遠程教育學院高等數(shù)學模擬試卷

1、文檔編碼 : CX5T8M5C8M6 HX3J8H8Y5V4 ZX9Q3K1Q2V9高等數(shù)學 一 模擬試卷第一套得分評卷人選擇題： 1-10 小題,每道題4 分,在每道題給出的四個選項中,只有一項市符合題目要求的；1. 設函授 f xxx ,x ,0 就 x=0 處連續(xù),就a 等于（）ln 1ax=0 A 0 B . 12C. 1 D. 2 2. 設 y=sin 2x, 就 y 等于（）. A. cos 2x B. cos 2x C. 2cos 2x D. 2cos 2x 3.過曲線 y=xln x 上M0點的切線平行與直線y=2x, 就切點M0的坐標是（A. （1, 0） B.（e,0） C

2、.（e,1 ） D.（ e,e）4. 設 fx為連續(xù)函數(shù),就xf tdt等于（）aA. ft B. ft- fa C. fx D. fx- fa 5. 如x 為 fx的極值點,就（）A.fx 0必定存在,且f0 x=0 B. f0 x必定存在,且fx 0不愿定等于零 C. f0 x不存在,或fx0=0 D. fx 0必定不存在6.1xdx等于（）sin2A. 1xc B. 1xcC. cotxc D. cotxcsinsin1 : x 2 y 3 z 1 07. 平面 的位置關系為（）2 : 2 x y 2 0A. 垂直 B. 斜交 C.平行 D. 重合8. 設 z=tanxy, 就 z 等于

3、（）xA.cos y2 xy B. cos 2 xy y C.1 y xy 2 D. 1 y xy 2n k9級數(shù) 1 2（ k 為非零正常數(shù)） （）n 1 nA.確定收劍 B. 條件收劍 C. 發(fā)散 D. 收劍性與 k 有關10 微分方程 y y 0 的通解為（）x x x xA y= e B. y= e C. y=C e D. y=C e得分 評卷人二、填空題： 11-20 小題,每道題 4 分,共 40 分；sin 3 x11求 lim x x . 2x 112lim x 1 x 1 . xe13設 y= ,就 y = . 1 x214. 設 fx= x , 就 f x . 15. 1

4、21 xx 2 dx .16. 設 z= x 23 xy 2 y 2 y,就 z = . x17. 設 x dx F x C , f sin x cos x dx . n18. 冪級數(shù) n. x 的收斂半徑為 . n i19. 微分方程y9y0的通解為 . 20. 曲線y3 x6x的拐點坐標為 . 得分評卷人三、解答題： 21-28 小題,共 70 分,解答時應寫出推理、演算步驟 .21. （此題滿分8 分）. 運算1dxxln22. 此題滿分 8 分 設xasint2求dyfx存在,求 fx. yt32 tdx23（此題滿分8 分）設z3 xy2 2yx,求2z. xy24（此題滿分8 分）

5、求y2y8y0的通解 . 25. （此題滿分8 分）將fx31x開放為 x 的冪級數(shù)26. （此題滿分10 分）設fx x33xlim x 2fx ,且lim x 227. 此題滿分 10 分 求曲線yx21在點（ 1,2）處的切線方程,并求該曲線與所求切線及x=0所圍成的平面圖行的面積. 28. （此題滿分10 分）設區(qū)域 D為x2y24 ,y,0運算x2y2dxdy .D參考答案與詳解一、選擇題：每道題 4 分,共 40 分1C 【解析】此題考查的學問點為函數(shù)連續(xù)性的概念0. lim x 2fxf0 ,由由函數(shù)邊連續(xù)性的定義可知, 如fx在x處連續(xù),就有題設lim x 0fxlim x 0

6、ln1x|xlim x ox1x可知應有 a=1, 故應選 C. 2.D 【解析】此題考查的學問點為復合函數(shù)求導數(shù)的鏈式法就 . y sin 2 x ,就 y cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .可知應選 D 3.D 【解析】此題考查的學問點為導數(shù)的幾何意義 . 由導數(shù)的幾何意義可知,如 y f x 在點 x 處可導,就曲線 y f x 在點 x 0 , f x 0 處必定存在切線,且切線的斜率為 y f x 0 由于 y x ln x , 可知y 1 ln x,切線與已知直線 y 2 x 平行,直線的斜率 1k 2,可知切線的斜率k k 1 2 從而有1 ln x 0 2 ,可解得

7、 x 0 e , 從而知y 0 x 0 ln x 0 e ln e e故切點 M 0 的坐標為（ e.e ）, 可知應選 D. 4.C 【解析】此題考查的學問點為可變上限積分的求導性質 . 這是一個基本性質：如fx為連續(xù)函數(shù),就xf tdt必定可導,且x 與牛頓 - 萊axftdtfx . a此題常見的錯誤是選D,這是由于考生將積分的性質xf tdtfa布尼茨公式bfx dxFxFa 混在了一起而引起的錯誤；a5.C 【解析】此題考查的學問點為函數(shù)極值點的性質 . 如 0 x 為函數(shù) y f x 的極值點,就可能顯現(xiàn)兩種情形：（1）f x 在點 0 x 處不行導,如 y x 在點 0 x =0

8、 處 f x 不行導,但是點 0 x =0為 f x x 的極值點 . 2 f x 在點 x 可導,就由極值的必要條件可知,必定有 f x 0此題常見的錯誤是選 A,其緣由是考生將極值的必要條件：“ 如 f x 在點 0 x 可導,且 0 x 為 f x 的極值點,就必有 f x 0 0 認為是極值的充分必要條件 . 6.D 【解析】此題考查的學問點為不定積分基本公式. 由于1xdxcotcC可知應選 D sin27A 【解析】此題考查的學問點為兩平面的關系 . 兩平面的關系可由兩平面的法向量 n 1,n 2 間的關系確定 . 如 n 1 n 2,就兩平面必定垂直 . 如 n 1/ n 2,A

9、 1 B 1 C 1 D 1時,兩平面平行 . A 2 B 2 C 2 D 2當 A 1 B 1 C 1 D 1時,兩平面重合 . A 2 B 2 C 2 D 2如 1n 與 n 即不垂直,也不平行,就兩平面斜交 . 由于n 1 ,12 3, ,n 22 0,1, ,n 1n 2,0可知n 1n 2,因此12,應選 A. 8B 【解析】此題考查的學問點為偏異數(shù)運算. xyxcosyxy,由于ztanxy,因此xy）z1xcos22可知應選 A 9A 【解析】此題考查的學問點為無窮級數(shù)的收劍性是. n11收劍由于n1unn11 nk,u nk,n11p=2 的 p 級數(shù)從而n2n2n2n2n1k

10、,收劍,可知所給級數(shù)確定收劍. n210 D 【解析】此題考查的學問點為一階微分方程的求解. 仍可以仿可以將方程認作可分別變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；二階線性常系數(shù)齊次微分方程,并作為特例求解. Cex.解法一將方程認作可分別變量方程. 分別變量dydx,y兩端分別積分dydx ,或 Y=CexylnyxC,解法二將方程認作一階段性微分方程. 由通解公式可得yepxdxq xepxdxdxCedx0edxdxC解法三認作二階段常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解：特點方程為r10,特點根為r,1 , 方程通解為yCex,二、填空題：每空 4 分,共 40 分. 11 0 【解析】此題

11、考查的學問點為無窮小的性質. 為有對于lim xsin3x,其期限過程為x,可知所給極限不能利用重要極限公式xlimsin.1這是考生經(jīng)常犯錯誤的題目. 當 x時,sin3x不存在極限,由于當x時,1 為無窮小,且 xsin3x界變量,由于“ 有界變量與無窮小之積仍為無窮小”,lim xsin3xlim x 81sin3 x0 xx12 2 【解析】此題考查的學問點為極限的運算由于分子的極限lim3x10分母的極限lim x1 0,因此所給極限不能利用極限的商的運算法就來求解,lim x 1x21lim x 1x1 x1 lim x 1x1 2. x1x1或利用洛必達法就可得132 xe2li

12、m x 1x21lim x 12x2x11 1x 【解析】此題考查的學問點為函數(shù)商的求異運算考生只需熟記導數(shù)運算的法就可知yx exu 1uvuvx v2vx x ex e 111x22 xe 1x 2此題中有些考生仍不會運用求異法就,誤以為uvuv,uuex.的錯誤 . vv因此顯現(xiàn)y1exx,y 1x ex 這是由于考生沒把握基本學問才顯現(xiàn)的錯誤14 2 【解析】此題考查的學問點為二階導數(shù)的運算2. ,fxx2xfx 2x2 ,151ln5,. 22【解析】此題考查的學問點為定積分的換算法. 由于被積函數(shù)1x2分母為二次函數(shù),分子為一次函數(shù),本例有多種解法x解法一利用湊微分,留意到xdx1

13、dx21d1x2,可得2221x2dx12112dx212d 1x21x21x211x21ln1x221ln52122解法二令t12 x,就dt2xdx,當 x=1 時, t=2;當 x=2 時, t=5 有的考生填為121x2dx5l,1.1dtt1x2,就 dt=2xdx, 得到1x2t221lnt51ln5. 2222ln2 ,這個錯誤的緣由是引人變量221x2dx12ldt1lnt2. 1x21t211ln2 .2這里的錯誤在于進行定積分變量替換,積分區(qū)間沒做變化16 2x+3y 【解析】此題考查的學問點為偏導數(shù)的運算. y. 由于z2 x3 xy2y2y ,可得z2x3x17Fsin

14、xC.【解析】此題考查的學問點為不定積分的換元法由于x dxFxC,令usin x ,就ducosxdxfsinxcosxdxfuduFuCFsinxC18 0 【解析】此題考查的學問點為冪級數(shù)的收劍半徑 . 所給冪級數(shù)為不缺項情形a nn ,.lim nann1lim n n1 .9x. an .因此收劍半徑為0.19yCe9x,【解析】此題考查的學問點為求解可分別變量微分方程分別變量1dy9dx,y兩端分別積分1dy9dx ,ylny9xC1,yCe20（0,0）【解析】此題考查的學問點為求曲線的拐點 . 依求曲線拐點的一般步驟,只需（1）先求出 y（2）令 y =0 得出1x,kx .

15、kx 的兩側 y 異（3）判定在點1x,x 2,xk兩側 y 的符號是否異號, 如在號,就點x k,fx k為曲線yfx的拐點 . yx36 x ,y3 x2,6y6x .令 y =0,得到 x=0.當 x=0 時, y=0. 當x0時, y0；當x0時,y0.因此點（ 0,0）為曲線yx36x的拐點. 此題顯現(xiàn)較多的錯誤為：填x=0.這個錯誤產(chǎn)生的緣由是對曲線拐點的概念不清楚；拐點的定義是：連續(xù)曲線 y f x 上的凸與凹的分界點稱為之曲線的拐點 .其一般形式為（x 0 , x 0 ,這是應當引起留意的,也就是當判定 y 在 x 的兩側異號之后,再出 f x 0 ,就拐點為（x 0 , f

16、x 0 .留意極值點與拐點的不同之處！三、解答題：共70 分. 21解：x1xdx1dlnxlnlnxClnlnx【解析】此題考查的學問點為不定積分的換元積分運算留意flnx1dx,通常引入變換tln x.x本例求x1xdx,可以令tln x .就dt1 dx x.lnx1dx xdtlntClntlnlnxC也可以不寫出新變元,利用湊微分法運算：x1xdxdlnxlnlnxClnlnx此題中顯現(xiàn)的主要問題是不定積分運算丟掉任意常數(shù) C. 22解：dx a cos tdtdx 23 t 4 tdtdy2dx dt 3 t 4 t. dt dx a cos tdt【解析】此題考查的學問點為參數(shù)方程形式的函數(shù)的求導 . dy只需依公式 dy dt,先分別求出 dx ,dy 即可 . dt dx dt dtdtz 323.解：y 4 xy ,x2z 3 y 24 x .x y224. 解 ： 特點方程為 r 2 r 8 0特點根為 r 1 2 , r 2 42 x 4 x方程的通解為 y C 1 e C 2 e .n1 1 1 1 x n x25解：3 x 3 1 x 3 n 0 3 n 0 3 n 1,3x1 1 , 即 3 x 3 .326. 解：設 A limf x , 就x 2f x x 3 3 Ax .兩端當 x 2 時取極限lim