工科數(shù)學(xué)分析曲線積分曲面

1、2008-4-1單連通區(qū)域上v Px, yz)i Qx, yz)j Rx, y2008-4-1單連通區(qū)域上v Px, yz)i Qx, yz)j Rx, yz)k是梯度向 x y P 證明：（充分性）構(gòu)造函，驗(yàn)證知v i j (x, y) P(x,y,z)dx Q(x0, y,z)dy R(x0,y0, 證明：（充分性）構(gòu)造函Q(x, y) P(x,y)dx (y) Q(x,y)dx (QxyQx0yy)，故Qx0y) y) y) Qx0，驗(yàn)證知v i (x, y) P(x, y)dx Q(x0,(x,y) P(x, y)dx (P(x,y) Q(x,梯度向量場(gradient field)

2、、位勢函數(shù)(potential 設(shè)f (x)在點(diǎn)x可微，則 f , f 為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的梯度向量向量 x 簡稱梯度，記作gradf或f，即gradf f f x 反之，f 稱為f 的一個(gè)例f(x,y,z) yi f(x,y,z) xi yj 例f(x,y,z) xi yj x2 y2 2008-4-2例求解常微dy f (x 方程構(gòu)造變, 上述方程變形2008-4-2例求解常微dy f (x 方程構(gòu)造變, 上述方程變形du 1 f u x dy p(x)y x p(tx p(ty y0 x0例求解常dy y x3，x0，未知函數(shù)y y(分方程1解：兩邊乘xe x x x y 1 x4 C

3、,x 例求解常微分方程：x2 1y2 1dx xydy 其中未知量y 兩邊除以y1x，得到 x1 y dxdy 0，兩邊積yx ：y1Ce 例求解常微分方程2xsin y 3x2ydx x3 x2cos y y2dy 其中未知函數(shù)為y yx3 x2cosy y2 2xsin y 3x2y解：注意到 由于P,Q在全平面連續(xù)，故取x0 , y0 ) (0構(gòu)造位勢函(x,y) 2xsin y 3x2ydx 由d 0計(jì)算得x2sin y x3y 1 y3 3例v y3i 3xy2jv 2xyzi x2zj x2yk v y4i 2xyj y3x x2yz2008-4-3r(t) x(t)i y(t)j

4、 z(t)k,(a t b)為一空間曲2008-4-3r(t) x(t)i y(t)j z(t)k,(a t b)為一空間曲線的參數(shù)化形式，從幾何的觀點(diǎn)看，此曲線由點(diǎn) x(t)，y(t)，z(t) a t b組成考慮一個(gè)任意向量場Fx, z),并將其限制的空間曲線r上，即向量F x(t), y(t), 例求解常dy y2 分方程例求解常微分方程 dy y2 1 , ：z 1 代入方程得到y(tǒng)21z 1 2 x得到通y x1tgC 1lnx例求解常微分方程： y方程兩邊乘以x,并構(gòu)造變,方程變形du 2uuCe2x x2 x 2u 例求解常微分方程dy x x 解：構(gòu)造變，上述方程變1u du 1

5、dx, 1 u2故得到通arctg x2 y2 y 例xy2 sin求解常微分方2構(gòu)造變, 上述方程變形dvxvsinx v 2008-4-4例：箕舌線(Witch of 引一條過原點(diǎn)及點(diǎn)P的直線，其中P是圓心為(0, a) 半徑為a的圓上的任意一點(diǎn)，求此直線與水平線y 2a的交點(diǎn)Q，從Q引一條垂線和過點(diǎn)P的水平線相2008-4-4例：箕舌線(Witch of 引一條過原點(diǎn)及點(diǎn)P的直線，其中P是圓心為(0, a) 半徑為a的圓上的任意一點(diǎn)，求此直線與水平線y 2a的交點(diǎn)Q，從Q引一條垂線和過點(diǎn)P的水平線相交，這些交點(diǎn)的集合即witch of Agnesir(t) (2atant,2acos驗(yàn)證

6、星形線公式可以(acost,asint),0t 即x y a例：星形線(The 讓半徑為a的圓在半徑為a的圓內(nèi)滾動，設(shè)開始小圓在(a,0)點(diǎn)與大圓 弧長，t是大圓圓心到新接觸點(diǎn)的連線與x軸正向的角度，是小圓過的角度（以接觸點(diǎn)測量），得到s at,且s a ,故 4t,小圓相4于圓心的坐標(biāo)為a s3t a sin3t小圓圓心移動到3a cost3a s 因而相對原點(diǎn)接觸點(diǎn)移動 cos3t cost, sin3t s 考慮以下形式的擺線：x( y() Aa( sinB a(1cos質(zhì)量的粒子在擺線上的(x , y)點(diǎn)以點(diǎn)對應(yīng)于參數(shù)表示中的角度t，在重力作用下（假設(shè)無摩擦），證明對任何選定的初始角度

7、t 粒子總是經(jīng)過時(shí)間T a (其中g(shù)為重g度）就滑到擺線的底端( vy 提示： gy y), y x 11 1 T y a 1cos a 2cos g cos cos d g 2arcsin 1假設(shè)一個(gè)半徑為a的圓放在x軸上并與(0, 0)點(diǎn)接觸，現(xiàn)讓它沿x軸正方x ats 滾動，與x軸接觸點(diǎn)的軌跡y a1cost觸點(diǎn)連的r(t) x(t)i y(t)j r(t t)切向量：r(t) lim 切線方程：X(u) r(t) 2008-4-5正則曲線(regularcurve)、正則點(diǎn)、奇點(diǎn)、光滑曲如果r(t) 0, 稱t是曲線的一個(gè)正則點(diǎn)，如果r(t) 0, 2008-4-5正則曲線(regul

8、arcurve)、正則點(diǎn)、奇點(diǎn)、光滑曲如果r(t) 0, 稱t是曲線的一個(gè)正則點(diǎn)，如果r(t) 0, 稱rt是曲線的一個(gè)奇點(diǎn)。如果曲線全部由正則點(diǎn)組成，稱曲線為正則曲線，如果正則曲線切向量的三個(gè)分量都是連續(xù)函數(shù)，則稱曲線為光滑曲線。r(t) (acost,as ,bt),r(t) r(t) (t,t例1 求圓r r(acosasin)的切向量，0，22 證明螺線(a costas , bt)在每一點(diǎn)的切向量與z軸夾成定角y c2 c2 c c2 x dy c2 y2 c追逐線(A pursuit 假設(shè)敵機(jī)從(0, 0)點(diǎn)起飛，且以v的恒定速度沿y軸飛升從(a, 點(diǎn)發(fā)射，速度是常速v在熱探測器控

9、制下追擊敵機(jī)的擊線由如下微分方程給出y xy v1 yv提示：由y vt y 有y v t 兩邊對x微分并利用x2 y2 v2i 懸鏈線(The 假設(shè)懸懸掛，只考慮自身重量，此時(shí)曲線的形狀y1 cosha(xC)C :V(xx)V(x) 提示，V、H為張力的垂直分量和水平分量 H(xx)H長細(xì)線所受重力。由中值定理并令x 0得到V (x) s利用y(x) V(H(x)y(x)V(x) ds 1得H(y 1(y)a 1(y(x)y,y(x) H(x) 例：螺旋線(The r(t) (acost,as ,r(t) a2 b2 r(t) acost,as ,2008-4-6 r(s) 定義曲線切向量

10、：T(s) 例x acos2008-4-6 r(s) 定義曲線切向量：T(s) 例x acost,y as ,z 2 la2 sin2 ta2 cos2 tc2dt2 a2 00t yx y x a,aby2 a2 sin2 t b2 cos2 0 a b cos a2 /2 4a1 a2 cos tdt 1 cos 0a2 其中= 為橢圓離心a例xa(ts y a(1cosa2(1cost)2 a2 sin2 tdt 0光滑曲線的弧長(arc r(t) x(t)i y(t)j z(t)ka t b,設(shè)x(t), y(tz(t)在ab上有連續(xù)導(dǎo)limx()y()z()t x(t)y(t)z(t

11、)記tab,設(shè)s(t) r(t則s(t)是曲線C從a到t的弧長ds r(t)特別，以弧長為參r(s) =1 ds2 dx2 dy2 2008-4-7主法向量(principal normal vector)、次法向量(binormal)曲線的主法向量，N(s)= 次法向量:B(s)=T(s) r(s); T(s), 2008-4-7主法向量(principal normal vector)、次法向量(binormal)曲線的主法向量，N(s)= 次法向量:B(s)=T(s) r(s); T(s), N(s), B(s)，稱為曲線在該點(diǎn)的Frenet例求拋物線y x2在原點(diǎn)的曲率在平面曲線的0的

12、點(diǎn)P的曲率圓（或密切圓）是曲線所在平面上在點(diǎn)P切于曲在點(diǎn)P和曲線有相同的曲位于曲線凹的一側(cè)或內(nèi)主法向量(principal normal N(s)= T(s) 1 T(s)T(s) T(s) T(s),故T(s)為曲線的一個(gè)法向量，如(s) 0,則向量Ts)有完全確定的方向，將這個(gè)方向的向量記作N(s)，其為曲線的主法向量N(s)= dT/ds dT/dt ,這里T v ,v ds dT/dsvdT/例直線的曲率是半徑為a的圓周的曲率為a1 r(t)=(a,2 r(t)(acost,as ),v dr as ,acosv= as acostT v s ,cost,dT (cost,s (s)

13、a1vv2sin T(s) = r(s) lim T(s+s) T(s) lim lim 定義曲率：(s) (s)= T(s) dT dt dt 1，這里v , T vv1ds/2008-4-8(t)r(t)v(t) 2008-4-8(t)r(t)v(t) T r(t) r(t)T r(t) r(t)T r(t dT ds T r(t)2ds r(t)r(t) r(t)3 (t)TN r(t)3 x y x y z x y vvr(t)rC的漸伸線，同時(shí)稱C是C的漸縮線dv ddsa dt dt2 T dt T v2 dv d ds d2s dT ds dtT dt T dt 2 dt2 ds

14、 dt 2 dt2 dtdtv法平面(normalplane)、從切平面(rectifyingplane)、密切平面(osculating plane)以T為法向量的平面稱為曲線的法平面，以N為法向量的平面稱為曲線的從切平面，以B為法向量的平面稱為曲線的密切平面法平面：X r(s)T(s) 從切平面：X r(s)N(s) 密切平面：X r(s)B(s) 撓率撓曲線的切向量(s)和主法向量N(s唯一地確定了曲線的第二個(gè)法向量（次法向量）,(s為向量，故(s) (s直接計(jì)算得到(s)(s)N(s)(s)N(s)=(s)N(s，故B(s) T(s)，于記B(s)= (s)N(s),(s) = B(s

15、)B(s)=T(s) 例r(t) (cos,t),r(t) r(t) (cost,s ,t),v dr s ,cosv= s cost1 T v 1 s ,cos2(s) 1 1vv2008-4-9設(shè)區(qū)域D 3,光滑曲線 D,函數(shù)f : D 連續(xù)，設(shè)有向量參2008-4-9設(shè)區(qū)域D 3,光滑曲線 D,函數(shù)f : D 連續(xù)，設(shè)有向量參表示r r(tta,b,那么f pds= f Dr(t) r(t) 第一型曲線積分( egral)設(shè)D 3是一個(gè)區(qū)域，函數(shù)f : D ,可求長曲線 D,其兩個(gè)端點(diǎn)分別記作AB在上依次取一點(diǎn)列pii 0,1,n,使得p0 =A, p B稱p為的第i段線段，令s spq

16、p,即的第i段曲線的pp 如果極于點(diǎn) 在p 的選擇，那么把這個(gè)極限值記或f x, y, zds稱之為f 在曲線上的第一型曲線積f plim f i設(shè)r = r(s)和r = r (s)是R3中兩條以弧長s為參數(shù)的正則參數(shù)曲線，如果它們的曲率處處不為零 ，并且它們的曲率和撓率分別相等，則有R3中的一個(gè)剛體運(yùn)動 ,它把曲線r = r(s)變?yōu)榍€r = r(s)設(shè) (s), (s)是在區(qū)間a, b上任意給定的兩個(gè)可微函數(shù)，且 (s) 則在空間R3中存在正則曲線r = r(s)，a s b,以s為弧長參數(shù)，以給定的函數(shù)(s)， (s)為它的曲率和撓率，且這樣的曲線在空間R3中是完全r(s) T(s)

17、 0 T(s)N(s) (s) N(s)B(s) 例xyz求曲線在(0, 0,1)處的曲率和Frenet標(biāo)xy1 1 方法一：參數(shù)方程r(t) cost, s cost2 2 x2 s y2 s z2 s x2 sy2s x,微分法二： xsyszs(0) 5，T(0) (0,1,0),N(0) 2 5 , 5 5 ,0 5 5 2 5B(0) 5 例求螺旋線的曲率和撓率r(t)(acost,a,bt),r(t) , a2 a2 2008-4-質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)對于某一個(gè)軸的靜力矩等于m與乘積對于2008-4-質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)對于某一個(gè)軸的靜力矩等于m與乘積對于x軸的靜力：dMyds對于y軸的靜力矩

18、：dMxds重心坐：, S M 例計(jì)算曲線ylnx在有橫坐標(biāo)x1及x2兩點(diǎn)間這一段的質(zhì)量，假設(shè)曲線每1m x ds 1x21x13例計(jì)算第一型曲線積分 yds,C為拋物線y2 2x上介于(22)與(22) x y+zdxy 1dy 例將f(xyz)=x y z2在下列從(0,0,0)到(1,1,1)的所給路徑上積1 C：r(t) tit2j,0t1，C :r(t)ijtk,0t2 C1：r(t)tk,C2 :r(t)tjk,0t1，C3 :r(t)tijk,0t例x acos計(jì)算第一型曲線積分 ds,線 x 為圓柱螺 y as , t 02 z x b ab a 8b ab3a 例xacos計(jì)

19、算第一型曲線積分 x2 y2 +z2ds,C為圓柱螺線 y as t02的一段 x y+z akt ak2008-4-力F FxFy ds的方向（即曲線在點(diǎn)M的切線方2008-4-力F FxFy ds的方向（即曲線在點(diǎn)M的切線方向）與x軸的夾角為Fds=Fx,Fy cosds，sin =Fx cosdsFy sin Fxdx 設(shè)區(qū)域D 3,光滑曲線 D,F:D3連續(xù)，設(shè)是一條有向的光滑曲線，它具有參數(shù)向量方程r r(t), t a, b,并且參數(shù)t的增對應(yīng)著的定向，那Fpdp= f Dr(t)設(shè)D3是一個(gè)區(qū)域， FD 3,可求長曲線 D,其兩個(gè)端點(diǎn)分別記作AB,在上依從A到B的方向順次取一點(diǎn)列

20、pii0,1,2,n,使得p =Ap B稱p為的第i段線段，令p p p ,即的第i曲線的弧長，在pp 任取一點(diǎn) ,如果極是一個(gè)限數(shù)，并且不依賴于點(diǎn) 在pp 的選擇，那么就把這極限值記稱之為f 在曲線上的第二曲線積如果p x, yzF=(P,QR),Fpdp=PdxQdy Fplim Fi 例計(jì)算 xyds其中為球面x2 y2 z2 a2與平面x y z 0 x a 6 cos 2 sin y a 6cos z a 6 cos 2 sinds ad, xyds 1r r() aecos esin, 0,2e(1,2,1),e 1,0,1,e例x設(shè)橢圓柱面 1被平面z y與z 0所截，求位于第一

21、 內(nèi)所截下部分的側(cè)面 yds,其中C參數(shù)方程x 5costy 3s , 0 t 例設(shè)有一半圓形金屬絲，質(zhì)量均勻分布，求它的質(zhì)心和對直徑的轉(zhuǎn)動關(guān)于x軸的靜力矩:Mx 質(zhì)心縱坐標(biāo)y M金屬絲對直徑（即x軸）的轉(zhuǎn)動Ix= y2008-4-例設(shè)Fx, yz) 2xyi x2j k，比較曲線積分2008-4-例設(shè)Fx, yz) 2xyi x2j k，比較曲線積分 Fdr, (t)=(t,t ,t ),0 t 3 Fdr, (t)=t,sin 5 t,t,0 t 假設(shè)點(diǎn)A, B固定，曲線積分 Fdr是否依賴于聯(lián)結(jié)A和B的路徑例計(jì)算1xdx ydy2zdx xdy 其中為球面x yza與平面x yz0交成的

22、圓周,從x acos sin y acos z acos sin e 1 (1,2,1),e 1 1,0,1 ,e 例例計(jì)算 yzdx xzdy2zdz,其中C是螺旋線x acost, y as , z 上對應(yīng)于從t0到t的有向計(jì)算 6xydx10 xdy其中C是曲線y x從點(diǎn)(2,8)到(1,1)的一例質(zhì)量的理想氣體吸收的熱量（內(nèi)能的變化記），de cVdT ApdV ,其中cV為固定體積下氣體的熱容量，A為熱功當(dāng)量, 利用理想氣體狀態(tài)方得到pdV Vdp RdT，從而dT 1 pdV Vdp，Rcc ARccpde VVdp pdV VVdp pdV,其中c為固定壓力下氣體的熱容，質(zhì)量的內(nèi)

23、能變化為如果過程是絕cVdp cpdV 的，則故pVk ck ce cVdp cpV2008-4-例設(shè)流體的速度場u xi zj yk,求沿螺線r(t2008-4-例設(shè)流體的速度場u xi zj yk,求沿螺線r(t costi s jtk0 t 2的流 解：流量=uTds=udt 2 求場ux y)i xj繞圓r(tcostis j0 t 2的環(huán)流解：環(huán)流量= FTds= F dt dt 如果r(t)為速度場速度場F的定義域內(nèi)的一條光滑曲線C，則曲線從t 到t b的流量是如果曲線是閉曲線，此流量又稱為沿曲線的環(huán)流量=FTds F例設(shè)r(t) (cos(t),),0 t 2,曲線方向如圖，計(jì)v

24、r yzdxxzdy解：位勢函數(shù):x, yz) 閉曲線（close 如果曲線r(t)在區(qū)間atb是一條閉曲線，即r(a)r(b),那么它的線，則 F dr=0(1 , 2 2xsin(x2y)dx x2sin(x2解：位勢函數(shù)x, y) cosx2 如果F是梯度向量場，則曲線積分 F dr與聯(lián)結(jié)點(diǎn)A和B的光滑路r無證明：Fdr=dr= dx dy dzr b dx dy dza x y z dt ba dx(t),y(t),z(t)dt r(b)2008-4-rotFk=lim vF向量場F Pxy2008-4-rotFk=lim vF向量場F Pxy)iQxy)j在點(diǎn)xy)處的散度底：Fxy

25、jx Qx, 頂：F(x,y+y)jx Q(x, 右：Fx+xyiy Px+x, 左：Fxyiy Px上下邊相加：Qx, y+y)x Qx, y)x y P 左右邊相加：P(x+x,y)yP(x,y)y x y x 穿過矩形邊界的通量 P 上兩式相加并除以xy 矩形面x divF P x G是2的一開區(qū)域，F(xiàn)(M)在G內(nèi)有定義，設(shè)M G，任取一光滑封閉線CG,C包圍的區(qū)域?yàn)镾(面積也記為S），S包含M0且SG，當(dāng)區(qū)域S縮n為C的外法向量存在，它與C的F取無關(guān)，稱此極限為向量場F在M點(diǎn)的散度，記divF(M lim lim F例Fx yi xj,求穿過xy平面內(nèi)圓x2y2 1的流 Fnds Pd

26、yQdx 如果C為向量場F (P(x, y),Q(x, y)的定義域內(nèi)的一條光滑曲線，n為曲線 假定曲線以逆時(shí)針方向運(yùn)行，此nTk dxi dy jk dyi dx j,如果F Pxy)iQxy)j那ds Fn=P(x,y)dy Q(x,y)故F ds PdyQ F例設(shè)Fxyzx2 y2i xyj，計(jì)算 F Fdr= x2 y2dx2008-4-vxi0jf(xx, y) f(x,y2008-4-vxi0jf(xx, y) f(x,y)k xi f w0iyjf(xx,y y) f (xx, y)yi f vw x 0 0 y f 2 f vw 1 x y 例用Green公式計(jì)算橢圓 x2 y

27、2 1的面a2 r (acost,bs Sv xdy abcos2 tdtvPdx P(x,g1(x)dxP(x,g2 P(x,g2(x) P(x,g1(x) P dy y Pv Qdy Q設(shè)2是由有限條分段光滑的曲線所圍成的閉區(qū)域，場F Pi如果函數(shù)Pxy)和Qxy)在上連續(xù)并有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，那么就有通量散度形其中為區(qū)域的邊界其定向這樣確：沿著正向行時(shí)，區(qū)域左手側(cè)。： Fnds PdyQdx P Q x y ： FTds PdxQdy Q P x y F Px, y)i Qxy)j在點(diǎn)x, y)處的旋度的k 分量底：F(x, y)ix P(x, (x x,y 頂：F(x, y y)ix P(

28、x, 右：Fx+x, y jy Qx+x, 左：Fxyjy Qx, P 上下邊相加：-P(x, y y)x P(x, y)x y 左右邊相加：Qx+x, y)y Qx, y)y Q x 繞矩形的環(huán)量 Q P 上兩式相加并除以矩形面x rotFk=Q x 2008-4-曲面S：r r(uv)是正則參數(shù)曲面，對于任意點(diǎn)(u0v0 D,因rr2008-4-曲面S：r r(uv)是正則參數(shù)曲面，對于任意點(diǎn)(u0v0 D,因rr(y,z),(z,x),(x, y) (u,v) (u,v) (u,v) 不妨設(shè)(x, 0，故由反函數(shù)定理知存在點(diǎn)(u ,v )在D內(nèi) u,0 鄰域U，使得函數(shù)x x(u,v)，

29、y y(u,v)在U上有反函數(shù)u u(x, y), v v(x, y),此,則曲面S的參數(shù)方成,于是區(qū)域U與S 之間的點(diǎn)的一一對應(yīng)是uxyvx, y) x, yzxy)給出的r x,y,z(x, ，z z(u,v) z(u(x,y),v(x,曲面S在點(diǎn)p(uv)的兩個(gè)切向量r (u ,v ) ,r (u ,v ) ，則曲面S在點(diǎn)p(u, v)是正則規(guī)定向量rr所指的一側(cè)為曲面的正側(cè)，因此參數(shù)u, v的次決定了正則參數(shù)曲面的定rS:D3，若在2和3中分別建立了直角坐標(biāo)系，用(u,v)記2中點(diǎn)的坐標(biāo)，用x, y, z)記3中點(diǎn)的坐標(biāo)，則參數(shù)曲面S的方程可以表示 y y(u,v),u,vz或者寫成參

30、數(shù)形式r r(u, x(u,v), y(u,v),z(u,例計(jì)算半徑為R的球的表面面解：z fxy R2 x2 面積S 1 x 2R x 2Rx y R R x 2R drd 4R例求平面x2y6z 12在橢圓柱面x y的那一塊的面25 解：z fxy 112x26f f 面積S 1 y 41 5 41dxdy f 2 f 面積S 1 xy2008-4-r(ucosv,usinv,av)2008-4-r(ucosv,usinv,av) r (utanhu,sechvcosv,sechusinr (Rrcosu)cosv,(R rcosu)sinv,rsinr coshucosv,coshusi

31、nv,旋轉(zhuǎn)面(surface of 假定C是坐標(biāo)平面Oxz上的一條曲線 它的參y 0 , a v 并設(shè)f (v) 0 則它繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得r r(u,v) f (v)cosu, f (v)sinu,上把u-曲線稱為緯線，v -曲線稱為x2 y2 x y z r (acosu,asinu,r (acoscos,acossin,asin正則曲面（regular 設(shè)S是的一個(gè)子集，如果對于任意一點(diǎn)pS,必須存在點(diǎn)p在中的一個(gè)鄰域V ，以及中的一個(gè)區(qū)域U，使得在U和V S之間能夠建立一一的雙向都連續(xù)的對應(yīng)，并且該對應(yīng)r:U V S 本身是一個(gè)正則參數(shù)曲面，則稱S是中的一張正則曲面注：直觀上正則曲面是

32、把一片片正則參數(shù)曲面粘起來的例球面方程：x2 y2 z2 上半球面的參數(shù)方程：z a2 x2 y2x2 y2 下半球面的參數(shù)方程：z a2 x2 y2x2 y2 2008-4-II=d2rn drdn其中LruunM2008-4-II=d2rn drdn其中LruunM ruvnN rvvr(u0 u,v0 v)r(u0,v0r u r v 1r ( u)2 2r u v r ( v)22 o(u)2 (v)2 (u,v) r(u0 u,v0 v)r(u0,v0)=1L(u)22MuvN(v)2 o(u)2 (v)2 L(du)2 2Mdudv N dudu dv弧長：L a r(t) dt

33、a E dt 2F dt dt G dt 面積：S D ru(uvrv(uv) r(u,v) r(u,v)sinr,r面 其中F(uvr (uvr (uG(u,v) (u,v) (u,S EGFdr(u,v) ru(u,v)du rv(u,E(u,v)ru(u,v)ru(u,v)F(u,v) ru(u,v)rv(u,v) rv(u,v)ru(u,G(u,v)rv(u,v)rv(u,v)表示切向量dr的長度的平dr = Edu2FdudvGcosr ,r rr u r I dr(u,v)dr(u,v) du,dvE FduF Gdv 曲面S上經(jīng)過p點(diǎn)的任意一條連續(xù)可微曲線在該點(diǎn)的切向量稱為曲面S

34、在點(diǎn)p的切向量。切平面參數(shù)方程：X r u,v ru,v du ru,v dv法線：n(uv) r(uvr(u法線參數(shù)方程：X(t) r(uv) tn(uX(,) r(u,v)r(u,v) r(u,dr(u,v) r(u,v)du r(u,例 =light2,orien ion=-74,71)直紋面(ruled 曲線r=a(u)稱為直紋面的準(zhǔn)線，而v 曲線稱為直紋面的直母x y zx y4 9 4 r r(u,v)a(u)2008-4-Christoffel記號： g , 1 g g g 2 u 2008-4-Christoffel記號： g , 1 g g g 2 u 的幾何意義是向量r 用

35、自然標(biāo)架分解時(shí)在切向量r 上的分量，的幾何意義是向量r 在切向量r 上的正交投影 u r r b n b r(u1,u2 ,r r(u ,u ),r u, 1,dr dr(u1,u2) r(u1,u2)du r(u1,u2)du,g rrbrnrnrngdetg ,bdetb ,g :g,gg r r C n Dr D C ,D b g b,D g , 1g gg2 u u IIbI gr;r,r, 平均曲率為零的曲面稱為極曲面M x x(uvy y(uvz f (uv)是極小曲面1 f2f (1 f2)f u u v 曲面上曲線的法曲率(normalcurvature)、曲面的主曲率 (pr

36、incipal curvatures)、平均曲率(mean curvature)、Gauss曲曲面S的參數(shù)方程為r r(uv)，其上的曲線C用參數(shù)方程u u(sv 表示，s為曲線弧長參數(shù)切向量為T，定義曲面上曲線的法曲率正則參數(shù)曲面在任意一個(gè)固定點(diǎn)，其法曲率取最大值和最小值的方向稱為曲面在該點(diǎn)的主方向，相應(yīng)的法曲率1,2稱為曲面在該點(diǎn)的主曲率。H 1 2 1 LG 2MF NE 稱為曲面的平均曲率EG FLN MK12 稱為曲面的Gauss曲率，或EGFdu du dv dvn ds n L ds 2M ds ds N ds I平面ruv0n 0Idrdr du2 dv2 ,IId2rn圓柱面

37、r (acosuasin u r (sin u ,cos u ,0),r (0,0,1),r r (cosu ,sin u ,0) r ( 1cosu, 1sin u,0),r r a I dudv,II 1 a2008-4-例計(jì)算半徑為a的球的表面面x y z r2008-4-例計(jì)算半徑為a的球的表面面x y z r (acoscos,acossin,asin , 2 S EGFdd 4a假定曲線CSnDS連通區(qū)域，則g是曲線CKS的us曲率，曲線C在角點(diǎn)s s的外角。3 nDgdsDKd 2 i曲面S上一條曲線是測地線當(dāng)且僅當(dāng)它或者是一條直線或者它的主法向量處處是曲面的法向量.C是曲面S上

38、的一條曲線，則的弧長在它的任意一個(gè)有固定端點(diǎn)的變分C中達(dá)到臨界值的充分必要條件是曲線C是曲面S上的測地線。 0 d u (s) du (s) du (s) 0， (geodesiccurature)，測地?fù)下?、測地線 e(s) (s) (s)e (s) e(s) (s) e e(s) n(s) g0 e3(s) n e1e3 n,曲面沿曲線切方向的法曲率測地曲率： re2 n,r,測地?fù)下剩篻 e2nn的曲線稱為曲面S是定義在D E2上的兩個(gè)二次微分形b b b 如果滿足Gauss-b b b b , 則在任方程 b b b b 一點(diǎn)u1u2 D必有它的一個(gè)鄰域U D,以及在空間E3中定義在該

39、 鄰域U上的一個(gè)正則參數(shù)曲面S : r r(u1,u2u1,u2)U,使得它的第一基本形式和第二基本形式分別是和，并且在E3中任意兩塊滿足上述條件的曲面必定能夠在E3的一個(gè)剛體運(yùn)動下彼此重合。 gdudu, b設(shè)1,2D若在每一點(diǎn)u1,u2D曲面S ,S都有相同的第一基本形式1 和第二基本形式，則曲面S1,S2是彼此重合的。2008-4-例計(jì)算積分 x y zdS為上半球面x2 y2 z2 2008-4-例計(jì)算積分 x y zdS為上半球面x2 y2 z2 a2z f 2 f x yd 1dxdy 1dxdy x y z z x y zd xd yd zd dxdy a設(shè)S 3是一張可求面積的

40、曲面，函數(shù)f : S ,分劃把S分成若干更小的曲面片, ,定義分劃的寬度為 maxdiam,i 在每小片上取一點(diǎn)pk，如果lim f pk 是一個(gè)有限數(shù)，并如果曲面是正則區(qū)面，參數(shù) fpd= f Drru(u,v)rv(u,v) 選擇，那 f p 1 面積S 1x2y2dxdy r 1r2dr1R2 6 2 S 2ab1c23 用極坐標(biāo)表示的柱面的準(zhǔn)線方程為r2 a2sin2S 2a210 3 3 2 4 S 4R(R R2 2 例求下列各個(gè)被割下的曲面部分的面雙曲拋物面z xy被柱面x y Rxy0)所橢圓拋物面z xy被柱面xyc所2a a雙曲拋物面xy az被柱面x y2axy所4 球面

41、x y z R被柱面x y ( R)所例求曲線y f x)( f x) 0a x b)繞xz2 y2 f 2f f S 21x 2f(x) 1f(x)例球面x2 y2z2a2被柱面x2 y2 ax所截，求截下的曲面面 將球面坐標(biāo)系y rsinsin 柱面方程得到sin cos sin 2 2 2D,0, /S 4 a2sindd 4a22a2 2008-4-對于正則參數(shù)區(qū)面：r r(uv)，u,v D此時(shí)曲面的法向量n(uv2008-4-對于正則參數(shù)區(qū)面：r r(uv)，u,v D此時(shí)曲面的法向量n(uv ru(uvrv(uv，ru(u,v)rv(u, FPDr QDr RD FDrru(u,

42、v)rv(u,v)dudv zu 特別，當(dāng)曲面S表示為：z fxy)時(shí)，代入上式 PdydzQdzdxRdxdy f Pf QRdxdy,其正負(fù) 向量與z軸的正向夾成銳角，因此cos 0,此時(shí)取正號。d=nd ru (u,v) rv(u,v)如果F (P,QR),指定S一側(cè)的法向量為ncoscoscos ,為n的方向角，即分別為n與x, y, z軸的正向的夾角， Fnd= Pcos Qcos Rcos = Pdydz Qdzdx 分別表示面元d 在yz, zx, xy平面上的投影，這個(gè)投影的面積可正可負(fù)，全看d 上的法向量與x軸，yz軸正向的夾角是小于 還是大于 而dydz cosd,dzdx

43、 cosd,dxdy cosFnd F如果在正則曲面的每一點(diǎn)的鄰域內(nèi)都能選定一個(gè)正則參數(shù)表示，使得在鄰域 的部分其任意兩組參數(shù)的變換都保持定向不變，則稱這樣的正則曲面是可定向的對于正則參數(shù)曲面：r r(uv)，因?yàn)閞u rv 0定向的，定義 法向量 rrru正方向指向的一側(cè)叫做曲面的正側(cè)，相反的那一側(cè)叫做負(fù)側(cè)，凡是能明確地區(qū)分正 負(fù)兩側(cè)的曲面，叫做雙側(cè)曲面例設(shè)半徑為R的球面上均勻分布著某種質(zhì)量，計(jì)算其產(chǎn)生r Rsincos,Rsinsin,Rcos,0 ,0 rrRsin,引力在z軸上的分GR2(Rcos l)Fz d=2x2 y2 zl R2 l2 2lRcos G4G2 1 Rl1 ,l

44、l2 R 0,l例計(jì)算積分 x2dS為球面x2 y2 z2 a2z S x2d 1 x2 y2 z23 1 a2d 4 3 2008-4-例設(shè)有流速場x, y0),曲面S是z 1 x2 y2，求流速場流入S的流z2008-4-例設(shè)有流速場x, y0),曲面S是z 1 x2 y2，求流速場流入S的流z1x2 y2 f xy)為曲面的方程，因f 2x f 2, FndS 2x2 y2dxdy x2 y2例設(shè)有流速場xy0),曲面S是半球面x2 y2 z2 1z0，求z 1x2 y2 f (x, y)為半球面的方程，因f 1 2 21 f1 2 ,x 1x2 y2 1x2 S FndS=xy12 2

45、 dxdy 1 x 1x y 例設(shè)有流速場yzzxxy),曲面S是圓柱體x ya,0 z h的表面，求記圓柱面的那部分為S1,下底和上底分別為S2 , Fnd (yz,zx,xy) x , y ,0d a a Fnd (0,0,xy)0,0,1d Fnd (hy,hx,xy)0,0,1d 求F yzizk穿出曲面S的通量，S為柱面yz1，z0被平面截下n yj+zk,Fnd 例曲面S是中心在原半徑為a的球面，正向?yàn)橥夥ň€方向，計(jì)算積分 xdydzS xdydz ydzdx (x,y,z) x, y , z a a a例 xdydz ydzdxzdxdyS是三角形xyz 0 x yz 1,法向與

46、(1,1,1)同方 zdxdy (1x (1xy)dydx xdydz 2008-4-給定一向量場F，給定雙側(cè)曲面S,指定一側(cè)n,向量場沿曲面S第二型曲面積分SFdS S FndS2008-4-給定一向量場F，給定雙側(cè)曲面S,指定一側(cè)n,向量場沿曲面S第二型曲面積分SFdS S FndS=S Pcos Qcos Rcos稱為向量場通過曲面S的通場如果空間中或空間中部分區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都有一物理量與之對應(yīng)，稱這種物理量的分布為場，如果物理量是向量，則稱此場為向量場，如果物理量是數(shù)量，則稱此場為數(shù)量場。不論是數(shù)量場還是向量場都有兩類一類是不隨時(shí)間而變化的，稱為穩(wěn)定場，另一類是隨時(shí)間而變化的，稱為不穩(wěn)定

47、場場的圖形表示 數(shù)量場的等值線或等值面，向量場的例雙側(cè)曲面S兩側(cè)均勻分布正 負(fù)電荷，求帶電面在A(, )點(diǎn)所產(chǎn)生的雙層位勢W (, ) r n S其中S具有指定側(cè)，rr=(x)iyjz 當(dāng)A為原點(diǎn)時(shí)W(0,0,0) rn dS 1 dS 當(dāng)A為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)lim W(,) rn cos(rn)dS 例xyabc曲面S是橢球+ =1的外側(cè)，計(jì)x dydz y dzdxz x acos 橢球參數(shù)表示y bcossin D ,0 2 2z cr (acossin,bsinsin,ccosr (asin cos,bcos cos,n r r ABC),其中C absincos,由于S是外側(cè)， z3dxd

48、y= z3cosdS c3sin3absin cosdxdy 4同理 x3dydz y3dzdx z3dxdy4abca2 b2 c2例設(shè)有流速場(x2, 2xz, y),曲面S為邊長為1的正方體，求流速場流出S的流SSSSSSS，其中S：z0S：z1,S：yS2：y 1S5：x 0S6：x 1,因F=Fn1dSFn2dS Fn3dSFn4dSFF=ydxdyydxdy2xzdxdz0例設(shè)有流速場( x, y, 0),曲面S半徑為1的球面，求流速場流出S的流SS(S(，其中S(由函數(shù)z 1x2 y2給出，S(由函z 1x2y2給出，因FndS=FndS F 1x2 1x2 y2 + 1x2 y

49、2 1x2 y2 dxdy 2008-4-引入角速度矢量，與轉(zhuǎn)動軸重合，指向與旋轉(zhuǎn)方向作成右手系的方向， =，在軸上選定一點(diǎn),剛體上任一點(diǎn)A，A點(diǎn)速度v可以JJJG表示為v 2008-4-引入角速度矢量，與轉(zhuǎn)動軸重合，指向與旋轉(zhuǎn)方向作成右手系的方向， =，在軸上選定一點(diǎn),剛體上任一點(diǎn)A，A點(diǎn)速度v可以JJJG表示為v O引入速度場的環(huán)量vFdl與方向旋lim vFdl，研究它們與轉(zhuǎn)軸與角速度的關(guān)系例S為分片光滑的雙側(cè)閉曲面，求帶電面S在A(, )點(diǎn)所產(chǎn)生的雙層位W(, rn S其中r=x)iy jzk，n為外法向3 當(dāng)A在S所圍區(qū)域內(nèi)：W(, 1 x)dydzydzdxz 記F P,QR 1

50、x iyjzk,則 F , xyz , r，記與S所圍區(qū)域?yàn)閂 , divFdV W 1 (x)dydzydzdxzdxdy 其中 取外法向量，故W(x)dydzydzdxz= x)dydzydzdxz dxdy=4,當(dāng)A在V外時(shí)，W 例 xdydz ydzdx z 2(x y 8R3(abc) 設(shè)V是歐式空間的有界區(qū)域，V的邊界時(shí)有界（分片）光滑曲面V,如果F是V中的光滑向量場，則其通過區(qū)域邊界的通量，等于此場的散度在該區(qū)域的積分，即 divFdV F設(shè)F是G內(nèi)的C1向量場，如果F在M點(diǎn)散度存在divF(M) P(M) Q(M) R(M設(shè)G是3的一開區(qū)域，F(xiàn)(M )在G內(nèi)有定義，設(shè)M G，任

51、取一分光滑封閉曲面S G, S包圍的區(qū)域?yàn)閂 (體積也記為V），V 包含M0 ，n為S的外法向量SF作divF(M ) lim Flim F 2008-4-例位置向量場F xi yj zk對任何圓盤是否有自旋rotF 2008-4-例位置向量場F xi yj zk對任何圓盤是否有自旋rotF x y 例已知自旋向量場為Fyixj，計(jì)算一圓盤（面積為1）放xy 平面的原點(diǎn)時(shí)的旋spin= Fn k y 注1取好自一已知點(diǎn)出發(fā)的任一方向,在與一以閉路為邊界的平面塊S圍起來，則rotF= mvFl2、設(shè)F P,Q, R 是G內(nèi)C1向量場，M是G內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)在M點(diǎn)繞x軸y軸、z軸的方向旋量為hxhyhz

52、,則向量場F在M點(diǎn)的旋度為rotF()h ih jh k x y rotF()hxihyj若在場F(M中一點(diǎn)M處存在這樣一個(gè)向量，其方向?yàn)槭沟肍在點(diǎn)M方向旋量最大的方向，其模等于方向旋量的最大值，則稱此向量為場F在點(diǎn)M的旋度，記作rotF或curlF設(shè)向量場F是G內(nèi)C向量場，C是G內(nèi)一條分段光滑封閉曲線取定C為某一定向，稱線積分vF dl為向量場F沿C的環(huán)量設(shè)M 0為G內(nèi)任意點(diǎn)，n是任意指定的一個(gè)方向，過M 0作一個(gè)平面，法線方向?yàn)閚, 在上取一圍繞M 0點(diǎn)的段光滑封閉曲線C，C的正向取與n成右手系，如果FC的環(huán)量與C所包圍的平面區(qū)域的面積S之比vFS取無關(guān)，則稱此極限為向量場在M 0 例在旋

53、轉(zhuǎn)軸上任取一點(diǎn)O,過O作一平面垂直旋轉(zhuǎn)軸，在此平面上作小圓，引入v沿C的線積分vvdl rrd 2r2，此積分與C所包區(qū)域的面積之比h vvdl 過O點(diǎn)作一平面對于任一方向n，可引入方向旋量h vv有不等式0 h 轉(zhuǎn)動角速度矢量的方向是方向旋量hn取最大時(shí)n的方向，2 是最大2008-4-1、齊次線性微分方程組的解的線性組合還是它2、令齊次線性微分方程組在(a,b)區(qū)間上的所有解組成的集合為S,則S是n維線性空間其中2008-4-1、齊次線性微分方程組的解的線性組合還是它2、令齊次線性微分方程組在(a,b)區(qū)間上的所有解組成的集合為S,則S是n維線性空間其中aijx)和fix)在區(qū)間a xb上

54、連向量dy Ax)yfdy aij(x)yj fi(x)，i 1,例計(jì)算曲線積分y2 z2dxz2 x2dyx2 y2x2y2z2 l為曲線,z 0,0b a,眼睛從點(diǎn)(b,0,0)看去 是逆時(shí)針方向繞(y z)dx (z x)dy (x yx 1 a y zz xx z z 2z ydS 2zdS 2z 1x y dxdy 2 例設(shè)有向曲面S為x y z 1xyz0,其法線與(1,1,1)同向，求力F y2z2x2繞S的正向邊界S一周所做的S向量n 1 3 Fdl 1 dS 3 x y 注cos(n,x) cos(n,y) cos(n, PdxQdy Rdz 設(shè)S是3在S及S其中SSS Fd

55、l S rotF2008-4-例d y 1 1 y 1 2008-4-例d y 1 1 y 1 的一個(gè)基解矩陣，并求其通解，其中x dx y 0 x yy y ex (x1) 解，(x) ,det(x) y2 x yex x通解： c c 0 x 非齊次線性微分方程組的通解表達(dá)式設(shè)(x)dy A(x)y的一個(gè)基解矩陣，1、非齊次線性方dy A(x)y f(x)的通其中c為任意常數(shù)列向2Ay+f(x)y (x)1(x )y (x) 1(s)f0 y(x)(x)cx 1(s)f如果x)dy Ax)y的一個(gè)基解矩陣，構(gòu)造特解 得x)c(x) fx),c(x) 1x)fx),從而cx) 1(s)f(s

56、)ds,(x) (x) 1(s)f(x) (x)c(如果(x)是dy A(x)y的一個(gè)基解矩陣，(x)是dy A(x)y+f(x) 的一個(gè)特dy A(x)y + f(x)的任意解可以表示，其中c是一個(gè)常數(shù)列向y(x) (x)c( y11(x) y1n(x)對于解組y (x) # ,y (x) ， y (x) y (x) Y(x) y (為方程組dy A(x)y+f(x)dY(x) dyij (x) 計(jì)算知 dx dx kaij(x) yij( A(x)Y(如果上述解組為基本解組，則稱相應(yīng)的解矩陣基解矩稱齊次線性微分方程組的n個(gè)線性無關(guān)的解為一基本解2008-4-例0 A0 計(jì)算 a n 200

57、8-4-例0 A0 計(jì)算 a n 常系數(shù)非齊次線性微分方程組的通解1dyAyf(x)的通解2 Ay +f 的y exxAy e(xs)Af0 xyexAc e(xs)Afdy Ay的標(biāo)準(zhǔn)（即(0)E） xk(x) kkbbb# 如果對矩陣A,存在Q滿足Q1AQ b 則構(gòu)造變,dQz AQzzzzzb zn1 Ee Fe z ey(x) dz Q1AQz dy Ay,如果矩陣A的n個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量彼此線性無關(guān)構(gòu)造變, 其中T是由上述特征向量按的矩陣0 0 0 e ATz z(x) # # 0 e0 0 0 e0 y(x) Tz(x) y(x) T # # 0 edz T 1ATz y(x) dy Ay+f(齊次齊次： 其中A為n階常數(shù)矩陣，f ( x)是(a, b)上連續(xù)的向量函數(shù)2008-4-例1 2008-4-例1 i1 i,r2 e(1i)x ie(1i)x 解矩陣為：yie(1ix e1ix c，c為任意列向例 28 3 16 10解：系數(shù)矩陣的特征根為0 ，1 1，相應(yīng)的特征向量22 2 r 1,r 1,r 0,通解：y C 1 C 1ex C 0e 1 2 11 2 1 設(shè)n階矩陣A有n個(gè)互不相同的特征根1，n，則矩陣函dy Ay的一個(gè)解矩陣,其中r是A的與相應(yīng)的特i(x)exr,exr 例0 1 1 00 0 1 1A0 0