龍格庫塔方法

1、Runge-Kuttua方法和matlab原理龍格庫塔法（Runge-Kutta）數(shù)值分析中，龍格庫塔法（Runge-Kutta）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數(shù)學家卡爾龍格和馬丁威爾海姆庫塔于1900年左右發(fā)明。經(jīng)典四階龍格庫塔法龍格庫塔法的家族中的一個成員如此常用，以至于經(jīng)常被稱為“RK4”或者就是“龍格庫塔法”。四階Runge-Kutta方法這樣，下一個值(yn+1)由現(xiàn)在的值(yn)加上時間間隔(h)和一個估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權平均：k1是時間段開始時的斜率；k2是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率 k1 來決定 y在點 tn

2、+ h/2的值；k3也是中點的斜率，但是這次采用斜率 k2決定 y值；k4是時間段終點的斜率，其 y值用 k3 決定。當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：誤差分析：注意上述公式對于標量或者向量函數(shù)(y可以是向量)都適用。 四階R-K方法的每一步需要計算四次函數(shù)值f，可以證明其局部截斷誤差為O(h5).R-K(高階)方法不唯一,選擇不同的參數(shù)能得到不同的R-K公式注意的問題R-K方法的推導是基于Taylor展開法，因而要求解具有較好的光滑性，如果光滑性較差精度可能不如改進Euler方法,最好采用低階算法而將步長h 取小。Runge-Kutta法的主要運算在于計算 Ki 的值，即計算 f

3、的值。計算量與可達到的最高精度階數(shù)的關系：753可達到的最高精度642每步須算Ki 的個數(shù)四階Runge-Kutta方法的MATLAB實現(xiàn)原理：四階R-K方法實現(xiàn)開始輸出x1,y1結束YNfunction ff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy為y的導函數(shù),x0,y0,為初值,h為步長,a,b為區(qū)間c=(b-a)/h+1;i1=1; %c為迭代步數(shù)；i1為迭代步數(shù)累加值y=y0;z=zeros(c,6); %z生成c行，6列的零矩陣存放結果；%每行存放c次迭代結果，每列分別存放k1k4及y的結果不斷迭代運算：for x=a:h:b if i1=c k1=feval(yy,x,y);

4、k2=feval(yy,x+h/2,y+(h*k1)/2); k3=feval(yy,x+h/2,y+(h*k2)/2); k4=feval(yy,x+h,y+h*k3); y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); z(i1,1)=x;z(i1,2)=k1;z(i1,3)=k2;z(i1,4)=k3;z(i1,5)=k4;z(i1,6)=y; i1=i1+1; endend例4解例 題 4xnYn|yn-y(xn)|R-K3誤差y(xn)0.11.0959 0.00051.095440.45e-41.09540.21.1841 0.0009 1.183220.17e-41.18

5、320.31.2662 0.0013 1.264910.15e-41.26490.41.3434 0.0018 1.341650.48e-41.34160.51.4164 0.0022 1.414220.25e-41.41420.61.4860 0.0028 1.483260.55e-41.48320.71.5525 0.0033 1.549210.14e-41.54920.81.6165 0.0040 1.6124780.21e-41.61250.91.6782 0.0049 1.673350.54e-41.67331.01.7379 0.0058 1.732090.06e-41.7321改進Euler法一步需要計算兩個函數(shù)值(h=0.1)四階Runge-Kutta方法一步需要計算四個函數(shù)值（h=0.2）總計算量大致相當，但四階Runge-Kutta方法精度更高五、變步長Runge-Kutta方法從每一步看，步長越小，截斷誤差越??；但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就會增加，步數(shù)的增加不但引起計算量的增大，而且可能導致舍入誤差的嚴重積累，因此需要選擇步長如何衡量和檢驗計算結