量綱分析和相似原理課件

1、 解決流體力學(xué)問題時(shí)僅靠三大基本方程是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要借助其它科學(xué)試驗(yàn)手段。在研究某些流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律過程中量綱分析常?？山o予很大的幫助。 4-1 量綱分析的概念和原理 一、量綱(dimension) 量綱是指物理量的屬性(類別)，也叫因次。物理量的量綱可分為基本量綱(fundamental dimension)和導(dǎo)出量綱(derived dimension)兩類。長(zhǎng)度L、時(shí)間T、質(zhì)量M這三個(gè)量綱屬于基本量綱；可用基本量綱推導(dǎo)出來的量綱屬于導(dǎo)出量綱。如：流速的量綱L/T。第4章 量綱分析和相似原理 某個(gè)物理量A的量綱表示為dimA，如速度量綱表示為dimu=LT-1 ，加速度量綱dima=LT-

2、2，密度量綱dim=ML-3，力的量綱dimF=dim(ma)=MLT-2 ，壓強(qiáng)的量綱dim p=dim (F/A)= MLT-2 /L2=ML-1 T-2對(duì)于任何物理量的量綱 幾何學(xué)量綱：0, =0, =0，分類 運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：0，=0 動(dòng)力學(xué)量綱：0 二、量綱一的量 基本量和導(dǎo)出量可以組合成量綱為1的量，稱為量綱一的量，即=0,=0,=0。 特點(diǎn)： （1）無單位，它的大小與所選單位無關(guān)； （2）量綱表示式中的指數(shù)均為零。 幾個(gè)互相獨(dú)立，不能結(jié)合成量綱一的量稱為基本量。如長(zhǎng)度L、流速v和密度就可以作為基本量。由線性代數(shù)知，當(dāng) ，有非零解，則可組成量綱一的量，不獨(dú)立，不可作為基本量。當(dāng) ，無非

3、零解，則不能組成量綱一的量，獨(dú)立，可作為基本量。如長(zhǎng)度L、速度V、密度三個(gè)物理量滿足：，可作為基本量。問題 1. 速度v，長(zhǎng)度l，重力加速度g的量綱1的集合是： A. B. C. 2.速度v,密度,壓強(qiáng)p的量綱1的集合是： A. B. C. 3. 速度v，長(zhǎng)度l，時(shí)間t的量綱1的集合是： A. B. C. 4. 壓強(qiáng)p，密度，長(zhǎng)度l，流量Q的量綱的集合是： B. C. D. D.D.D.A. 量綱和諧原理(theory of dimensional omogeneity)：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 物理方程中各項(xiàng)物理量的

4、量綱之間存在的規(guī)律性： 1物理方程中各項(xiàng)的量綱應(yīng)相同。 2任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項(xiàng)組成的方程而不會(huì)改變物理過程的規(guī)律性。 3物理方程中各物理量之間的規(guī)律性以及相應(yīng)各量綱之間的規(guī)律性，不會(huì)因所選擇的基本量綱不同而發(fā)生改變。三 物理方程量綱的一致性4-2 量綱分析法 量綱和諧原理最重要的用途在于能確定方程式中物理量的指數(shù)，從而找到物理量間的函數(shù)關(guān)系，以建立合理的方程式。這種利用量綱和諧原理探求物理量之間的函數(shù)關(guān)系稱為量綱分析法。依據(jù)：量綱和諧原理方法：瑞利法：適用于單項(xiàng)指數(shù)形式。 定理：適用于普遍性的問題。例：實(shí)驗(yàn)表明，水流有層流和紊流兩種形態(tài)，由紊流轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鲿r(shí)的斷面平均流速稱臨界

5、流速Vc，管徑d，流體密度，動(dòng)力粘度有關(guān)。試建立函數(shù)關(guān)系式。解： 式中k為無量綱的系數(shù)Vc=？紊臨層雷諾試驗(yàn)設(shè)二、定理 布金漢定理：對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象，如果存在n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系：F(q1,q2,q3,qn)=0而在這些變量中含有m個(gè)基本量，則可組合這些變量成(n-m)個(gè)量綱一的量的函數(shù)關(guān)系：(1, 2, 3, n-m)=0 定理的解題步驟： （1）確定關(guān)系式：根據(jù)對(duì)所研究現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，確定影響這個(gè)現(xiàn)象的各個(gè)物理量及其關(guān)系式: （2）確定基本量：從n個(gè)物理量中選取所包含的m個(gè)基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，三個(gè)作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，。 （3

6、）確定數(shù)的個(gè)數(shù)N()=(n-m)，并寫出其余物理量與基本物理量組成的表達(dá)式F(q1,q2,q3,qn)=0 (4)確定量綱一參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項(xiàng)的指數(shù)x，y，z，從而定出各量綱一參數(shù)。 (5)寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式(1,2,n-m)=0 ,解參數(shù)。 設(shè)變量共5個(gè)，其中x1、x2、x3為三個(gè)基本量(m=3), 則x1、x2、x3可與余下的x4，x5組合成2個(gè)(n-m=2) 量綱一1、2。所求的物理方程為例：有壓管流中的壓強(qiáng)損失。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，壓強(qiáng)損失與流速V，管長(zhǎng) ,管徑d，管壁粗糙度k，流體運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù) ，密度有關(guān)，即試用定理法求該物理方程。解： 這7個(gè)量中，基本物理量有3個(gè)

7、，令管徑、平均流速、密度為基本量，量綱依次為余下的4個(gè)量 分別與 相乘組成4個(gè)無量綱數(shù)： ，即解得：代入前面公式得：據(jù)定理有： 改寫為量綱分析法的優(yōu)點(diǎn)：適用未知物理方程的流動(dòng)。 缺點(diǎn)：選準(zhǔn)物理量較難，物理意 義不明確。 應(yīng)該指出：量綱分析并沒有也不可能給出流動(dòng)問題的最終解，它只提供了這個(gè)解的基本結(jié)構(gòu)，函數(shù)的數(shù)值關(guān)系還有待于實(shí)驗(yàn)研究。4-3 流動(dòng)相似性原理 采用模型試驗(yàn)和理論分析相結(jié)合的方式是解決問題的有效途徑之一，在把模型中的實(shí)測(cè)資料引用到原型中產(chǎn)生下述問題： (1) 如何設(shè)計(jì)模型才能使模型和原型中的流動(dòng)相似？ (2) 如何把模型中觀測(cè)的流動(dòng)現(xiàn)象和數(shù)據(jù)換算到原型中去？相似原理提供了解決這兩個(gè)問

8、題的理論基礎(chǔ)。 一、幾何相似 幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一個(gè)相應(yīng)線性長(zhǎng)度保持一定的比例關(guān)系。 式中 為長(zhǎng)度比尺。 面積比尺 體積比尺 二、運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似是指原型與模型兩個(gè)流動(dòng)中任何對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線是幾何相似的，而且任何對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)線段所需的時(shí)間又是具有同一比例的?；蛘哒f兩個(gè)流動(dòng)的速度場(chǎng)(或加速度場(chǎng))是幾何相似的。 設(shè)時(shí)間比尺： 則速度比尺 加速度比尺 三、動(dòng)力相似 原型和模型流動(dòng)中任何對(duì)應(yīng)點(diǎn)上作用著同名的力，各同名力相互平行且具有同一比值。ApFppFipFGpAmFpmFimFGm4-4 相似準(zhǔn)則一、牛頓相似原理設(shè)作用在流體上的合外力為 ,

9、加速度為 ,質(zhì)量為m，則上式可寫為 式中 為量綱一的量，稱為牛頓(Newton)數(shù)，以Ne表示，即 (Ne)p=(Ne)m 兩流動(dòng)的動(dòng)力相似歸結(jié)為牛頓數(shù)相等。 牛頓數(shù)中的F是作用在流體上的各種力的合力。即牛頓相似條件是很苛刻的，一般是難以實(shí)現(xiàn)的。但在具體流動(dòng)中往往某一種力占主導(dǎo)作用，在模型實(shí)驗(yàn)中只要滿足這種力的相似條件，可以達(dá)到近似相似的結(jié)果。二、 重力相似準(zhǔn)則 流經(jīng)閘、壩的水流，起主導(dǎo)作用的力是重力，只要用重力代替牛頓數(shù)中的F，根據(jù)牛頓相似準(zhǔn)則就可求出只有重力作用下流體相似準(zhǔn)則。 作用力只有重力時(shí)，兩個(gè)相似系統(tǒng)的弗勞德數(shù)應(yīng)相等，這就叫做重力相似準(zhǔn)則，或稱弗勞德準(zhǔn)則，模型與原型之間各物理量的比

10、尺不能任意選擇，必須遵循弗勞德準(zhǔn)則?，F(xiàn)將各種物理量的比尺與模型比尺 的關(guān)系推導(dǎo)如下 (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時(shí)間比尺 (4) 力的比尺 (5) 壓強(qiáng)比尺 (6) 功的比尺 (7)功率的比尺三、 雷諾準(zhǔn)則 流動(dòng)中以粘滯力起主導(dǎo)作用，F(xiàn)=F代入牛頓相似準(zhǔn)則得由雷諾準(zhǔn)則推導(dǎo)模型與原型各物理量的比尺與模型比尺 的關(guān)系如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時(shí)間比尺 (4) 力的比尺當(dāng) 時(shí) (5) 壓強(qiáng)比尺 當(dāng) 時(shí)(6) 功的比尺 當(dāng) 時(shí)(7)功率比尺 當(dāng) 時(shí)四、歐拉準(zhǔn)則五、其他相似準(zhǔn)則1、表面張力相似準(zhǔn)則2、彈性力相似準(zhǔn)則cc2c4-5 模型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)要點(diǎn)：1 模

11、型比尺選擇的限制性條件 (1)不造成嚴(yán)重失真； (2)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的大小； (3)供水能力的大小； (4)制作條件； (5)建造及試驗(yàn)費(fèi)用。2 一般采用正態(tài)模型。 首先根據(jù)問題的需要與可能選定模型范圍和幾何比尺，再根據(jù)實(shí)際情況選定相似準(zhǔn)則，按相似準(zhǔn)則確定運(yùn)動(dòng)各物理量的比尺。一、弗勞德（重力）模型二、雷諾模型（粘滯力）例：水口水電站模型按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計(jì)，正態(tài)模型，幾何比尺100。試求 u和qv。并求與原型qvp為28400m3/s相對(duì)應(yīng)的模型流量。解：例：設(shè)有一dp=50cm的輸油管，管長(zhǎng)lp=100m，管中油的流量為0.1m3/s?，F(xiàn)采用20的水作為模型中的流體，模型管徑為dm=2.5cm。已知20水的運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)1.00310-6m2/s， 20油運(yùn)動(dòng)粘度為15010-6m2/s試求模型中管長(zhǎng)lm和模型流量。 解：長(zhǎng)度比尺l=20 lm=5m 原型中流速v=qv/A=0.509m/s 故按雷諾準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型，模型流量0.0334l/s。本章小結(jié) 1. 基本量綱具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱。 誘導(dǎo)量綱由基本量綱導(dǎo)出的量綱。 dimq=LTM。 2.量綱和諧原理凡是正確反映客觀物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只是方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 3.量綱分析兩種方法 雷利法直接應(yīng)用量綱和諧原理來求解