等差數(shù)列的前項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課比賽

1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課比賽課件第1頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二高斯（Gauss,17771855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.第2頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：計(jì)算1 2 3 99 100第3頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二高斯的算

2、法計(jì)算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組： 第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組； 第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組； 第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對(duì)相加法中間的一組數(shù)是什么呢？第4頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有n支。問(wèn)：這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配對(duì)相加法，需

3、要分類討論.三角形平行四邊形第5頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二n (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法 那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.第6頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二問(wèn)題分析已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn .如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？第7頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二由此得到等差數(shù)列的an前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫(xiě)成差由等數(shù)列的通項(xiàng)公式an =

4、 a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。知三求二第8頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.na1an第9頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.第10頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二公式應(yīng)用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50練一練

5、5002550第11頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 已知等差數(shù)列an(2)a14，S8172，求a8和d.思路探索 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解方程題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算【例1】第12頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用第13頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 在等差數(shù)列an中；(1)已知a610，S55，求

6、a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.【變式1】 第14頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，【例2】2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的

7、總投入為答：從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元.且a1=500,d=50,n=10.題型二 利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問(wèn)題第15頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 【變式2 】 一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=21，d=1，n=19.答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：第16頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二題型三利用Sn求an 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S

8、n32n，求an.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1325.(2)當(dāng)n2時(shí)，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又當(dāng)n1時(shí)，a121115，【例3】第17頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二 (1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，這里常常因?yàn)楹雎詶l件“n2”而出錯(cuò)第18頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n，求an.解a1S15，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，當(dāng)n1時(shí)也適合，an4n1.【變式3】 第19頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33

9、分，星期二【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由于S10310，S201220，將它們代入公式可得所以題型四 已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)的和求出n項(xiàng)和第20頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二【例4】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？另解： 兩式相減得第21頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和思路探索 解答本題可利用前n項(xiàng)和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解【變式4】第22頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二第23頁(yè)，共26頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)33分，星期二故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為110.法二數(shù)列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則又S10100，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2bn.S10100，S10010，第24頁(yè)，共26頁(yè)，2