簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第1頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式。1、 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2、法則1 法則2 , 法則3 第2頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課函數(shù) ， ， 構(gòu)成間的關(guān)系？可由 與 復(fù)合得到 例1 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系： （1）（2）（3）（4） 由 復(fù)合而成 解：（1）（2） 由 復(fù)合而成 （3） 由 復(fù)合而成 （4） 由 復(fù)合而成 第3頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課例2 寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （1） （2）解：（1）

2、（2）第4頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二1.復(fù)合函數(shù)的概念:二、講授新課：9/26/2022第5頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二如何對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)呢？第6頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二引例 一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積 是半徑 的函數(shù)： 油膜半徑 隨著時間 的增加而擴大，其函數(shù)關(guān)系為： 問：油膜面積 關(guān)于時間 的瞬時變化率是多少？第7頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二分析：油膜面積 關(guān)于時間 的新函數(shù)：由于所以由導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：第8頁，共26頁，2022年，

3、5月20日，5點52分，星期二定理 設(shè)函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 也可導(dǎo).且或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即：因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).( 鏈?zhǔn)椒▌t )注意：1、法則可以推廣到兩個以上的中間變量；2、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導(dǎo).第9頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二即證設(shè)變量 x 有增量 x，由于 u 可導(dǎo)， 相應(yīng)地變量 u 有增量 u，從而 y 有增量 y.第10頁，共26頁，2022年，5月

4、20日，5點52分，星期二復(fù)合函數(shù) 中，令 ，則注意：注意：不要寫成 ！對x求導(dǎo)對 求導(dǎo)第11頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若 ， ，求 并分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系新授課函數(shù) 可由 復(fù)合而成第12頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二例1：求的導(dǎo)數(shù)分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x復(fù)合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=?第13頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例題講解例2 求 的導(dǎo)數(shù)解：設(shè) ， 則 第14頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52

5、分，星期二（1）首先要弄清復(fù)合關(guān)系，特別要注意中間變量；（2）盡可能地將函數(shù)化簡，然后再求導(dǎo)；（3）要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運算的綜合運用；（4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為“鏈條法則”，一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：例3第15頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二 例3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。例4 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。解析解析第16頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要弄清復(fù)合關(guān)系，而選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。分析： 令 ，則函數(shù)是由 與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：解：例3 例3 求函數(shù)

6、 的導(dǎo)數(shù)。第17頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二解： 令 ，則函數(shù)是由 與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：例4 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。第18頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二（1）分解；（2）求導(dǎo)；（3）相乘；（4）回代。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟：第19頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二例5、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)為，求函數(shù)在t=3時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義。解：函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成的，其中x是中間變量。將t=3代入得：（cm/s）。它表示當(dāng)t=3時，水

7、面高度下降的速度為 cm/s。第20頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 前面所求的都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題中的對應(yīng)法則 f 是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)如何求得？解析第21頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二 而對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量，另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。分析: 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量，明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)。第22頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二解：（1）函數(shù)是由 與 復(fù)合而成的， 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：（2）函數(shù)由 與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：練習(xí)第23頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2. 求曲線 在 處的切線方程。動手做一做例4第24頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：動手做一做第25頁，共26頁，2022年，5月20日，5點52分，星期二小結(jié)關(guān)鍵：分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量。 復(fù)合函數(shù)求