量綱分析和相似原理課件

1、 解決流體力學問題時僅靠三大基本方程是遠遠不夠的，還需要借助其它科學試驗手段。在研究某些流體運動規(guī)律過程中量綱分析常常可給予很大的幫助。 4-1 量綱分析的概念和原理 一、量綱(dimension) 量綱是指物理量的屬性(類別)，也叫因次。物理量的量綱可分為基本量綱(fundamental dimension)和導出量綱(derived dimension)兩類。長度L、時間T、質量M這三個量綱屬于基本量綱；可用基本量綱推導出來的量綱屬于導出量綱。如：流速的量綱L/T。第4章 量綱分析和相似原理 某個物理量A的量綱表示為dimA，如速度量綱表示為dimu=LT-1 ，加速度量綱dima=LT-

2、2，密度量綱dim=ML-3，力的量綱dimF=dim(ma)=MLT-2 ，壓強的量綱dim p=dim (F/A)= MLT-2 /L2=ML-1 T-2對于任何物理量的量綱 幾何學量綱：0, =0, =0，分類 運動學量綱：0，=0 動力學量綱：0 二、量綱一的量 基本量和導出量可以組合成量綱為1的量，稱為量綱一的量，即=0,=0,=0。 特點： （1）無單位，它的大小與所選單位無關； （2）量綱表示式中的指數(shù)均為零。 幾個互相獨立，不能結合成量綱一的量稱為基本量。如長度L、流速v和密度就可以作為基本量。由線性代數(shù)知，當 ，有非零解，則可組成量綱一的量，不獨立，不可作為基本量。當 ，無非

3、零解，則不能組成量綱一的量，獨立，可作為基本量。如長度L、速度V、密度三個物理量滿足：，可作為基本量。問題 1. 速度v，長度l，重力加速度g的量綱1的集合是： A. B. C. 2.速度v,密度,壓強p的量綱1的集合是： A. B. C. 3. 速度v，長度l，時間t的量綱1的集合是： A. B. C. 4. 壓強p，密度，長度l，流量Q的量綱的集合是： B. C. D. D.D.D.A. 量綱和諧原理(theory of dimensional omogeneity)：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 物理方程中各項物理量的

4、量綱之間存在的規(guī)律性： 1物理方程中各項的量綱應相同。 2任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項組成的方程而不會改變物理過程的規(guī)律性。 3物理方程中各物理量之間的規(guī)律性以及相應各量綱之間的規(guī)律性，不會因所選擇的基本量綱不同而發(fā)生改變。三 物理方程量綱的一致性4-2 量綱分析法 量綱和諧原理最重要的用途在于能確定方程式中物理量的指數(shù)，從而找到物理量間的函數(shù)關系，以建立合理的方程式。這種利用量綱和諧原理探求物理量之間的函數(shù)關系稱為量綱分析法。依據：量綱和諧原理方法：瑞利法：適用于單項指數(shù)形式。 定理：適用于普遍性的問題。例：實驗表明，水流有層流和紊流兩種形態(tài)，由紊流轉變?yōu)閷恿鲿r的斷面平均流速稱臨界

5、流速Vc，管徑d，流體密度，動力粘度有關。試建立函數(shù)關系式。解： 式中k為無量綱的系數(shù)Vc=？紊臨層雷諾試驗設二、定理 布金漢定理：對于某個物理現(xiàn)象，如果存在n個變量互為函數(shù)關系：F(q1,q2,q3,qn)=0而在這些變量中含有m個基本量，則可組合這些變量成(n-m)個量綱一的量的函數(shù)關系：(1, 2, 3, n-m)=0 定理的解題步驟： （1）確定關系式：根據對所研究現(xiàn)象的認識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關系式: （2）確定基本量：從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，三個作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，。 （3

6、）確定數(shù)的個數(shù)N()=(n-m)，并寫出其余物理量與基本物理量組成的表達式F(q1,q2,q3,qn)=0 (4)確定量綱一參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項的指數(shù)x，y，z，從而定出各量綱一參數(shù)。 (5)寫出描述現(xiàn)象的關系式(1,2,n-m)=0 ,解參數(shù)。 設變量共5個，其中x1、x2、x3為三個基本量(m=3), 則x1、x2、x3可與余下的x4，x5組合成2個(n-m=2) 量綱一1、2。所求的物理方程為例：有壓管流中的壓強損失。根據實驗，壓強損失與流速V，管長 ,管徑d，管壁粗糙度k，流體運動粘滯系數(shù) ，密度有關，即試用定理法求該物理方程。解： 這7個量中，基本物理量有3個

7、，令管徑、平均流速、密度為基本量，量綱依次為余下的4個量 分別與 相乘組成4個無量綱數(shù)： ，即解得：代入前面公式得：據定理有： 改寫為量綱分析法的優(yōu)點：適用未知物理方程的流動。 缺點：選準物理量較難，物理意 義不明確。 應該指出：量綱分析并沒有也不可能給出流動問題的最終解，它只提供了這個解的基本結構，函數(shù)的數(shù)值關系還有待于實驗研究。4-3 流動相似性原理 采用模型試驗和理論分析相結合的方式是解決問題的有效途徑之一，在把模型中的實測資料引用到原型中產生下述問題： (1) 如何設計模型才能使模型和原型中的流動相似？ (2) 如何把模型中觀測的流動現(xiàn)象和數(shù)據換算到原型中去？相似原理提供了解決這兩個問

8、題的理論基礎。 一、幾何相似 幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一個相應線性長度保持一定的比例關系。 式中 為長度比尺。 面積比尺 體積比尺 二、運動相似 運動相似是指原型與模型兩個流動中任何對應質點的跡線是幾何相似的，而且任何對應質點流過相應線段所需的時間又是具有同一比例的。或者說兩個流動的速度場(或加速度場)是幾何相似的。 設時間比尺： 則速度比尺 加速度比尺 三、動力相似 原型和模型流動中任何對應點上作用著同名的力，各同名力相互平行且具有同一比值。ApFppFipFGpAmFpmFimFGm4-4 相似準則一、牛頓相似原理設作用在流體上的合外力為 ,

9、加速度為 ,質量為m，則上式可寫為 式中 為量綱一的量，稱為牛頓(Newton)數(shù)，以Ne表示，即 (Ne)p=(Ne)m 兩流動的動力相似歸結為牛頓數(shù)相等。 牛頓數(shù)中的F是作用在流體上的各種力的合力。即牛頓相似條件是很苛刻的，一般是難以實現(xiàn)的。但在具體流動中往往某一種力占主導作用，在模型實驗中只要滿足這種力的相似條件，可以達到近似相似的結果。二、 重力相似準則 流經閘、壩的水流，起主導作用的力是重力，只要用重力代替牛頓數(shù)中的F，根據牛頓相似準則就可求出只有重力作用下流體相似準則。 作用力只有重力時，兩個相似系統(tǒng)的弗勞德數(shù)應相等，這就叫做重力相似準則，或稱弗勞德準則，模型與原型之間各物理量的比

10、尺不能任意選擇，必須遵循弗勞德準則。現(xiàn)將各種物理量的比尺與模型比尺 的關系推導如下 (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時間比尺 (4) 力的比尺 (5) 壓強比尺 (6) 功的比尺 (7)功率的比尺三、 雷諾準則 流動中以粘滯力起主導作用，F(xiàn)=F代入牛頓相似準則得由雷諾準則推導模型與原型各物理量的比尺與模型比尺 的關系如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時間比尺 (4) 力的比尺當 時 (5) 壓強比尺 當 時(6) 功的比尺 當 時(7)功率比尺 當 時四、歐拉準則五、其他相似準則1、表面張力相似準則2、彈性力相似準則cc2c4-5 模型實驗設計模型設計要點：1 模

11、型比尺選擇的限制性條件 (1)不造成嚴重失真； (2)實驗場地的大??； (3)供水能力的大小； (4)制作條件； (5)建造及試驗費用。2 一般采用正態(tài)模型。 首先根據問題的需要與可能選定模型范圍和幾何比尺，再根據實際情況選定相似準則，按相似準則確定運動各物理量的比尺。一、弗勞德（重力）模型二、雷諾模型（粘滯力）例：水口水電站模型按弗勞德準則設計，正態(tài)模型，幾何比尺100。試求 u和qv。并求與原型qvp為28400m3/s相對應的模型流量。解：例：設有一dp=50cm的輸油管，管長lp=100m，管中油的流量為0.1m3/s?，F(xiàn)采用20的水作為模型中的流體，模型管徑為dm=2.5cm。已知20水的運動粘度系數(shù)1.00310-6m2/s， 20油運動粘度為15010-6m2/s試求模型中管長lm和模型流量。 解：長度比尺l=20 lm=5m 原型中流速v=qv/A=0.509m/s 故按雷諾準則設計模型，模型流量0.0334l/s。本章小結 1. 基本量綱具有獨立性的，不能由其他量綱推導出來的量綱。 誘導量綱由基本量綱導出的量綱。 dimq=LTM。 2.量綱和諧原理凡是正確反映客觀物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只是方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 3.量綱分析兩種方法 雷利法直接應用量綱和諧原理來求解