電磁場與電磁波課后1

1、電磁場與電磁波(楊儒貴第二版)課后答案-1電磁場與電磁波(楊儒貴第二版)課后答案-1電磁場與電磁波(楊儒貴第二版)課后答案-1第一章矢量解析重點(diǎn)和難點(diǎn)關(guān)于矢量的定義、運(yùn)算規(guī)則等內(nèi)容可讓讀者自學(xué)。應(yīng)重視講解梯度、散度、旋度的物理看法和數(shù)學(xué)表示，以及格林定理和亥姆霍茲定理。至于正交曲面坐標(biāo)系一節(jié)可以略去。考慮到高年級同學(xué)已學(xué)過物理學(xué)，講解梯度、散度和旋度時(shí)，應(yīng)結(jié)合電學(xué)中的電位、積分形式的高斯定律以及積分形式的安培環(huán)路定律等內(nèi)容，闡述梯度、散度和旋度的物理看法。詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演可以從簡，僅給出直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式即可。講解無散場和無旋場時(shí)，也應(yīng)以電學(xué)中介紹的靜電場和恒定磁場的基本特色為例。至于格林定理

2、，證明可免，僅給出公式即可，但應(yīng)介紹格林定理的用途。前已指出，該教材的特色之一是以亥姆霍茲定理為依照逐一介紹電磁場，因此該定理應(yīng)重視介紹。但是由于證明過程較繁，還要涉及函數(shù)，若是學(xué)時(shí)有限可以略去。由于亥姆霍茲定理嚴(yán)格地定量描述了自由空間中矢量場與其散度和旋度之間的關(guān)系，因此應(yīng)該重視說明散度和旋度是產(chǎn)生矢量場的源，而且也是獨(dú)一的兩個(gè)源。因此，散度和旋度是研究矢量場的首要問題。其他，還應(yīng)重申自由空間可以存在無散場或無旋場，但是不可以能存在既無散又無旋的矢量場。這種既無散又無旋的矢量場只能存在于局部的無源區(qū)中。重要公式直角坐標(biāo)系中的矢量表示：AAxexAyeyAzez矢量的標(biāo)積：代數(shù)定義：ABAxB

3、xAyByAzBz幾何定義：AB|A|B|cosexeyez矢量的矢積：代數(shù)定義：ABAxAyAzBxByBz幾何定義：ABez|A|B|sin標(biāo)量場的梯度：exeyyezxz矢量場的散度：AxAyAzAyzx高斯定理：AdVAdSVSexeyez矢量場的旋度：Ayz；xAxAyAz斯托克斯定理：(A)dSAdlSl無散場：(A)0；無旋場：()0格林定理：第一和第二標(biāo)量格林定理：(2)dV()dSVS(22)dVSdSV第一和第二矢量格林定理：(P)(Q)PQdVSPQdSVQ(P)P(QdVPQQPdSVS亥姆霍茲定理：F(r)(r)A(r)，式中(r)1F(r)A(r)1F(r)VdVV

4、dV4rr4rr三種坐標(biāo)系中矢量表示式之間的變換關(guān)系：Arcossin0AxAsincos0AyAz001AzArsincossinsincosAxAcoscoscossinsinAyAsincos0AzArsin0cosArAcos0sinAA010Az題解第一章題解1-1已知三個(gè)矢量分別為Aex2ey3ez；B3exey2ez；C2exez。試求|A|,|B|,|C|；單位矢量ea,eb,ec；AB；AB；(AB)C及(AC)B；(AC)B及(AB)C。解AAx2Ay2Az212223214BBx2By2Bz232122214CCx2Cy2Cz22202125eaAA1ex2ey3ezA1

5、414ebBB13exey2ezB1414ecCC1ezC52ex5ABAxBxAyByAzBz3261exeyezexeyezABAxAyAz1237ex11ey5ezBxByBz312exeyezABC711511ex3ey22ez201exexexexeyez因ACAxAyAz1232ex5ey4ezCxCyCz201exeyez則ACB2546ex8ey13ez312ACB235113215ABC7205119。1-2已知z0平面內(nèi)的地址矢量A與X軸的夾角為，地址矢量B與X軸的夾角為，試證cos()coscossinsin證明由于兩矢量位于z0平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分別表示

6、為AexAcoseyAsinBexBcoseyBsin已知ABABcos，求得cosABcoscosABsinsinAB即cos()coscossinsin1-3已知空間三角形的極點(diǎn)坐標(biāo)為P1(0,1,2)，P2(4,1,3)及P3(6,2,5)。試問：該三角形是否是直角三角形；該三角形的面積是多少解由題意知，三角形三個(gè)極點(diǎn)的地址矢量分別為P1ey2ez；P24exey3ez；P36ex2ey5ez那么，由極點(diǎn)P1指向P2的邊矢量為P2P14exez同理，由極點(diǎn)P2指向3的邊矢量由極點(diǎn)3指向1的邊矢量分別為PPPP3P22exey8ezP1P36exey7ez因兩個(gè)邊矢量(P2P1)(P3P2

7、)0，意味該兩個(gè)邊矢量相互垂直，因此該三角形是直角三角形。因P2P1421217P3P222128269，因此三角形的面積為1P1P3P20.51173SP221-4已知矢量Aexyeyx，兩點(diǎn)P1及P2的坐標(biāo)地址分別為P1(2,1,1)及P2(8,2,1)。若取P1及P2之間的拋物線x2y2或直線P1P2為積分路徑，試求線積分p1Adl。p2解積分路線為拋物線。已知拋物線方程為x2y2,dx4ydy，則P1AdlP1ydxxdyP14y2dy2y2dyP16y2dy2y3114積分路線為直線。P2P2P2P22因P1,P2兩點(diǎn)位于z211平面內(nèi)，過P1,P2兩點(diǎn)的直線方程為y1x2，即6yx

8、4，82dx6dy，則PP14yAdl6ydy6y4dy12y214。P2P221-5設(shè)標(biāo)量xy2yz3，矢量A2ex2eyez，試求標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)(2,1,1)處沿矢量A的方向上的方導(dǎo)游數(shù)。解已知梯度exxeyyezzexy2ey(2xyz2)ez3yz2那么，在點(diǎn)(2,1,1)處的梯度為ex3ey3ez因此，標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)(2,1,1)處沿矢量A的方向上的方導(dǎo)游數(shù)為Aex3ey3ez2ex2eyez26311-6試證式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。證明式（1-5-11）為，該式左邊為exxeyyezzexxxeyyyezzzexeyezexeyezxyzxyz即，。

9、依照上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法規(guī)同樣可證式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7已知標(biāo)量函數(shù)sinxsinyez，試求該標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)P(1,2,3)處的最大變化率23及其方向。解標(biāo)量函數(shù)在某點(diǎn)的最大變化率即是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度值。已知標(biāo)量函數(shù)的梯度為exxeyyezz那么ex2cosxsinyezeysinxcosyezezsinxsinyez2332323將點(diǎn)P(1,2,3)的坐標(biāo)代入，得333點(diǎn)的最大變化率為Pey6eez2e。那么，在PPeye3ez3e3e3227626P點(diǎn)最大變化率方向的方向余弦為cos0；cos；272cos272271-8若標(biāo)量函數(shù)為x22y23z2xy3x2y6z試

10、求在P(1,2,1)點(diǎn)處的梯度。解已知梯度exxeyez，將標(biāo)量函數(shù)代入得yzex2xy3ey4yx2ez6z6再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得標(biāo)量函數(shù)在P點(diǎn)處的梯度為P3ex9ey1-9試證式（1-6-11）及式（1-6-12）。證明式（1-6-11）為CACA，該式左邊為CACAxCAyCAzCAxAyAzCA即CACAyxyzxz式（1-6-12）為AAA，該式左邊為AxAxyAyzAzAxAxAyAyAzxxyAzzzyAA；即AAA1-10試求距離|r1r2|在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)及圓球坐標(biāo)中的表示式。解在直角坐標(biāo)系中r1r2x2x12y22z22y1z1在圓柱坐標(biāo)系中，已知xrcos，yrs

11、in，zz，因此r1r2r2cos2r1cos12r2sin2r1sin12z2z12r22r122r2r1cos21z2z12在球坐標(biāo)系中，已知xrsincos,yrsinsin,zrcos,因此r1r2r2sin2cosr1sin1cos2r2sin2sinr1sin1sin2r221212cos2r1cos1r22r122r2r1sin2sin1cos21cos2cos11-11已知兩個(gè)地址矢量r1及r2的終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(r1,1,1)及(r2,2,2)，試證r1與r2之間的夾角為cossin1sin2cos(12)cos1cos2證明依照題意，兩個(gè)地址矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為r1ex

12、r1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1r2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2已知兩個(gè)矢量的標(biāo)積為r1r2r1r2cos，這里為兩個(gè)矢量的夾角。因此夾角為cosr1r2r1r2式中r1r2r1r2(sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2cos1cos2)r1r2r1r2因此，cossin1sin2(cos1cos2sin1sin2)cos1cos2sin1sin2cos(12)cos1cos21-12試求分別滿足方程式f1(r)r0及f2(r)r0的函數(shù)f1(r)及f2(r)。解在球坐標(biāo)系中，為了滿足f1rrf1rrf

13、1rrrf1r3f1r0rdf1r0df1r3dr，求得即要求r3f1rf1rrdrlnf1r3lnrlnC即f1rCr3在球坐標(biāo)系中，為了滿足f2rrf2rrf2rr0由于f2rr0，r0，即上式恒為零。故f2r可以是r的任意函數(shù)。1-13試證式（1-7-11）及式（1-7-12）。證明式（1-7-11）為CACA（C為常數(shù)）令A(yù)AxexAyeyAzez，CACAxexCAyeyCAzez，則exeyezexeyezCAxyzCyzCAxCAxCAyCAzAxAyAz式（1-7-12）為AAA令A(yù)AxexAyeyAzez，AAxexAyeyAzez，則exeyezAyzyAzzAyexxAx

14、AyAzxAzzAxeyxAyyAxezAzAyexxAzAxeyxAyAxezyzzyAzAyexAzAxeyAyAxezyzxzxyAA若將式（1-7-12）的右邊張開，也可證明。1-14試證r0，r0及r0。rr3證明已知在球坐標(biāo)系中，矢量A的旋度為ereer2sinrsinrArArrArsinA關(guān)于矢量r，因Arr，A0，A0，代入上式，且因r與角度，沒關(guān)，那么，由上式獲知r0。關(guān)于矢量r，因Ar1，A0，A0，顯然r0。rr關(guān)于矢量r3，因Ar12，A0，A0，同理獲知rrr0。r31-15若C為常數(shù)，A及k為常矢量，試證：eckrCkeckr；(Aeckr)CkAeckr；(Ae

15、ckr)CkAeckr。證明證明eCkrCkeCkr。利用公式FF，則eCkreCkrCkrCeCkrkr而krkxxkyykzzexkxeykyezkzk求得eCkrCkeCkr。證明AeCkrCkAeCkr。利用公式AAA，則AeCkrAeCkreCkrAAeCkr再利用的結(jié)果，則AeCkrCkAeCkr證明AeCkrCkAeCkr。利用公式AAA，則AeCkreCkrAeCkrAeCkrA再利用的結(jié)果，則AeCkrCkAeCkr。1-16試證2ekrk2ekr，式中k為常數(shù)。rr證明已知在球坐標(biāo)系中21r2112rsinr2rr2sinr2sin22則2ekr1r2ekr1r21ekrk

16、krrr2rrr2rr2err12r即1-17證明ekrkrekr1kekr1krkekrk2ekrrr2r2ekrk2ekrrr試證(E)E(E)E1|E|22利用公式ABABBAABBA令上式中的ABE，則E22EE2EE2EE2EE將上式整理后，即得EEE1E2E。21-18已知矢量場F的散度Fq(r)，旋度F0，試求該矢量場。解依照亥姆霍茲定理，F(xiàn)rrAr，其中1Fr1FrrVdV；ArVdV4rr4rr當(dāng)F0時(shí)，則Ar0，即Frr。那么因Fqr，求得r1qrdVq4Vrr4r則Frrqerr241-19已知某點(diǎn)在圓柱坐標(biāo)系中的地址為4,2,3，試求該點(diǎn)在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓3球坐標(biāo)系

17、中的地址。解已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的變換關(guān)系為xrcos，yrsin，zz因此，該點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的地址為22x4cos2;y4sin23;z=333同樣，依照球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的變換關(guān)系，rx2y2z2；arctanx2y2；arctanyzx可得該點(diǎn)在球坐標(biāo)下的地址為r5；arctan453；12031-20已知直角坐標(biāo)系中的矢量Aaexbeycez，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎試求該矢量在圓柱坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解由于A的大小及方向均與空間坐標(biāo)沒關(guān)，故是常矢量。已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的變換關(guān)系為rx2y2；arctany；zz

18、x求得ra2b2；arctanb；zcasinb；cosaa2b2b2a2又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系為Arcossin0AxAsincos0AyAz001Az將上述結(jié)果代入，求得ab0Ara2b2a2b2aa2b2Aba0b0a2b2a2Azb2cc001即該矢量在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為Aera2b2ezc直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的變換關(guān)系為rx2y2z2；arctanx2y2；arctanyzx由此求得ra2b2c2；arctana2b2；arctanbca矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系為Arsincossinsincos

19、AxAcoscoscossinsinAyAsincos0Az求得Arsincossinsincosaa2b2c2Acoscoscossinsinb0Asincos0c0即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為Aera2b2c2。1-21已知圓柱坐標(biāo)系中的矢量Aaerbecez，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎試求A及A以及A在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。解由于固然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量er和e均為變矢，因此A不是常矢量。已知圓柱坐標(biāo)系中，矢量A的散度為A11AAzrrrArzr將Aaerbecez代入，得1aArar00矢量A的旋度為rrerezereezrerrrbArzrzr

20、ezArrAAzarbc已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的變換關(guān)系為xrcos;yrsin;zzcosxy2x;sinx2yyx2ay2a又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系為Axcossin0ArAysincos0AAz001Az將上述接結(jié)果代入，得xyxb0yAxaaaabxAyyx0byAzaaca001c即該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為Axbyexybxeycez，其中x2y2a2。aa矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系A(chǔ)rsin0cosArAcos0sinAA010Az以及sina，cosc，求得rraca2c20ArrrarrAc

21、ab000rArcbb010即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為Arerbe。1-22已知圓球坐標(biāo)系中矢量Aaerbece，式中a,b,c均為常數(shù)，A是常矢量嗎試求A及A，以及A在直角坐標(biāo)系及圓柱坐標(biāo)系中的表示式。解由于固然a,b,c均為常數(shù)，但是單位矢量er，e，e均為變矢，因此A不是常矢量。在球坐標(biāo)系中，矢量A的散度為A1r2Ar1sinA1Ar2rrsinrsin將矢量A的各個(gè)重量代入，求得A2abcot。矢量A的旋度為rrereer2sinrsinrArArrArsinAereer2sinrsinrberrarbrsinc利用矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系A(chǔ)xsinc

22、oscoscossinArAysinsincossincosAAzcossin0Acosxsinx2y2x2y2x2y2x2y2z2a以及，求得該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為yzzsincosx2y2x2y2z2aAxbxzcyexybyzcxax2y2x2y2ax2y2x2eyy2zbx2y2eza利用矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)重量之間的變換關(guān)系A(chǔ)rsincos0Arrz0arbzaaaA001A001bcAzcossin0Azr0czbaara求得其在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為Arbzercezbrez。aa1-23若標(biāo)量函數(shù)1(x,y,z)2z，2(x,z)rzsin，3(r,)si

23、n2，2及xyr2，試求122。322222xz2xz解111100 x2y2z2211222r222rr22z2rr1rzsin1rzsin0rrr221r211233sin33r2rrr2sinr2sin221rr22sin1sincos0r2r3r2sinr22sincos2sin21r4r4sinr4sin1-24若A(x,y,z)xy2z3exx3zeyx2y2ezA(r,z)err2cosezr3sinA(r,)errsine1sine12cosrr試求A，A及2A。解AAxAyAz2z300y2z3；xyzyexeyezexeyezAxyzxyzAxAyAzxy2z3x3zx2y22x2