二元函數(shù)的泰勒公式

1、 f(a,b)二0.x同法可證，f同法可證，f(a,b)二0.y方程組f方程組f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y的解(坐標(biāo)平面上某些點(diǎn))稱為函數(shù)f(x,y)的穩(wěn)定點(diǎn).定理3指出，可微函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)反之，穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如，函數(shù)(雙面拋物面)f(x,y)二x2-y2.廣二2x,廣=一2y.xy顯然，點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x,y)二x2-y2的穩(wěn)定點(diǎn).但點(diǎn)(0,0)并不是函數(shù)f(x,y)二x2-y2的極值點(diǎn).極值點(diǎn)的充分條件定理4.設(shè)函數(shù)f(x,y)有穩(wěn)定點(diǎn)P(a,b)，且在點(diǎn)P(a,b)的鄰域G存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).令A(yù)二f(a,b),B二f(a,b),C二f(

2、a,b).xxxyyyA=B2-AC.若Av0，則P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)：A0(或C0),P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極小點(diǎn).Av0(或C0，則P(a,b)不是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn).注:當(dāng)判別式A=0時(shí)，穩(wěn)定點(diǎn)P(a,b)可能是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)例如，函數(shù)f(x,y)二(x2+y2)2,f(x,y)二-(x2+y2)2,f(x,y)二x2y.123不難驗(yàn)證，P(0,0)是每個(gè)函數(shù)唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，且在穩(wěn)定點(diǎn)P(0,0)每個(gè)函數(shù)的判別式A=B2-AC=0.顯然,穩(wěn)定點(diǎn)P(0,0)是函數(shù)f(x,y)二(x2+y2)2的極小點(diǎn);是函數(shù)f(

3、x,y)=-(x2+y2)2的極大點(diǎn)；卻不是函數(shù)f(x,y)二x2y的極值點(diǎn).23求可微函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)的步驟：1)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組f1)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y求穩(wěn)定點(diǎn).設(shè)其中一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)是P(a,b).2)求二階偏導(dǎo)數(shù)，寫出f(x,y)2-f(x,y)f(x,y).xyxxyy3)將穩(wěn)定點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)代入上式，得判別式A=lf(a,b)12-f(a,b)f(a,b).xyxxyy再由A的符號(hào)，根據(jù)下表判定P(a,b)是否是極值點(diǎn):A=B2-AC+0A(或C)+不是極值點(diǎn)不定P(a,b)是極小點(diǎn)是極大點(diǎn)例6.求函數(shù)z=x3+y3-3xy的極值.

4、解：解方程組f(x,y)二3x2-2y二0,xf(x,y)二3y2-3x二0.y解得兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(0，0)與(1，1).求二階偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)二6x,f(x,y)二-3,f(x,y)二6y.xxxyyyf(x,y)p-f(x,y)f(x,y)=9-36xy.xyxxyy在點(diǎn)(0,0),A=90,(0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn).在點(diǎn)(1,1)A=-270,(1,1)是函數(shù)的極小點(diǎn)，極小值是(x3+y3-3xy)=1.(1,1)二元函數(shù)f(x，y)在實(shí)際問題中的最大、最小值一般來(lái)說，求函數(shù)f(x,y)在D的邊界上的最大(小)值是很困難的但是，在很多實(shí)際問題，根據(jù)問題的實(shí)際意義，函數(shù)f(x,y)的最大(

5、小)值必在區(qū)域D(D可以是無(wú)界區(qū)域)內(nèi)某點(diǎn)P取得，又函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)P，那么函數(shù)f（x,y）必在這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)P取得最大（?。┲?例7.用鋼板制造容積為V的無(wú)蓋長(zhǎng)方形水箱，問怎樣選擇水箱的長(zhǎng)、寬高才最省鋼板.解：設(shè)水箱長(zhǎng)、寬、咼分別是x,y,z.已知xyz=V，從而咼z=.水箱表面xy的面積V(11)s=xy+(2x+2y)=xy+2V+，xy1xy丿S的定義域D=(x,y)0 x+s,0y+s.這個(gè)問題就是求函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值.解方程組0S“=y0S“=y+2VdxVas*ay-丄1Ix2丿一丄y2丿2V=y一=0,x2=x一空=0.y2在區(qū)域D內(nèi)解得唯一穩(wěn)定點(diǎn)（3邁V

6、,32V）.求二階偏導(dǎo)數(shù)a2sa2s=4Vax2x3a2sdxdya2S=4Vay2y3(a2s)2a2sa2s416V2=1.、axQy丿ax2ay2x3y3在穩(wěn)定點(diǎn)(3邁V,32V)，A=30，從而，穩(wěn)定點(diǎn)(3邁V,3邁V)是S的極小點(diǎn).因此，函數(shù)S在點(diǎn)（32v,3邁V）取最小值.當(dāng)x=32V,y=邁V時(shí),V32V32V3；2V32V2即無(wú)蓋長(zhǎng)方形水箱x=y=莎,z=耳，所需鋼板最省.例8.在已知周長(zhǎng)為2p的一切三角形中，求出面積為最大的三角形.8）解：設(shè)三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)分別是x,y,z面積是申.8）9=p(px)(py)(pz).已知x+y+z=2p或z=2p-x-y，將它代入（8）式之

7、中，有9=p(p-x)(p-y)(x+y-p).因?yàn)槿切蔚拿窟吺钦龜?shù)而且小于半周長(zhǎng)p，所以9的定義域0 xp,0yp.已知9的穩(wěn)定點(diǎn)與廿的穩(wěn)定點(diǎn)相同.為計(jì)算方便,p92屮=(px)(py)(x+yp)p的穩(wěn)定點(diǎn).解方程組屮(x,y)=-(py)(x+yp)+(px)(py)x=(py)(2p2xy)=0.屮(x,y)=(px)(x+yp+(px)(py)y=(px)(2p2yx)=0.在區(qū)域D在區(qū)域D內(nèi)有唯一穩(wěn)定點(diǎn).求二階偏導(dǎo)數(shù)屮(x,y)=-2(p-x).yy屮(x,y)=2(py),屮(x,y)=2(x屮(x,y)=-2(p-x).yy屮(x,y)2-屮(x,y)屮(x,y)xyxxyy=4x2+4xy+4y2一8px