流體力學(xué)習(xí)的題目及問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔精彩文檔第一章 緒論1-1 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的條件是什么？答：所研究問題中物體的特征尺度L，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于流體分子的平均自由行程l，即 l/L 211物體浸入液體 中的體積為V ，浸入液體中的體積為V 112答：dS上的壓力為 p，其單位外法向量為 ndS上的流體靜力為dPpndS。沿物體表面積分，得到作用于整個(gè)物體表面的流體靜力為PpndS。S設(shè)V 部分的表面積為S V 部分的表面積為S S ，11220交界面處的壓力為 p 。0并建立下述坐標(biāo)系，即取交界面為xoy平面，z 軸垂直向上為正，液體深度h向下為正，然hz。因此PpndSpndSpndS。SSS12在S1上p

2、 p01h p01z，在S2上p p02z；代入到上式中得到：PpzndSp010SS12zndSp0S1zndSp1SS12ndSzndS2S2pndSp0ndSz1zndS2SSSS1212在此，需要注意到，由于在交界面上z 0，因此有zndS1zndS 0。將這兩2SS00項(xiàng)分別加入到上式的第二個(gè)括號(hào)和第三個(gè)括號(hào)中，則原式成為：PpndSp0SS12ndSzndS1S1zndS1S0zndS2SS20zndS2p0z1zndS2SS SS S1020利用高斯公式，可以得到：Pp dV0zdV1zdV2VVV120VkVk1 12 2VV k1 12 2即物體受到的浮力為PVV k。1 1

3、2 2第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性流體平面定常流動(dòng)中是否存在流函數(shù)？ 答：uv0；xy存在函數(shù)：Pv和Q u并且滿足條件：QP 。xy因此，存在流函數(shù)，且為：Pdx Qdyvdxudy。程。就下面兩種平面不可壓縮流場(chǎng)的速度分布分別求加速度。）umx,vmy2x2y22x2y2） u Kty2x2x2y2 2,v2Ktxy x2y2 ，其中m ，K 為常數(shù)。答：（1）流場(chǎng)的加速度表達(dá)式為：au u uv u ,v u v v v 。xtxyytxy由速度分布，可以計(jì)算得到： u , v 0，因此：ttxv2mx2y22xyx2x2y2umy2xv2mx2y22xyx2x2y22y 2x2y2 2， v

4、mx2y2。2y 2x2y2 2代入到加速度表達(dá)式中：a0 mxmy2x2mym2xyx2x2y22x2y2 22x2y22x2y2 2m 2x2x2y2 2a0 mxm2xymymx2y2y2x2m 2y22x2y2 2y22x2y2 22y2 2（2）由速度分布函數(shù)可以得到：u K y2x2 v2Kxytx2y2 tx2y2 3u 2Ktxx23y2 ， 2Kty3x2y2 ；xy2 yy2 3v2Ktyy23x2 ， v2Ktxx23y2 。xy2 3yx2y2 3代入到加速度表達(dá)式中：aKy2x2xx2y2 2Kt y2x2y2 22Ktx x23y2x2y2 3Kt2xy2Kty3x

5、2y2x2y2 2y2 3Ky2x2x2y2 2Kt2xy2 3aK2xyyx2y2 Kt2xyKt2Ktxy2x2x2y2 2x23y22Ktyy23x2x2y2 3x2y2 K2xyKtx2y2 32yx2y2 2y2 3已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度場(chǎng)分布為u x v y t朗日表達(dá)式。已知t 0 x ay b。答：（1）流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為：dx udt，dy vdt將速度分布帶入，得到：dxxtdtdyytdt兩個(gè)方程除了自變量之外，完全一致，只需要解一個(gè)即可。將第一個(gè)方程改寫為：dx x t dt該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項(xiàng)為t。先求齊次方程的通解，齊次方程為：dx xdxdt；

6、dtx兩端同時(shí)積分得到：lnx t C ， x Ce t 。令非齊次方程的特解為：x* t C t et 對(duì)其兩端求導(dǎo)得到：dx* t dtC t etC t et；將上述x*和 dx* t 代入到原非齊次方程中，有：dtC t etC t etC t ett整理得到：C t t e t ， 兩端同時(shí)積分：C ttet 1etC1代入到特解中得到：x* t C t ett 1etC1ett 1 et。1將初始條件t 0時(shí)x a代入上式，得到：Ca1 ，1因此：x* tt 1a 1 et 同理可得：y* tt 1b 1 et。軌跡方程為：r t x*t i tjt 1 it 1j 。用拉格朗日法

7、表達(dá)的速度為：rvta1i b1tj。 t繪出下列流函數(shù)所表示的流動(dòng)圖形（標(biāo)明流動(dòng)方向），計(jì)算其速度、加速度，并求勢(shì)函數(shù)，繪出等勢(shì)線（1）x yxy；（3）yx2答：（1）x y流動(dòng)圖形：流線方程為x y C ，流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；y2 。u1，v1，yxv ui i j，流場(chǎng)為均勻流動(dòng)；a a i axy；求速度勢(shì)函數(shù)：由于平均旋轉(zhuǎn)角速度：1 vu10 00，因此流場(chǎng)為無旋流場(chǎng)，勢(shì)函z2 xy2數(shù) 存在：udx vdyudxvdy x y；0,00,0 x,0等勢(shì)線：等勢(shì)線如圖中虛線所示（與流線垂直）。xy流動(dòng)圖形：流線方程為xy C ，流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；ux，vy；y

8、xv ui vj xi yj；加速度：au u vux 1 y 0 xxxyau v vvx0 y1yyxya a i a j xy求速度勢(shì)函數(shù)：由于平均旋轉(zhuǎn)角速度1 vu100，流場(chǎng)為無旋流場(chǎng)，勢(shì)函數(shù)z2 xy2(x,y)存在：1udx 0,0 xdxydy2y2 ；等勢(shì)線：等勢(shì)線如圖中虛線所示（與流線垂直）。y流動(dòng)圖形：流線方程為x/y C ，流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；速度：ux，v1，yy2xyv ui x i 1 j；y2y加速度：au u v uxxxyy4au v v v1yxyy3a a i a xyx i 1 j；y4y3求速度勢(shì)函數(shù)：1 vu12 x1 vu12 xyy3

9、zx2y2流動(dòng)圖形：流線方程為x2y2C，流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示；u2y，vy2x，xv ui vj 2 yi 2xj 。加速度：au u v u4xxxyau v v v4yyxya a i a j4 yj；xy求速度勢(shì)函數(shù)：1 vu2 0，為有旋流場(chǎng)，勢(shì)函數(shù) 不存在。z2 xy已知平面不可壓縮流體的速度分布1u yvx2u x yv x y；（3）u x2y2xv2xy y。判斷是否存在勢(shì)函數(shù) 和流函數(shù) ，若存在，則求之。答 ：（1） uy，vx求速度勢(shì)函數(shù)：1 vu11 11 0，為有旋流動(dòng)，勢(shì)函數(shù) 不存在。z2 xy2求流函數(shù)：由于 uv 0 0 0，滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，

10、流函數(shù) 存在：xy1vdx xdxydy2y2 。u x y ， v xy求速度勢(shì)函數(shù)：1 vu11 1 0，為有旋流動(dòng)，勢(shì)函數(shù) 不存在。z2 xy2求流函數(shù)：由于 uv 1 1 2 0不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程流函數(shù) 不存在。xyu x2y2 x，v2xy y求速度勢(shì)函數(shù)：1 vu12y2y0，為無旋流動(dòng)，勢(shì)函數(shù) 存在：z2 xy2udx vdyx2x2xy y1 x2y220,0110,01x,0 x2x32xy2y22求流函數(shù)：由于 uv2x 12x 1 0滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程流函數(shù) xy存在：1vdx 2xydxx2x,0y2y dy 2x2y xyy3。3已知?dú)W拉參數(shù)表示的速

11、度分布為u Ax，vAy，求流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡。答：由軌跡方程dx dy dt，并將u Ax和vAy代入得到：uvdx Axdtdyaydt或者寫成：dx xdyy兩端同時(shí)積分，得到：At C1x C，即1eAtlnyAt C2y C e 2uvwxyz已知流場(chǎng)的速度分布為u x vy t，求t 0時(shí)通過 uvwxyz0得到：w 0z因此可知，速度分布與z坐標(biāo)無關(guān)，流動(dòng)為二維流動(dòng)。由流函數(shù)定義式得到：vdx udyy tdxx t dy y t x x t y 。由于流函數(shù)為常數(shù)時(shí)C表示流線，因此流線方程為：y txx t y C 。將將條件：當(dāng)t 0，x1、y 1代入上式，得C2；因此該瞬時(shí)過

12、的流方程為：xy 1 0。已知平面不可壓縮流體的速度分布為u v求t 1時(shí)過點(diǎn)的流線及此時(shí)處在這一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度和軌跡。答：（1）求流線方程：由于 uv 2xt 2xt 0，流函數(shù) 存在，且為： xyvdx udy0 dxx2tdy x2yt；0,00,0 x,0則流線方程為：x2 yt C ；將條件：當(dāng)t 1時(shí)，x2、y 1代入，得C 4；則該瞬時(shí)過將(點(diǎn)的流線方為：x2 y 4。求加速度：axutuuxvuyx2x2t2xt2xyt 0 x212xt2ayvtuvxvvy2xyx2t2yt2xyt2xt2xy2x2將條件：t 1時(shí)，x2、y 1代入，得到該瞬時(shí)過將(點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的

13、加速度為：a12xa12y軌跡方程：x2 ,y 。t2設(shè)不可壓縮流體的速度分布為）u ax2by2dxy eyz （2 ）u y2z2b2c2,v sinx2z2a2c2。其中abcdef速度分布 w 。uvwuvwxyzw ez d 2ax，z0，得到：兩端同時(shí)積分得到：1w d 2a xz C2x,y 。（2）將速度分布代入連續(xù)方程： uvw0，xyz由于：u x0 ， v 0；y因此：w 0z兩端同時(shí)積分得到：w x,y,z C x,y 。2有一擴(kuò)大渠道，已知兩壁面交角為1出的體積流量為1 t （m/s ），試求（1）t 0時(shí)壁面上r 2處2的速度和加速度。答：（1）求速度分布：設(shè)半徑為

14、r 處的徑向速度為vr，周向速度為v 。顯然v0，且vrS Q ；其中：S 1 r1 r，因此徑向速度分布為：v11 1 t；rrr 2求加速度：vv1 1 12；arvrtrtrrr r32當(dāng)t 0時(shí)，在r 2處：v1 1 01a11 1 0 217r2 2，4r2 23。232u 3ax23ay2u v 0，試求通過及 答：（1）求速度分布：由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程 uv 0，得到：xyvu6ax，yx兩端同時(shí)對(duì) y 積分：v6axy C 將條件：在點(diǎn)v 0代入上式，得到：C0因此：v6axy 。 u 3ax23ay2v6axy。求流函數(shù)：vdx 0 dx3ax23ay2 dy 3ax

15、2 y ay3。0,00,0 x,0求流量：利用流函數(shù)的性質(zhì)：流場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的流函數(shù)之差等于通過兩點(diǎn)之間連線的體積流量。由于： 0,00， 0,1a；因此流量為：Q0,00,10aa。設(shè)流場(chǎng)的速度分布為u 2az，其中a 為常數(shù)（1）求線變形速率角變形速率，體積膨脹率）問該流場(chǎng)是否為無旋場(chǎng)？若是無旋場(chǎng)求出速度勢(shì)。答：（1）線形變速率為：uxxxa，v a，wyyyzz2a；角形變速率為：1 vu0，1 wv0，1uw0；xy2 xyyz2yzzx2zx體積膨脹率為：a a 2a 0。xxyyzz（2）求速度勢(shì)：由于平均角速度的三個(gè)分量分別為：1 wvx2yz0，1uwy2zx0，1 vu0，z

16、2 xy因此：ijk 0 xyz即流場(chǎng)為無旋流場(chǎng)，速度勢(shì)函數(shù) 存在，且為：xyz11udxvdywdzax2ay2az2。22000設(shè)流場(chǎng)的速度分布為u y z x 2y。試求）渦量及渦線方程；（2）x y z 1平面上通過橫截面積dA 1mm 2的渦通量。答：（1）求渦量和渦線方程：流場(chǎng)的平均旋轉(zhuǎn)角速度 的三個(gè)分量分別為：1 wv12 11，x2yz221uw1 2 11，y2zx221 vu12 11。z2 xy22因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為：i j k；2則渦量為：i j k其三個(gè)分量分別為：i，j，k；xyz將其代入到渦線方程：dxdydz，得到：xyzdx dzdy dz兩端同時(shí)積分得到渦

17、線方程：z C1 。z C2（2）渦通量：將渦量 在S 上積分，得到渦通量為：JndSxSSjk n i nyyxj n k dSznx xySn dSyy zn n i n j n k，為平面x y z 1的單位外法向量。xyz設(shè)F x y z1， 則 ：F 1， Fxy1， F 1； zS平面外法向量n在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為：3F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1x33F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1y33F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1z3因此：Jnx xynyy dS111dS333333333SS333dSdA333 5時(shí)，u5y5x1y，

18、v51x；r 5時(shí)，5u，vx2y2x2。試求沿圓周x2y2R2 R 分u2v2別為（1）R 3， （2） R 5 ，和 （3） R 10u2v2在半徑為rvr0，v；當(dāng)r 5時(shí)：1y1 sin r，551x 1cos r，55u2v215u2v215222r25當(dāng)r 5時(shí)：5y5sin r5sin ，x2y2sin rcos r2r5x5cos r5 cos；x2y2sin r2cos r2ru2v25sinru2v25sinr25cosr2r（2）求速度環(huán)量：速度環(huán)量Cv dl。C其 中 v v errv e ， dl dr errd e ee 分別為r和 方向上的單位向量。r因此：v e

19、Crv edrer2rd evrdv rd 。CC0當(dāng)r 3時(shí)：r2 r218v，5C當(dāng)r 5時(shí)：rdr2；5550vr，5C當(dāng)r 10時(shí)：2 r2rdr255010 ；v5，r2 5rd10 。r0設(shè)在點(diǎn)置有的旋渦，在 點(diǎn)置有的旋渦，試求下列路線的00速度環(huán)量）x2y24，（2） y21，(3)x2的一個(gè)方形框，（4）x的一個(gè)方形框。答：（1）000（2）0（3）000（4）0第四章 流體動(dòng)力學(xué)基本定理及其應(yīng)用歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程和伯努利方程的前提條件是什么，其中每一項(xiàng)代表什么意義？答：（1）歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用，其矢量表達(dá)式為：vvvf 1 t慣性力、質(zhì)量力和壓

20、力表面力。（2）伯努利方程的應(yīng)用前提條件是：理想流體的定常運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量力有勢(shì)，正壓流體，沿流線積分。單位質(zhì)量理想流體的伯努利方程的表達(dá)式為：2p gz C，從左至右方程2程表示沿流線流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。設(shè)進(jìn)入汽化器的空氣體積流量為Q/s，進(jìn)氣管最狹窄斷面直徑D=40mm，噴油嘴直徑d=10mm。試確定汽化器的真空度。又若噴油嘴內(nèi)徑 d=6mm，汽油液面距噴油嘴高度為50cm ，試計(jì)算噴油量。汽油的重度7355N 3 。答：（1）求A設(shè)進(jìn)氣管最狹窄處的空氣速度為v1，壓力為 p1，則根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到：1 D2d2 vQ，41v。1D2d2pv選一條流線，流線上一點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處F，一點(diǎn)為A

21、 點(diǎn)；并且：FpFp ，v0；0F在 A 點(diǎn)： pAp?vv。1A1將以上述條件代入到伯努利方程中，可以得到：p0pv2112g因此真空度為：118 Q21ppp v2 v012 2D2d22D2d2 2若取空氣的密度為3 ，那么計(jì)算得到：p8 226 1521p v14204202 29.95 103 Pa 。求噴油量：設(shè)噴油嘴處汽油的速度為v2，并設(shè)空氣的密度為1汽油的重度為選12一條流線，流線上一點(diǎn)為上述的A 點(diǎn)，另一點(diǎn)為汽油液面上的B 點(diǎn)；并且：App1 v2 ，vv?，h 50cm ；A102 1A2ABpBp ，v00，z0；B代入到伯努利方程中，可以得到：1 p1 v2p2h00

22、 0 ；02 12g22整理得到：v21 2122gh；因此汽油噴出速度為：1 v1 v22gh122其中空氣重度g 1.226 9.81 12N /m113 ；v14QD2d2，并注意到噴油嘴的直徑是 6mm ，而不是原來的 10mm ，則計(jì)算得到： 16 01527355314204200622 9.81 0.523.817m /s因此汽油流量為：11Qd2v2424140062817079 104m3s10cm3s。U 形彎管的體積流量Q=0.01m ，彎管截面由S =50cm 2減小1到S =10cm 2v v 均勻，若S 截面上的壓力為一個(gè)工程大氣壓，求水流對(duì)彎管2122的作用力及作

23、用點(diǎn)的位置。1000kg3。答：（1）求截面S 和S 上的流速v 和v ：1212由連續(xù)方程可知：vQ32m/s，1S50 10 4 m21vQ310m/s；2S10 10 4 m22求S上的壓力p：11已知S 上的壓力p1個(gè)工程大氣壓 0.981105Pa；22由伯努利方程：pv2pv211222g2g得到：11ppv2v2 1051000 100 4 105 Pa。122122求水流對(duì)彎管的作用力P 由動(dòng)量定理可以得到：P -P-P12v2S1v2 S 。22其中P和P1分別為在S 和S1上，外界對(duì)水流的作用力；在此需要注意到，對(duì)于整個(gè)彎管，大氣壓力對(duì)其的作用力合力為 0 。因此：S 截面

24、上作用力為：1Ppp S110 105 10550 104240N ，S 截面上作用力為：2Ppp S0。2202因此：PPv2Sv2S24010322501041021010411 12 2240 120 360N求作用力P的作用點(diǎn)：設(shè)作用點(diǎn)距S1截面中心線的距離為e，兩管中心線之間的距離為L 。由動(dòng)量矩定理可以得到：P ev2 S L；22即：ev2 S2210310210 10-41000.278。LP360360d =20cm 減小到d =15cm6012p =7840N/m2，流過彎管流體的體積流量 Q=0.08m 3/s1用點(diǎn)的位置。答：首先應(yīng)注意到，表壓力讀數(shù)指相對(duì)壓力。也就是說

25、，S1截面處壓力p1和利用伯努利方程得到的S 截面的壓力p 022因此在S 和S 截面上，均應(yīng)以相對(duì)壓力值計(jì)算。12利用連續(xù)方程求截面S和S 上的流速v和v ：1212vQ4Q ，Q4Q；1Sd112Sd222利用伯努利方程求S p ：22根據(jù)伯努利方程：pv2pv211222g2g可以得到：pp1v2v2 ；21212求管壁對(duì)流體的作用力F 和F ：xy求x方向作用力分量F ：x由動(dòng)量定理：FP sinvx22v sin S022其中PpS 為S 截面上外界對(duì)管內(nèi)流體的作用力；整理得到：22 22Fsin Px1v2S2 p22sin S2pv2v2v2 sin S1212221pv2v2s

26、in S12122p116Q216Q2sin S122d42d4212p8 Q211sin S12d4d421238 103008211137840142 152326N31422024015424y 方向作用力分量F ：y由動(dòng)量定理：FPPy1cosv vS11 v v cos S ，2 22其中P1pS為S1 1截面上外界對(duì)管內(nèi)流體的作用力，整理得到：FPv2SPy11 12v2S2 cospv2 Sp111v2 S2cos7840 10316 0082132633142 022331422450 188 262N求力的作用點(diǎn)：0244如圖所示，設(shè)流體對(duì)彎管的作用力F 和F 與xy 軸的距

27、離分別為e 和e ，由于xyyxS 和S 上所有外力和流體動(dòng)量均通過坐標(biāo)原點(diǎn)由動(dòng)量矩定理可知ee0即合力作12xy用點(diǎn)通過坐標(biāo)原點(diǎn)。v =30m/s ，水柱的體積流量0Q=294m3/s，分流量Q =118 m 3/s。試求水柱作用在平板上的作用力和水流偏轉(zhuǎn)角 。1設(shè)液體的重量和粘性可略去不計(jì)，水柱四周的壓力處處為大氣壓。答：（1）由伯努利方程可知vvv；120）設(shè)流束寬度分別 為b0b和b1，則有b0Q ，b01Q 11Q 1；又由連續(xù)方程可知：QQ21因此：bQ -Q 21Q -Q1/v ；0應(yīng)用動(dòng)量定理求平板對(duì)流體的作用力和偏轉(zhuǎn)角：求偏轉(zhuǎn)角度 ：在y方向，平板對(duì)流體的作用力F0，即：y0

28、vv b11v v sin b ；222整理得到：v2bv2sinb01 122將vv12v 代入，可以得到：01sinb1Q 10Q1181，bQ Q 21Q Q294 1181即：。求x方向作用力分量F ：x由動(dòng)量定理得到：Fv v bx00 v v cos b222整理得到：Fv2 bb cosFv2 bb cosv21cosv QQQcosx0020vv010010330 294 294 118106 )1 中的水經(jīng)光滑無阻力的圓孔口水平射出，沖到一平板上。平板封蓋著另一水箱 2 的孔口，水箱 1 中的水位高度為h ，水箱 2 中的水位高度為h ，兩孔口中心重合，12而且直徑 d =d

29、 /2。若射流的形狀是對(duì)稱的，沖擊到平板后轉(zhuǎn)向平行于平板的方向，并向12四周均勻流出。假定流動(dòng)是無粘性不可壓定常的，平板和水質(zhì)量力不計(jì)。當(dāng)已知h 和水的1密度 時(shí)，求保持平板封蓋住水箱 2 的孔口是h 最大值。2答 ：（1）1V ：1在水箱 1 的自由液面上選取A 點(diǎn)，在出口截面上選取B 點(diǎn)；A 點(diǎn)： pAp ，V00，hAhp1為大氣壓力；B 點(diǎn)： pBp ，V0V?h0。1B由過A 、B 兩點(diǎn)的伯努利方程：p1p V2AghV2BghAA2 BB得到：1p1p00gh 21V20g 0；2 1因此：2gh1V22gh，V2gh1111求水流對(duì)封板的作用力P ：由動(dòng)量定理，沿垂直于封板的方向

30、：1111P 0 ( v )vd2d2v2d 2 2ghghd2；BB 4 141 B4121 12h ：m ax在封板右側(cè)水箱2形心處的靜壓力為pghmax，因此封板受到水箱 2 的靜水壓力：11Ppd2gh d 2 。4 2max 2當(dāng)封板左右兩側(cè)壓力相同時(shí)，即P P 時(shí)：11ghd2ghd221 1max2注意到d11d，整理可得：d2 2h1h21h。max2 12 1工程中常用文丘里）管測(cè)量管路中水的流量。管路和收縮管段截面積分別為1S 、S ，水的密度和U 形測(cè)壓計(jì)中液體的密度分別為 、1mm性，試導(dǎo)出圖示傾斜管路中水的流量Q 與測(cè)壓計(jì)中液體的高度差讀數(shù)h 之間的關(guān)系式。1-12-

31、2 的流速分別為v1和v ，則由連續(xù)方程可知：2vSv S；1 12 2又設(shè)管路的流量為Q ，則：v Q ，v11Q /S ；2選取沿管路軸線的流線，由伯努利方程可得到：p1p11v2z 2v2，2 1122 2整理得到：pp1v2gz ；（1）1222112取U 形測(cè)壓計(jì)內(nèi)液體的左側(cè)Appg(zA11h1ppg(zhh)gh；B221m由于pp ，則可得到：ABpg zhpg(zhh)gh；111221m整理可得：ppg zzgh；（2）1212m將（2）代入到）中，可得：gz zgh1QQg z z ；122S2S21221再經(jīng)整理得到：2ghS2S22ghQ2m12 ，QmS S。S2S

32、2S2S21 21212圓管內(nèi)不可壓縮定常流動(dòng)如圖所示。入口處流速Ux處為拋物形速度分布：urc0U ，其中r為離管軸的徑向距離，c為一未知常數(shù)。入口處和x處管p p （1試確定常數(shù)c；（2）0 x證明作用在o至x間，管壁上總的摩擦阻力Dr2p001pU2。x3答：（1）入口處流量為：Q ；由連續(xù)方程可知，x處截面的流量也是Q 。00又由于通過x截面半徑r處環(huán)形微元面積ds 2 rdr上的流量為：dQ2 rurdr對(duì)其積分可得到：0rQr2rurdr 20 rcUdr 2 0rr dr；00000即：002 0；2 00因此得到：c 2；r20則速度分布為：2urr2U 1。000（2）入口處

33、流體的動(dòng)量為： U2 x 截面上，通過半徑為r處的環(huán)形面積00流體的動(dòng)量為：dM2 rdr u r ur2 將上式積分得到：2rr42M0 2 20 r 2 1dr2；00300由動(dòng)量定理可知，動(dòng)量的變化量等于外力的合力，因此：422ppD；30000 x0其中D 為圓管對(duì)流體的摩擦阻力，整理得到：11Dp r2r22 pU 2 。00 x03000 x3RPQ 三點(diǎn)的誘導(dǎo)速度。答：由畢奧-沙伐爾定律可知，渦線對(duì)空間一點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為：V求渦線對(duì)R31231coscos；4R21VR14coscos；21dd2其中0，cos1dd2221因此：d2d2R14l渦線 2 ：方向垂直紙面向內(nèi)：cos

34、2，coscoscos；lld2ld2則：ld2lld2ld2ld2R24d2d渦線 3 ：方向垂直紙面向外：VVR3R1則對(duì) R 點(diǎn)總誘導(dǎo)速度為：dd2l2 ddd2l2 dd2RR1R22l求渦線對(duì)Q 點(diǎn)的誘導(dǎo)速度：13dd2cos1dd221則：VVQ1Q34coscos11；ld2ldld2ld2渦線 2 方向垂直紙面向外：ldld2Q2R22 d則對(duì)Q 點(diǎn)總誘導(dǎo)速度為：VQQV1dl；d22 dd22 dd2求渦線對(duì)P13cos1，cos0；21VV1 0；P1P34l4l則：V。PP12l第五章勢(shì)流理論流速為u求：(1)點(diǎn)渦的強(qiáng)度；(2) (0,5點(diǎn)) 的流速以及通過駐點(diǎn)的流線方程

35、。答：（1）求點(diǎn)渦的強(qiáng)度 ：設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為 ，則均勻流的速度勢(shì)和流函數(shù)分別為：ux，uy；1010點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)為：yarctg ， 1y2；22x222因此，流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)為：u x120y arctg2urcos，02u12y 21y2uysinlnr；02則速度分布為：uuxyy，2x2y2vx；yx2x2y2由于(0, 5)為駐點(diǎn)，代入上式第一式中則得到：u0250，( 5)2整理得到：10 u100 。0（2）求點(diǎn)的速度：將100 代入到速度分布中，得到：u u10 1001050 y ，02x22x2x2y2vx100 x50 x ；2x2y22x2y2x2y2將x 0

36、y 5代入上述速度分布函數(shù)，得到：u 10 50 5 10 10 20 （m/s ），0252v 50 00（m/s）；0252（3）求通過(0,5)點(diǎn)的流線方程：由流函數(shù)的性質(zhì)可知，流函數(shù)為常數(shù)時(shí)表示流線方程C，則流線方程為：uy 021y2C；將x 0y 5代入，得到：100C 10 5ln022則過該點(diǎn)的流線方程為：15250 50 ；10010y 2整理得到：1y250 50 ，y 51y25 5 ln5平面勢(shì)流由點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加而成，點(diǎn)源位于（-1，0），其流量為=20m 3/s，點(diǎn)匯1位于（2,0）點(diǎn)，其流量為=40m 3/s，已知流體密度為 3，流場(chǎng)中（00）20（0,1）和（1,

37、1）答：（1）求、和點(diǎn)的速度：點(diǎn)源的速度勢(shì)為：1m 1 ln x 121y2 m 1 ln x 14y2 ，點(diǎn)匯的速度勢(shì)為：2m 2 ln x 221y2 2m 1 ln x 24y2 ；mu121x 1m2x 2，xxx2x 12y22x 22y2v12m1ym2y；yyy2x 12y22x 22y2將x 0、y 0代入，并注意到m及m，得到點(diǎn)的速度為：1122u m 10 1m20 2m1 m120 1 4020，20 120220 220222 222 2v m10m200；20 120220 2202其合速度為：u2u2v2(0,0)20（m/s。將x 0y 1代入，得到點(diǎn)的速度為：u

38、 m 11m20 21 m2 m2122252212225221 20 1 40121222521 20 2 40 13，20 1220 225 2v m11m21；20 1220 2其合速度為：V(0,1)（m/s。u2v213212170將x 1yu2v213212170m1m21 22 m1 m122 20 1 40 14，21 1221 225 22 25 22 2m1m11 20 1 4082；21 1221 225 22 2260其合速度為：260V(1,1)（m/s。u2v214282（2）設(shè)、u2v2142820pp1，且由題意知p00，則由伯努利方程：p1p10V22 1V2

39、，2 p1p10V22 2V22 因此可得：11202170115115pV212V222221428 21（N/m 2，112022607070pV222V22222142818（N/m 2。直徑為2m 的圓柱體在水下深度為H=10m以水平速度 u =10m/s 運(yùn)動(dòng)。試求）0ABCD 四點(diǎn)的絕對(duì)壓力；）若圓柱體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還繞本身軸線以角速度60r/min BD 兩點(diǎn)的速度和壓力。此時(shí)若水深增至 100m空泡時(shí)的速度（152.3323N/m 2）。答：（1）求AB、CD 四點(diǎn)的絕對(duì)壓力：ABCDp p p pABCD，相對(duì)壓力分別為 pA0、 p 、B0p p 1、-313，則：C0D0A

40、點(diǎn)的絕對(duì)壓力：ppAAC 1 u2ppA 20gH C 1 u2pA 201 105 103 10 1 1031022 1032)C1Cppu2gHRC 1 u2BpB 20apB 20 105 10310 13 1031022103 2 )ppCC1 u2ppC 20gH 1 u2pC 201 105 103 10 1 1031022 1032)ppDDC1 u2ppD 20gHRC1 u2pD 201 105 10310 1 3 1031022103 2 )求駐點(diǎn)位置和BD 點(diǎn)的速度和壓力：圓柱半徑R 1（m），旋轉(zhuǎn)角速度60因此漩渦強(qiáng)度為：v dl2 RRd2 R22 2；c0柱面上r

41、R處，速度分布為：v0，rvsin；02R 在駐點(diǎn)、C點(diǎn)）v0，即：sin002R將R 1、u10和202 代入上式，得到：sin，10則：arcsi0314，arcsi0314；12 在B點(diǎn)，則速度為：2vsin2 10 sin2 220 （m/s）；02 R2 21壓力系數(shù)為：2C12sin12 p2 uR02 22 210 15.91；相對(duì)壓力為：11ppBBCu2p 20 103102105 （N/m2）；2其中 B 點(diǎn)靜水壓力為：ppR ) 105 10310 1 189590 （N/m 2），B0a則 B 點(diǎn)處絕對(duì)壓力為：1ppBBCu2p 20189590 29550010591

42、0 （N/m2）； 在D 點(diǎn)，則速度為：2vsin2 10 sin2 220 （m/s ）；02R221壓力系數(shù)為：2C12sin12 p2 uR02 22210 1；相對(duì)壓力為：ppDDC 1 u2p 201 10310244100 （N/m2）；2其中D 點(diǎn)靜水壓力為：ppgR ) 105 10310 1 209210 （N/m 2），D0a則 D 點(diǎn)處絕對(duì)壓力為：ppDDC 1 u2p 20209210 44100 165110 （N/m 2）；B 點(diǎn)的壓力系數(shù)最低，首先在B100m 時(shí)，B水壓力為：ppgHR) 1013 10510 103981 100 1 107249（N/m 2，

43、B0a壓力系數(shù)為：2C12sin12 p2 uR02 222212；22 210 1u0絕對(duì)壓力為：1ppBBCu2p 20B點(diǎn)發(fā)生空泡的臨界值為pp ，且由給定條件知p 103（N/m 2）；代入上式Bcc得到：pcpC 1 u2B0p 20p1 u2B0201 2 2 u 2，0將上式整理得到關(guān)于u 的一元二次方程：0Au0BuC00其中系數(shù)：3，8 ，4 22 ppB0c解得：4 31422 1031072490 2332；8824 3 u8 8824 3 066（m/s）。即當(dāng)u（m/s）時(shí)將發(fā)生空泡。0）u=U cosav=U sina；（2）強(qiáng)度為m ，位于（a，0）00點(diǎn)的平面點(diǎn)

44、源；3）強(qiáng)度為位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦；4）強(qiáng)度為M ，方向?yàn)閍面偶極。答 ：（1） u u cos ， v u sin ：00udx vdyu0cos dx u0sin dy u0cos x u0sin y，vdxudyu sin dxu cos dyu sinxu cosy；0000W zi u cosxu sinyiu sin xu cosy0000u cosxiucosyu sin yiusinx0000u cos x iy iu sin xiy00u cos z iu sin z00uzcosu0zeiz強(qiáng)度為m ，位于點(diǎn)的平面點(diǎn)源：m ln x a1y2 2 ，m arctg y ；22x

45、a以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立新的坐標(biāo)系o xy；在新坐標(biāo)系中：m ，m arctg ，W zim lnz；222由于新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為：x x a，yy；rx a1yy2 2，arctg；x a因此：W zm lnx m ln x a iym ln x iy am ln z a；2222強(qiáng)度為 ，位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦：arctgyln1y2 lnr；2x222W zii i2222iii 222強(qiáng)度為M ，方向?yàn)?，位于原點(diǎn)的平面偶極：以原點(diǎn)為圓心，將坐標(biāo)系o xy逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，得到新坐標(biāo)系o xy 中，速度勢(shì)和流函數(shù)分別為：M cos M sin，W ziM ；2r2r2z由于新舊坐標(biāo)系間的關(guān)系為：r

46、 r，z rei代入到上式可得：MMMeiMeW z；2 z2 2 2 z點(diǎn)放置一強(qiáng)度為2 x 0）固壁上流體的速度分布及速度達(dá)到最大值的位置2p m m，其中t為時(shí)間變量，求壁面上的壓力分布。）用位于和，強(qiáng)度均為m 2 的兩個(gè)點(diǎn)源，可以構(gòu)造位于x 0的壁面，其速度勢(shì)為：m ln x a 212m ln x a 22211y2 21y2 1 ln x a 22ln x a21y2 ，y2 ；122ln x a2y2ln x a2y2 2速度分布為：ux ax a，x a2y2x a2y2vyy；x a2y2x a2y2在壁面上x 0，則壁面上速度分布為：u 0 ， v由于：2y；a2y2dv

47、2a2y22 y 2 y2a2y2；dya2y2 2a2y2 2令上式為 0 ，則得到：y2a2，ya；即在點(diǎn) 0,a 和 0, a ，速度達(dá)到最大值，且為：vmax2a1；a2a2a當(dāng)y時(shí)，vlim 2y0，由伯努利方程得到：ya2y2p1v2p 1 v2，221112y22 y2ppv2v2v2；222a2a2y2 2將壁面上的壓力分布pp沿整個(gè)壁面進(jìn)行積分，得到流體作用于壁面的作用力P ：Pppdy2 y2dy y2dy 4a2y2 0a2y2 4aa即沿壁面的作用力為P。a當(dāng)mm t時(shí)，速度勢(shì)為：m t1m t ln x a 12y2 2ln x a4y2 ，m t ln x a 22

48、1y2 m t ln x a4y2 ；m tm tln x a2y2ln x a y2 ；1244速度分布為：m tx ax au，x2x a2y2x a2y2vm tyyv ；y2x a2y2x a2y2在壁面上x 0，則壁面上速度分布為：u0 ， m t2ym ty；a2y2a2y2由于：dv m t a2y2y 2ya2y2；dya2y2 a2y2 2令上式為 0 ，則得到：y2a2，ya；即在點(diǎn) 0,a 和 0, a ，速度達(dá)到最大值，且為：vmaxm tam t；a2a22a（2）當(dāng)y時(shí)，vlim myy0，由伯努利方程得到：a2y2p1v2p 1 v2，22111m ty2m 2

49、ty2ppv2v2v2；222a22 2 a2y2 2已知復(fù)勢(shì)為W z 2z 8/z ，求）流場(chǎng)的速度分布及繞圓周x2y210）驗(yàn)證有一條流線與x2y24的圓柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圓柱體的作用力。答：（1）求速度分布及繞圓周x2y210的環(huán)量： 求速度分布：由復(fù)勢(shì)的定義可知：dW zu dzdW z2 8dz2z8 x iy23i x iyx iy2 x iy2x iy x iy2 8x22ixy y2 3yx2y2 22 8x2y2x2y2 216ixy x2y2 y23yx2y2x2y22 3x2y 3y38x28y2i3x23xy216xyx2y2 2x2y2 2因此：u 2 求

50、環(huán)量：3x2y 3y38x28x2y2 2v3x216xyv，；x2y2 2該流動(dòng)由三個(gè)簡(jiǎn)單流動(dòng)組成：第一個(gè)：2z為沿x方向的均勻流，u02；第二個(gè)：8是位于原點(diǎn)的偶極，設(shè)其強(qiáng)度為M ，則z28，M16 ；第三個(gè)： 3ilnz是位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦，設(shè)其強(qiáng)度為 ，則23，6 。因此繞x2y210的環(huán)量為16 。（2）將復(fù)勢(shì)改寫成下述形式：W z 2z 8 3ilnzz8ri8rii2rcos8r1 cos3 2rcos8r1cos8ir1sin3 2rcos8r1cos3i2rsin8r1sin3lnr則流函數(shù)為：ImW z2rsin8r1sin32y 83當(dāng)x2y24r 2，代入上式可得：2 y

51、8 y 3lnr 2 y 8 y 3ln2 3ln2 C （ 常 數(shù) ）說明x24y24確是一條流線。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面x2y24上的共軛合力為：idW 2Pdz；2dzc其中：dW2 8 ，dzzdW 22 8 4 12i1 41 48i 64 ；dzzz 由留數(shù)定理可知，上式中僅第二項(xiàng)對(duì)積分有貢獻(xiàn)，因此：dW 2dz 2i24 ，dzcPidW 2dz i24 ；2dz2c由于：P X iY，得到：水平分力：X 0，垂向分力（升力：Y 12。如習(xí)題5-3圖所示設(shè)直徑為D 2m 的圓柱體在水下深度為H 10m 的水平面上以速度u10m/s 作勻速直線運(yùn)動(dòng)）試寫出流動(dòng)的絕對(duì)速度勢(shì)、

52、牽連速度勢(shì)、相0）ABCD 及135的絕對(duì)速度。答：（1）設(shè)圓柱半徑為aD，則得到：2單位相對(duì)速度勢(shì)： *0rcos 1 a2，相對(duì)速度勢(shì)： *u rcos 1 a2 0，牽連速度勢(shì)：uxu rcos ，e00a2a2絕對(duì)速度勢(shì)：*u rcos 1e0urcosu0cos，r單位絕對(duì)速度勢(shì)：0cos a2 r vcos a2v1u sin a2 ，；rr0rr0在柱面上r a，代入上式，得到柱面上的速度分布為：vu cos ，vur0sin ；A點(diǎn)，：vru，v0；0B：v0，vu ；2r0C點(diǎn)，0：vru ，v0；0點(diǎn)，3 ： 0，vu；2r45：v4r022u，vu；222 02 0135

53、3 ：vu24r2 2vu。22 02若一半經(jīng)為r0的圓球在靜水中速度從 0 加速至u，試求需對(duì)其作多少功？0答：當(dāng)圓球加速至u 時(shí)，其總動(dòng)能為：01mk211u2 ；0其中：m42r3 為圓球的質(zhì)量，r3 為水的附加質(zhì)量，為圓球的密度，為3 101132 012水的密度。做功等于動(dòng)能：11 421WEk2u21102 3r3103 u22 003 0u2 。120LR 的垂直圓柱體，設(shè)其軸心被長度為l的繩子所系軸線自轉(zhuǎn)。已知圓柱體重量為G ，液體密度為 ，并假定l R，試求繩子所受的張力。答：設(shè)繩子的張力為T，則圓柱體公轉(zhuǎn)向心力為：T F M 其中： F 為圓柱體自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力，且等于：F

54、vl；v l 為公轉(zhuǎn)線速度， 為自轉(zhuǎn)的速度環(huán)量，且等于：其中：v dl0112 R Rd2 R0vR1Rd 為柱體表面微元弧長；因此升力為：Fll2 R22；M 為總質(zhì)量：Mm mLR2LR2LR2 ；11其中：m 為柱體質(zhì)量，為柱體密度；m 為水的附加質(zhì)量， 為水的密度；因此張力為：1T M 2l F2lLR22。1Ru=u ）t=0 時(shí)，它靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)，液體密度為，圓柱體密度為及 t=2s 時(shí)圓柱體的位置。答：由牛頓第二定律可知推力為：F Ma其中：a du dt；Mm m ；mR2為柱體質(zhì)量；mR2為液體的附加質(zhì)量；0因此可以得到推力為：FMaR2u ；0由于柱體運(yùn)動(dòng)微元距離為ds u

55、dt，因此：1sudttdt 02c；0由于t 0時(shí)s 0，代入上式得到c 0，則：1su2 0當(dāng)t 2s 1u2 012 022。0第六章水波理論6-1 求波長為 145m 的海洋波傳播速度和波動(dòng)周期，假定海洋是無限深的。答：c 145 14515052（m/s，1459633（；145即傳播速度為15.052m/s，波動(dòng)周期為9.633（ 6-210m/s 移動(dòng)，試求這些波的波長和周期。答：c210264（m，64 6464（；即波長為64（m，波浪周期為6.。證明WAcos2iHt為水深為H 的進(jìn)行波的復(fù)勢(shì)，其中x為復(fù)變數(shù)， y 軸垂直向上， 原點(diǎn)在靜水面上。 并證明22 th2 H （

56、 提示：cos x iy cosxchy isinxshy） 。答：在圖示坐標(biāo)系中，平面進(jìn)行波的速度勢(shì)為：ag chk y H sinkxchkH在xy方向的速度分別為：ua chk y Hcoskxt，shkHva shk y Hsinkxt；shkH由上述速度分布得到二維波浪運(yùn)動(dòng)的流函數(shù)為：vdx udyshk y Hsinkxtdx chk y HcoskxtdyshkHshkHashk y H coskxkshkHag shk y H coskxchkH因此，二維波浪運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢(shì)為：W zi ag chk y Hsinkxt iag shk y coskxtchkHchkHag1chk

57、y H sinkxt ishky H coskxchkH在上式中，令：A ag1 ，X kxt， Y k y H ；chkH則可得到：W zA chY ishY cosXA chY cos2XishYsin2A chY cos X2ishY sinX2由提示cosx iy cosxchy W zAcosX2Acoskxt2ik y HA cos kx iy ikHt2在水深為d的水平底部（即zd處），用壓力傳感器記錄到沿x方向傳播的進(jìn)行波的波壓力為pt。設(shè)pt的最大高度（相對(duì)平衡態(tài)來說）為H ，圓頻率為 ，試確定所應(yīng)的自由面波動(dòng)的圓頻率和振幅。0答：微幅平面進(jìn)行波的壓力分布函數(shù)為 p t p0

58、gz。對(duì)于有限水深d，其速度t勢(shì)為：ag chk zd sinkxt，chkd對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：ag chk z dcoskxt；tchkd其中a為表面波幅值， 為波動(dòng)的圓頻率，代入到壓力分布函數(shù)中，得到：p t p0ag chk z d coskxtchkd當(dāng)zd時(shí)，代入上式得到：p t p0ag chk d dcoskxtg chkdp0ag chkdcoskxt若波壓高度為H ，則其幅值為H ，因此根據(jù)上式得到Hag ，整理得到：2chkdaH chkd2 g并且從波壓分布方程可見，若波壓頻率為 ，則自由波面頻率。70mu 航行。今有追隨船后并與船航行方向一致的o波浪以傳播速度 c 追趕該

59、船。它趕過一個(gè)船長的時(shí)間是 16.5s，而趕過一個(gè)波長的時(shí)間是6s。求波長及船速u 。o答：設(shè)船長為L，波長為 ，波速為c，波浪周期為T，則可得到：c u L（1）0c u6（2）0兩式相比較得到：波長：6L670 2545m，波速：c 630（m/s，船速： u0c 66（m/s。重力場(chǎng)中有限水深微幅進(jìn)行波的波面為Acoskxt，其中A為波幅；設(shè)流場(chǎng)速度勢(shì)為Bchk z hsinkxt，試求（1）常數(shù)B；（2）波數(shù)k與頻率 關(guān)系；）波的傳播速度c與波長 的關(guān)系。答：（1）由線性自由表面動(dòng)力學(xué)條件得到：1Bchk z hcoskxt，gtg注意到在自由表面z 0，代入上式得到：1Bchkhco

60、skxgtg將該式與給定的波面方程Acoskxt進(jìn)行比較，可得到：A chkhgBAg。chkh將上述常數(shù)代入到速度勢(shì)函數(shù)中得到：Ag chk z hsinkxt，chkhAg chk z hcoskxt，tchkh2Ag chk z chkhsinkxt，Agk shk z hsinkxt；zchkh在自由表面z 0上，得到：2Ag chk 0 chkhsinkxtAg sinkxt，Agk shk 0 hzchkhsinkxAgkthkhsinkxt；2代入到自由表面條件：gz0中，得到：Ag sinkxt Agkthkhsinkxt 0，整理得到：波速2 。；TTk由 因此： cgkth