)求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一 . 求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的 幾何條件,用“ 坐標(biāo)化” 將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系 . 這類問(wèn)題除了考查同學(xué)對(duì)圓錐曲線的定義,性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的掌握,仍充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及確定的推理才能和運(yùn)算才能,因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn), 也是同學(xué)們的一大難點(diǎn). 解答軌跡問(wèn)題時(shí),如能充分挖掘幾何關(guān)系,就往往可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程二、典型例題PA例 1設(shè)動(dòng)直線 l 垂直于 x 軸,且與橢圓x22y24交于A、By 兩點(diǎn), P 是 l 上中意PB1的點(diǎn),求點(diǎn)P 的軌跡方程

4、；x O B 方法點(diǎn)撥： 用直接法： 如曲線上的動(dòng)點(diǎn)中意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系,就只需直接把這種關(guān)系“ 翻譯” 成關(guān)于 動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x、y 的方程；經(jīng)化簡(jiǎn)所得同解的最簡(jiǎn)方程,即為所求軌跡方程；其一般步驟為：建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)檢驗(yàn)；例 2如圖,在RtABC中,BAC90,A 21,、B21, ,SABC2平方單位,動(dòng)點(diǎn)P 在曲線 E y1 上運(yùn)動(dòng),如曲線E 過(guò)點(diǎn) C且中意PAPB的值為常數(shù)；（1）求曲線 E 的方程；Q、R,求線段 QR的中點(diǎn) M y B （2）設(shè)直線 l 的斜率為 1,如直線 l 與曲線 E 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的軌跡方程；C A O x 方法點(diǎn)撥： 用圓錐曲線的定義求方程

5、；假如題目中的幾何條件能夠中意圓、橢圓、 雙曲線,拋物線的第一、二定義,就直接利用曲線定義寫出其軌跡方程；2 2例 3如以下圖,過(guò)橢圓 E：x y 1 上任一點(diǎn) P,作右準(zhǔn)線 l 的垂線 PH,垂足為3 2H；延長(zhǎng) PH到 Q,使 HQ= PH 0 （1）當(dāng) P點(diǎn)在 E 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn) Q的軌跡 G的方程；（2 ）當(dāng) 取何值時(shí), 軌跡 G是焦點(diǎn)在平行于 y 軸的直線上的橢圓？證明這些焦點(diǎn)都在同 一個(gè)橢圓 E 上,并寫出橢圓的方程；（3）當(dāng) 取何值時(shí),軌跡 G是一個(gè)圓？判定這個(gè)圓與橢圓 E 的右準(zhǔn)線 l 的位置關(guān)系；方法點(diǎn)撥： 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一；求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的

6、軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過(guò)“ 坐標(biāo)互化” 將其轉(zhuǎn)化為變量間的關(guān)系；在確定了軌跡方程之后,有時(shí)需要對(duì)方程中的參數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯,由于參數(shù)取值的變化會(huì)使方程表示不同的曲線,會(huì)使其與其他曲線的位置關(guān)系不同,會(huì)引起另外某些變量取值范疇的變化；例 4設(shè)橢圓方程為x2y2,1,過(guò)點(diǎn)M01, 的直線 l 交橢圓于點(diǎn)A、B,O 是坐標(biāo)4原點(diǎn),點(diǎn) P中意OP1OA點(diǎn) N的坐標(biāo)為1,1,當(dāng) l 繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)時(shí),求：OB222（1）動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；（2） NP 的最小值與最大值；方法點(diǎn)撥： 此題是運(yùn)用參數(shù)法求的軌跡；當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí),可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量 t,并用

7、t表示動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo) x、y,從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程x f t ,消去參數(shù) t ,便可得到動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡一般方程；其中應(yīng)留意方程的等價(jià)性,即y g t 由 t 的范疇確定出 x、y 范疇；三、小結(jié) : 求曲線方程的兩類問(wèn)題：一是動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的根本緣由,二是動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的約束條件；求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等；課后題高與練習(xí)2 21. 如點(diǎn) M（x,y ）中意 x 3 y 1 | x y 3 | 0,就點(diǎn) M的軌跡是（）A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D拋物線 . 2. 點(diǎn) M為拋物線 y x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 連結(jié)原點(diǎn) O與動(dòng)點(diǎn) M,以 OM為邊作一個(gè)正方形 2M

8、NPO,就動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為（）2 2 2 2A. y x B. y x C. y x D. x y2 2 2 23. 方程 x 6 y x 6 y 20 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x yA. 1 B. 1 C. 1 D. 1100 36 100 64 36 100 64 1002 2 2 24. 一動(dòng)圓 M與兩定圓 C 1 : x 4 y 1, C 2 : x 4 y 9 均外切,就動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程是. 25. 拋物線 y 4 x 關(guān)于直線 l : y x 2 對(duì)稱的曲線方程是. 2 2. 橢圓與橢圓 x 3 y 2 1 關(guān)于直線 x y

9、 0 對(duì)稱,橢圓的方程是（）9 42 2 2 2A. x 2 y 3 1 B. x 2 y 3 14 9 9 42 2 2 2C. x 2 y 3 1 D. x 2 y 3 19 4 4 9. 以下四個(gè)命題：圓 x 2 2 y 1 21 關(guān)于點(diǎn) A1,2 對(duì)稱的曲線方程是 x 3 2 y 3 21；2 2以點(diǎn)（ 2, 3）和點(diǎn)（ 2,1）為焦點(diǎn)的橢圓方程可以是 x 2 y 11；10 14頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且過(guò)點(diǎn) 4, 3 的拋物線方程只能是 y 2 9x ；42 2雙曲線 x y1 右支上一點(diǎn) P到左準(zhǔn)線的距離為 18,就 P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 29；16 9 2以上正確的命題是.

10、（將正確命題的序號(hào)都 填上）8. 設(shè)曲線 C：y x 22 x 2 和直線 l : y kx . 記 l 與 C的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、B,求線段 AB中點(diǎn)的軌跡方程；如線段 AB上的點(diǎn) Q中意 2 1 1,求點(diǎn) Q的軌跡方程；OQ OA OB在點(diǎn) Q 的軌跡上是否存在點(diǎn) Q0,使得經(jīng)過(guò)曲線 C 的焦點(diǎn)的弦被點(diǎn) Q0 平分？證明你的結(jié)論. 答案： 1、 C ；2、 C ；3、 B ；22 y4、x 1 x 1 解析：應(yīng)用圓錐曲線的定義,留意只有一支 . 1525、 x 2 4 y 2；、留意焦點(diǎn)所在位置的變化；7、；8、略解：（1）設(shè) AB 中點(diǎn) M , x y ,聯(lián)立方程組得： k 21 y 22

11、 ky 2 k 20,就y k2 , x 1,消云 k 得 x 2y 2x ,留意到 0,2k 1,得 x 21 k 1 k 21 2 2 1AB 中點(diǎn)的軌跡方程是 x y x 2 . 2 4（2）點(diǎn) Q 的軌跡方程是 x 2, 2 y 2,是一條線段（無(wú)故點(diǎn)）. （3）曲線 C 的焦點(diǎn) F1, 2 ,設(shè)過(guò) F 的直線方程為 y m x 1 2,與曲線 C 的方程2聯(lián)立,得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x 0 1 2 m2 m2 ,解得 m 2 6. 1 m 2當(dāng) m 2 6時(shí),弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 0 2,2；當(dāng) m 2 6時(shí),弦的中2 2點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 0 2,2 .綜上,存在點(diǎn) Q 0 2 y 0

12、,使得經(jīng)過(guò)曲線 C 的焦點(diǎn)的弦被點(diǎn) Q0平分 . 求曲線的方程【教學(xué)目標(biāo)】1明白用坐標(biāo)法爭(zhēng)辯幾何問(wèn)題的方法,明白解析幾何的基本問(wèn)題 2懂得曲線的方程、方程的曲線的概念,能依據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程,了 解兩條曲線交點(diǎn)的概念點(diǎn)3通過(guò)曲線方程概念的教學(xué),培養(yǎng)同學(xué)數(shù)與形相互聯(lián)系、對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀4. 通過(guò)求曲線方程的教學(xué),培養(yǎng)同學(xué)的轉(zhuǎn)化才能和全面分析問(wèn)題的才能,幫忙同學(xué)懂得解析幾何的思想方法 . 5. 進(jìn)一步懂得數(shù)形結(jié)合的思想方法【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)： 嫻熟把握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法 等,并能靈敏應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn) ：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【教

13、學(xué)過(guò)程】一、課前預(yù)習(xí)1到頂點(diǎn)F50,和定直線x16的距離之比為5 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 452直線 l 與橢圓x2y21交于 P、Q兩點(diǎn),已知 l過(guò)定點(diǎn)（ 1,0）,就弦 PQ中點(diǎn)的4軌跡方程是y21上任一點(diǎn),過(guò)P作 x 軸的垂線,垂足為Q,就 PQ3已知點(diǎn) P 是雙曲線x2a2b2中點(diǎn) M的軌跡方程是4在ABC 中,已知A ,20 ,B20,且AC、AB、BC成等差數(shù)列,就C 點(diǎn)軌跡方程為示答案：15x2y21（提示y：設(shè)動(dòng)點(diǎn)x ,y,就169x52y2y ,x2y21；）；2x2x4y20； 3x a2y21（提2x16 54169b242y.將Px ,2代入線程得就Px ,雙曲：設(shè)Mx ,

14、方2 x2y21x2y212；）；4x16y21 y0（提示：2ABACBC,Ca2b2a2b212到 AB 的距離之和為8；）4二、新課分析解析幾何主要爭(zhēng)辯兩大類問(wèn)題：一是依據(jù)題設(shè)條件,求出表示平面曲線的方程；二是通過(guò)方程,爭(zhēng)辯平面曲線的性質(zhì)求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一 . 求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,用“ 坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系 . 這類問(wèn)題除了考查同學(xué)對(duì)圓錐曲線的定義,性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的把握,仍充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及確定的推理才能和運(yùn)算才能,因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn),也是同學(xué)們的一大難點(diǎn) . 解答軌跡問(wèn)題時(shí),如能充

15、分挖掘幾何關(guān)系,就往往可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程三、典型例題PA例 1設(shè)動(dòng)直線 l 垂直于 x 軸,且與橢圓x22y24交于A、y B兩點(diǎn), P 是 l 上中意 l PB1的點(diǎn),求點(diǎn)P 的軌跡方程；A O x B 方法點(diǎn)撥： 用直接法： 如曲線上的動(dòng)點(diǎn)中意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系,就只需直接把 這種關(guān)系“ 翻譯” 成關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x、y 的方程；經(jīng)化簡(jiǎn)所得同解的最簡(jiǎn)方程,即為所求軌跡方程；其一般步驟為：建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)檢驗(yàn)；例 2如圖,在RtABC中,BAC90,A 21, 、B 2 1, ,SABC2平方單位,動(dòng)點(diǎn)P 在曲線 E y1 上運(yùn)動(dòng),如曲線E 過(guò)點(diǎn) C且中意PAPB的值為常數(shù)；（1

16、）求曲線 E 的方程；Q、R,求線段 QR的中點(diǎn) M y B （2）設(shè)直線 l 的斜率為 1,如直線 l 與曲線 E 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的軌跡方程；C A O x 方法點(diǎn)撥：用圓錐曲線的定義求方程；假如題目中的幾何條件能夠中意圓、橢圓、雙曲線,拋物線的第一、二定義,就直接利用曲線定義寫出其軌跡方程；例 3如以下圖,過(guò)橢圓E：x2y21上任一點(diǎn) P,作右準(zhǔn)線 l 的垂 線 PH,垂足為32H；延長(zhǎng) PH到 Q,使 HQ= PH 0 （1）當(dāng) P點(diǎn)在 E 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn) Q的軌跡 G的方程；（2）當(dāng) 取何值時(shí),軌跡 G是焦點(diǎn)在平行于 y 軸的直線上的橢圓？證明這些焦點(diǎn)都在同一個(gè)橢圓 E 上,并寫出橢

17、圓的方程；（3）當(dāng) 取何值時(shí),軌跡 G是一個(gè)圓？判定這個(gè)圓與橢圓 E 的右準(zhǔn)線 l 的位置關(guān)系；y P H Q x O l 方法點(diǎn)撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之 一；求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程, 其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過(guò)“ 坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為變量間的關(guān)系；在確定了軌 跡方程之后,有時(shí)需要對(duì)方程中的參數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯,由于參數(shù)取值的變化會(huì)使方程表示不同的曲線,會(huì)使其與其他曲線的位置關(guān)系不同,會(huì)引起另外某些變量取值范疇的變化；例 4設(shè)橢圓方程為x2y2,1,過(guò)點(diǎn)M01, 的直線 l 交橢圓于點(diǎn)A、B,O 是坐標(biāo)4原點(diǎn),點(diǎn) P中意OP1OA點(diǎn) N的坐標(biāo)為1,1,當(dāng) l 繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)時(shí)