數(shù)理方程第二章分離變量法課件

1、2022/9/261第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論2022/9/241第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動2022/9/262基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。一、有界弦的自由振動2022/9/242基本思

2、想：適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題2022/9/263令代入方程：令代入邊界條件1、 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律2022/9/243令代入方程：令代入邊界條件1、 求兩端固2022/9/264特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)的常微分方程在一定條件下求非零解的問題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實數(shù) 2022/9/244特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)的常微分2022/9/2652022/9/2452022/9/2662022/9/2462022/9/2672022/9/2472022/9/268分離變量求特

3、征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 2022/9/248分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個2022/9/2692 解的性質(zhì) x=x0時：其中：駐波法 t=t0時：2022/9/2492 解的性質(zhì) x=x0時：其中：駐波法2022/9/2610例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。解：2022/9/2410例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端2022/9/26112022/9/24112022/9/2612于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始

4、條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2412于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/26132022/9/24132022/9/2614解：例2求下列定解問題2022/9/2414解：例2求下列定解問題2022/9/26152022/9/24152022/9/26162022/9/24162022/9/2617初始條件2022/9/2417初始條件2022/9/2618例3 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2418例3 求下列定解問題解：由例1中的方2022/9/2619這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不

5、滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特故原問題的解為2022/9/2419這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿2022/9/2620例4 求下列定解問題令代入方程：解：2022/9/2420例4 求下列定解問題令代入方程：解：2022/9/26212022/9/24212022/9/2622于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2422于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/26232022/9/24232022/9/26242022/9

6、/24242022/9/2625二 有限長桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：2022/9/2425二 有限長桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：2022/9/2626由例4知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為滿足方程于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2426由例4知，以上特征值問題的特征值和特征2022/9/2627令代入方程：令例5 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2427令代入方程：令例5 求下列定解問題解2022/9/2628于是得到一系列分離變量

7、形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2428于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/2629例6 求下列定解問題解：令2022/9/2429例6 求下列定解問題解：令2022/9/26302022/9/24302022/9/2631于是得到一系列分離變量形式的特解2022/9/2431于是得到一系列分離變量形式的特解2022/9/2632若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為若2022/9/2432若 則u為多少？為什

8、2022/9/2633分離變量流程圖2022/9/2433分離變量流程圖2022/9/2634三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標系下的拉普拉斯問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2434三 拉普拉斯方程的定解問題1 直2022/9/2635于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2435于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/26362022/9/24362022/9/2637例7 求下列定解問題解：由例6中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征

9、函數(shù)分別為2022/9/2437例7 求下列定解問題解：由例6中的方2022/9/2638于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2438于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/26392022/9/24392022/9/2640例8 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2440例8 求下列定解問題解：由例1中的方2022/9/2641于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)

10、原問題的解為2022/9/2441于是得到一系列分離變量形式的特解這些特么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的2022/9/26432 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題2022/9/24432 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題2022/9/2644例9 求下列定解問題解：（自然邊界條件）（周期性邊界條件）周期特征值問題2022/9/2444例9 求下列定解問題解：（自然邊界條2022/9/2645(歐拉方程) 令周期特征值問題故以上周期特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2445(歐拉方程) 令周期特征值問題故以上周2022/9/2646（由自然邊界條件）（由自然邊界條件）于是得到一系列

11、分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2446（由自然邊界條件）（由自然邊界條件）于2022/9/2647例10 求下列定解問題解：（周期性邊界條件）周期特征值問題2022/9/2447例10 求下列定解問題解：（周期性邊2022/9/2648歐拉方程 這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2448歐拉方程 這些特解滿足方程和齊次邊界條2022/9/2649其他為零2022/9/2449其他為零2022/9/2650例11 求下列定解問題解：由例1中的方

12、法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為（自然邊界條件）2022/9/2450例11 求下列定解問題解：由例1中的2022/9/2651（由自然邊界條件）2022/9/2451（由自然邊界條件）2022/9/2652例11 求解下列二維熱傳導(dǎo)方程的定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2452例11 求解下列二維熱傳導(dǎo)方程的定解問2022/9/2653于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2453于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/265

13、4例12 求下列熱傳導(dǎo)方程的定解問題解法一：令2022/9/2454例12 求下列熱傳導(dǎo)方程的定解問題解2022/9/2655解法二：令由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為2022/9/2455解法二：令由例1中的方法知，以上特征值2022/9/2656于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為2022/9/2456于是得到一系列分離變量形式的特解這些特2022/9/2657常用特征值問題周期特征值問題2022/9/2457常用特征值問題周期特征值問題2022/9/2658四 非齊次方程的解法求下列

14、定解問題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？思考2022/9/2458四 非齊次方程的解法求下列定解問題方2022/9/2659由線性方程的疊加原理，令：2022/9/2459由線性方程的疊加原理，令：2022/9/2660令：為什么？非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/2460令：為什么？非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/2661用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題2022/9/2461用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方2022/9/2662例13 求下列定解問題解：先解對應(yīng)的齊次問題其特征值和特征函數(shù)為2022/9/2462例13 求下列定解問題解：先解對應(yīng)的

15、2022/9/26632022/9/24632022/9/2664例14 求下列定解問題解：令其特征值和特征函數(shù)為2022/9/2464例14 求下列定解問題解：令其特征值2022/9/26652022/9/24652022/9/2666用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題2022/9/2466用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方2022/9/2667例15 求定解問題解：將原問題變換到極坐標系下：周期特征值問題2022/9/2467例15 求定解問題解：將原問題變換到2022/9/2668非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/2468非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/

16、26692022/9/24692022/9/2670例16 求定解問題周期特征值問題2022/9/2470例16 求定解問題周期特征值問題2022/9/2671非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/2471非齊次方程的特征函數(shù)展開法2022/9/26722022/9/24722022/9/2673五 非齊次邊界條件的處理解：首先要想辦法將非齊次條件齊次化。令取其中輔助函數(shù)滿足2022/9/2473五 非齊次邊界條件的處理解：首先要想2022/9/26742022/9/24742022/9/2675常見非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)以上方法適用于波動方程、

17、熱傳導(dǎo)方程和位勢方程。2022/9/2475常見非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)2022/9/2676例17 求下列定解問題解：令可以用非齊次方程的特征函數(shù)展開法求解以上問題。2022/9/2476例17 求下列定解問題解：令可以用非2022/9/2677若f(x,t)和非齊次邊界條件都與t無關(guān)，則此時W僅是x的函數(shù)W(x)此方法在使得非齊次邊界條件齊次化的同時將導(dǎo)致方程的非齊次化。能否做到兩者同時齊次化？若能從中求出W(x,t)，就可以實現(xiàn)兩者同時齊次化。但一般很難求出!2022/9/2477若f(x,t)和非齊次邊界條件都與t無2022/9/2678例18 求下列定解問題解：令請與例17比較，研究其優(yōu)缺點。2022/9/2478例18 求下列定解問題解：令請與例12022/9/2679例19 求定解問題解：令可以用分離變量法求解以上問題。2022/9/2479例19 求定解問題解：令可以用分離變量2022/9/2680例20 求定解問題解：令可以用分離變量法求解以上問題。2022/9/2480例20 求定解問題解：令可以用分離變量2022/9/2681例21 求定解問題解：令2022/9/2481例21 求定解問題解：令2022/9/2682定解問題選擇合適的坐標系邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次