高中數(shù)學(xué)課件基本不等式

1、基本不等式 這是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。問(wèn)題引入:2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1問(wèn)2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它們的面積總和是S=問(wèn)1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則AB=則正方形的面積為S=。問(wèn)3：觀察圖形S與S有什么樣的大小關(guān)系？ 易得，s s,即ADCBHGFE問(wèn)4：那么它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？問(wèn)題4：s

2、, S有相等的情況嗎？何時(shí)相等？ 圖片說(shuō)明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 形的角度數(shù)的角度 當(dāng)a=b時(shí)a2+b22ab=(ab)2=0結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立探究2問(wèn)5：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 還成立嗎？此不等式稱(chēng)為重要不等式替換后得到： 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？一.基本不等式的推導(dǎo):證明：要證 只要證要證，只要證要證，只要證顯然, 是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), 中的等號(hào)成立. 分析法證明不等式：特別地，若a0，b0，則通常我們把上式寫(xiě)作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做

3、基本不等式.在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a0,b0二.基本不等式:你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?RtACDRtDCB，ABCDEabO如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.如何用a, b表示CD? CD=_如何用a, b表示OD? OD=_你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?如何用a, b表示CD? CD=_如何用a, b表示OD? OD=_OD與CD的大小關(guān)系怎樣? OD_C

4、D如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍 a,bRa0,b0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式 重要變形：（由小到大）均值不等式2 .典例分析：題型一 利用基本不等式求最值題型二 利用基本不等式證明不等式與比較大小題型三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題型一 ：利用基本不等式求最值結(jié)論1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值一正二定三相等結(jié)論2：兩個(gè)正數(shù)和為

5、定值，則積有最大值配湊系數(shù)分析: x+(1-2x) 不是 常數(shù).2=1為 解: 0 x0.12y=x(1-2x)= 2x(1-2x) 12 22x+(1-2x) 21218= . 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 取“=”號(hào).2x=(1-2x), 即 x= 14當(dāng) x = 時(shí), 函數(shù) y=x(1-2x) 的最大值是 .1418變2. 若 0 x0， 0，若 是 與 的等比中項(xiàng)，則得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. （2009年天津理6）B變式訓(xùn)練1-1：因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2

6、四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對(duì)點(diǎn)評(píng)2.（2009山東理12T)設(shè) 滿(mǎn)足約束條件 若目標(biāo)函數(shù) （ 0， 0）的最大值為12，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 4 略解：xy02-22(4,6)A2.如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？變式訓(xùn)練2-1：四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對(duì)點(diǎn)評(píng)2.如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為x(242x) m2因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為6m時(shí)，花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)y取得最小值為72五、課堂總結(jié)，布置作業(yè)1課堂總結(jié)：（1）涉及知識(shí)點(diǎn)：基本不等式及其應(yīng)用。（2）涉及數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化與回歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類(lèi)與整合思想。求最值時(shí)注意把握 “一正，二定，三相等”已知 x, y 都是正數(shù), P, S 是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P(當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí), 取“=”號(hào)).(2) x+y=S xy S2(當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí), 取“=”號(hào)).142.