等差數(shù)列及其前項(xiàng)數(shù)列

1、等差數(shù)列及其前項(xiàng)數(shù)列第1頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二知能遷移3 在等差數(shù)列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n項(xiàng)和為Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 （1）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 當(dāng)n=20或21時(shí)，Sn最小且最小值為-630.令,得20n21,第2頁，共20頁，2

2、022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二（2）由（1）知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù).當(dāng)n21時(shí)，Tn=-Sn=當(dāng)n21時(shí)，Tn=Sn-2S21=綜上，Tn=（n21，nN*）（n21,nN*）.第3頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法有 (1)定義法：an+1-an=d (d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式：2an+1=an+an+2 (nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式：an=pn+q(p,q為常數(shù)）an是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn （A、B為常數(shù)）an是等差數(shù)列.思想方法 感悟提

3、高第4頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二2.方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程（組）獲得解.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn= 很像梯形面積公式，其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法完全一樣.(倒序相加法）5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+ d可以變形為 類似于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，只要把d理解為加速度.第5頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二失誤與防范1.如果p+q=r+s,則ap+aq=ar+as,一般地，ap+aqap+q，必須是兩項(xiàng)相加，

4、當(dāng)然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n的一次函數(shù)，除非公差d=0.3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.4.公差d= 類似于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)算.5.當(dāng)d不為零時(shí)，等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列.6.從一個(gè)等差數(shù)列中，每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.第6頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二第7頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二充分利用等差數(shù)列和Sn的二次函數(shù)性第8頁，共20頁，2022年，

5、5月20日，5點(diǎn)32分，星期二第9頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二第10頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二要點(diǎn)梳理1.等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列 ，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an= .6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與相鄰前項(xiàng)的比是一個(gè)確定的常數(shù)（不為零）公比qa1qn-1基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)第11頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二3.等比中項(xiàng) 若 ，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

6、（1）通項(xiàng)公式的推廣：an=am ,(n，mN*).（2）若an為等比數(shù)列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），則 .（3）若an，bn（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則 an（ 0）， ， ，anbn， 仍是等比數(shù)列.G2=abqn-makal=aman第12頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)a1=2,數(shù)列an+1是以3為公比的等比數(shù)列，則a4的值為（） A.80B.81C.54D.53 解析 由已知得an+1=(a1+1)qn-1, 即an+1=33n-1=3n, an=3n-1，a4=34-1=80.A第13頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32

7、分，星期二2.等比數(shù)列an中，a4=4,則a2a4a6等于（） A.4 B.8 C.32 D.64 解析 a4是a2與a6的等比中項(xiàng)， a2a6= =16.a2a4a6=64.D第14頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二3.（2009廣東文，5）已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a9=2 ,a2=1,則a1=（） A.2 B. C. D. 解析 設(shè)公比為q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因?yàn)榈缺葦?shù)列an的公比為正數(shù),所以q= ,故a1=C第15頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二題型一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】已知an為等比

8、數(shù)列，a3=2，a2+a4= ，求an的通項(xiàng)公式. 根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及性質(zhì)建立首項(xiàng),公比的方程組. 解 方法一 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q0， a2= a4=a3q=2q， +2q= 解得q1= ，q2=3.思維啟迪題型分類 深度剖析第16頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二當(dāng)q= 時(shí)，a1=18，an=18（ ）n-1= =233-n.當(dāng)q=3時(shí)，a1= ，an= 3n-1=23n-3.綜上所述，an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ，則a2，a4為方程x2- x+4=0的兩根，第17頁，共20頁，2022

9、年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二a2= a2=6a4=6 a4=解得或.當(dāng)a2= 時(shí),q=3,an=a3qn-3=23n-3.當(dāng)a2=6時(shí)，q= ,an=233-nan=23n-3或an=233-n. （1）等比數(shù)列an中，an=a1qn-1, Sn= 中有五個(gè)量，可以知三求五；（2）注意分類討論的應(yīng)用.探究提高第18頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二知能遷移1 已知等比數(shù)列an中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中項(xiàng). （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）記bn=anlog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 解 （1）設(shè)數(shù)列an的公比為q, 由題意知：2(a3+2)=a2+a4, q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0. q=2，即an=22n-1=2n.第19頁，共20頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)32分，星期二（2）bn=a