專題07 立體幾何截面12種歸類2021-2022學年高一數(shù)學下學期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊)（解析版）

1、 專題07 立體幾何截面12種歸類 目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、熱點題型歸納1 HYPERLINK l _Toc17993 【題型一】 截面的基本功1：相交線法1 HYPERLINK l _Toc26924 【題型二】 截面的基本功2：平行線法5 HYPERLINK l _Toc12217 【題型三】 綜合做法8 HYPERLINK l _Toc30563 【題型四】 圓柱、圓錐截面12 HYPERLINK l _Toc30563 【題型五】 “動點”型截面14 HYPERLINK l _Toc30563 【題型六】 截面與直線（面）平行18

2、 HYPERLINK l _Toc30563 【題型七】 截面與直線（面）垂直21 HYPERLINK l _Toc30563 【題型八】 截面面積與周長24 HYPERLINK l _Toc30563 【題型九】 球截面28 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十】 截面與角度30 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十一】截面與最值33 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十二】截面大題綜合35 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新模考題組練40【題型一】 截面的基本功1：相交線法 【例1】基礎模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作

3、圖。可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。方法一：以“第三點”所在的表面中，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線如下圖，符合的有c1的表面有三個，紅色的和EF平行而不會相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍色）或者右表面（綠色的），先用上表面（紅色的）來做：所以，先補出擴展EF直線所在的前側面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G此時

4、G也在上表面了，連接GP，出來與棱A1D1交點H.連接HB，則的如右圖的截面。 再用右表面綠色的來做：則發(fā)現(xiàn)，右邊面和EF相交于前側面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I此時I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.連接FJ，則出右圖的截面。 最終，兩個合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點，幾何體是否正方體無掛具體的G,H,I,J都可以通過對應的E、F幾等分點以及幾何體長寬高的不同變化來計算出來，這個幾何體也不一定是長方體，還可以是斜棱柱，都不影響這個作圖?！纠?】如圖，在正方體中，、分別是所在棱的中點，則下列結論不正確的是（ ）A點、到平面的距離相等； B與為異面直線C；

5、D平面截該正方體的截面為正六邊形【答案】B【分析】利用中點的性質可判斷A選項的正誤；利用三角形全等可判斷B選項的正誤；利用余弦定理可判斷C選項的正誤；確定截面與各棱的交點以及截面多邊形邊長與各角的大小，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，為的中點，故點、到平面的距離相等，A對；對于B選項，延長、交于點，延長、交于點，因為，為的中點，則，所以，則，同理可知，則，即點、重合，故、相交，B錯；對于C選項，設正方體的棱長為，則，同理，所以，為等邊三角形，因為，由余弦定理可得，所以，故，則，C對；對于D選項，設平面分別交棱、于點、，因為平面平面，平面平面，平面平面，則，因為、分別為、的中點，則，因為

6、，故四邊形為平行四邊形，則，為的中點，則為的中點，同理可知為的中點，所以，、分別為棱、的中點，由勾股定理可知六邊形的邊長為，且，同理易知，故六邊形為正六邊形，D對.故選：B.【例3】已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點，作出過，三點的截面.【答案】圖象見解析【詳解】【例4】如圖，正方體中，點，分別是，的中點，過點，的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為，則（ ）ABCD【答案】C【分析】如圖所示，過點，的截面下方幾何體轉化為一個大的三棱錐，減去兩個小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.【詳解】作直線，分別交于兩點，連接分別交于兩點，如圖所示， 過點，

7、的截面即為五邊形 ，設正方體的棱長為，因為點，分別是，的中點。所以，即，因為，所以則過點，的截面下方體積為：，另一部分體積為，.故選：C.【題型二】 截面的基本功2：平行線法【例1】基礎模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖?？梢韵饶J為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點。做出過三E,F,C1點的截面特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。方法二：平行線法。本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。平行線法特征： 有兩點連線在

8、表面：EF，在前側面 方法如下：尋找C1點所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側面（綠色的）在這個面內，過C1做EF平行線，顯然必須擴展這個面了。如第三圖。注意！注意！，E與F分別在右側面和下側面上（紅色面就不要用了）注意這仨面的相交棱，下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖分別連FK與EL，交點為J與H。出截面，與第一種方法一致。 【例2】已知正方體，平面和線段，分別交于點E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（ ）A梯形B正方形C長方形D菱形【答案】A【分析】根據(jù)面面平行的性質定理，可以得出，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.【詳解】因為面面，

9、面面，面面，所以，同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.若面面，此時四邊形EFGH是正方形，也是菱形；當是所在棱的中點，分別與 重合時，四邊形EFGH是長方形.故選：A.【例3】如圖，在正方體中，E是棱的中點，則過三點A、D1、E的截面過（ ）AAB中點BBC中點CCD中點DBB1中點【答案】B【分析】根據(jù)截面特點結合正方形結構性質求解.【詳解】取的中點，連接，如圖，則，所以在截面上,故選：B【例4】在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，則過點B，P，Q的截面形狀是_.【答案】菱形【分析】取中點，證明四邊形是截面，確定其形狀后可得【詳解】連接，取中點，連接

10、，則在正方體中，所以是平行四邊形，與平行且相等，同樣由與平行且相等得是平行四邊形，與平行且相等，從而與平行且相等，所以是平行四邊形，這就是過點B，P，Q的截面，又，因此四邊形是菱形故答案為：菱形【題型三】 綜合做法【例1】如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、BC的中點，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個（ ）A三角形B平面四邊形C平面五邊形D平面六邊形【答案】D【分析】分別取、的中點，連接、，先證明四點共面，再證明平面，平面可得答案.【詳解】如圖，分別取、的中點，連接、，且M、N、P分別是棱、BC的中點，所以、，且，所以， 即四點共面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因

11、為，得，且平面，平面，所以平面，得平面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，得，又平面，平面，所以平面，得平面，所以六點共面，平面六邊形即為經(jīng)過M、N、P與正方體相交形成的截面，故選：D.【例2】如圖，正四棱錐的高為12，分別為，的中點，過點，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設AC與BD的交點為O，BM與EF交點為N,為的中點，為的中點，又因為,過點作，設，又，,為4個格，為8個格，故選：C【例3】如圖，在

12、直三棱柱中，D，E分別為，分如中點，則過點A，D，E的截面與三棱柱的側面的交線的長為_【答案】【分析】首先根據(jù)平行線將平面進行擴展得到過點A，D，E的截面與三棱柱的側面的交線為，確定點為線段的三等分點靠近的點，最后在直角三角形中求得線段的長度即可.【詳解】由題意將直三棱柱補成一個直四棱柱,取中點，連接,顯然，取中點，連接，則，所以A，D，F(xiàn)，E四點共平面，連接與的交點為，連接.所以過點A，D，F(xiàn)，E的截面與三棱柱的側面的交線為，因為，且,所以點為線段的三等分點靠近的點，因為，所以，又D為中點，所以，因為面,所以，則.故答案為：.【例4】如圖，直三棱柱，側棱長為，點是側面內一點當最大時，過、三點

13、的截面面積的最小值為_【答案】3【分析】設由余弦定理結合均值不等式可得當且僅當時，取得最大值，得到此時三棱柱是正三棱柱，過點作,連接，可得過、三點的截面即為平面，由，求出最小值，即可得到答案.【詳解】在中，設，,， 由余弦定理可得：， 即，即，由,則（當且僅當時等號成立），所以，所以即（當且僅當時等號成立），即當時，取得最大值4.此時三棱柱是正三棱柱，過點作,則,連接，過、三點的截面即為平面.，由三棱柱為直三棱柱，則平面， 所以,由，則， 所以四邊形為矩形，則，當最小時，最小.當平面時，即，最小. 此時，所以最小值為，故答案為：3.【題型四】 圓柱、圓錐截面【例1】已知某圓錐軸截面的頂角為，過

14、圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為，則該圓錐的底面半徑為（ ）ABCD【答案】A【分析】由題可求圓錐的母線長為2，結合條件即求.【詳解】如圖，由題可知，又過圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為，即，在中，.故選：A.【例2】已知圓錐的母線長為5，側面積為，過此圓錐的頂點作一截面，則截面面積最大為_【答案】【分析】圓錐軸截面頂角（兩母線夾角）小于等于時，軸截面面積最大，軸截面夾角大于時，母線夾角為時截面面積最大.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，則，圓錐的高，設軸截面中兩母線夾角為，則，所以當兩母線夾角為時，過此圓錐頂點的截面面積最大，最大面積為.故答案為：【例3】已知圓錐體積為，

15、高為4，過頂點作截面，若平面與底面所成的銳二面角的余弦值為，圓錐被平面截得的兩個幾何體設為.若的體積為（其中），則_.【答案】【分析】作出圖形，由已知求得，求出以為底面的三棱錐的體積，即可求解【詳解】設平面與底面的交線為，底面圓心為點，設底面圓半徑為.由，即于點，則余弦值為，則，又，則.故答案為：【例4】“圓錐的兩條母線所作的一切截面中，以軸截面的面積最大”是否成立？【答案】答案見解析【分析】首先把命題作為真命題進行推理,求出軸截面面積以及截面三角形面積，根據(jù)命題為真，舉反例即可得出結論.【詳解】首先把命題作為真命題進行推理如圖所示，設圓錐的軸截面三角形頂角為，任意一截面三角形的頂角為，母線為

16、l，則軸截面面積為而截面三角形面積為若命題為真，則，即，其中當時，成立，但當時，對，有，軸截面不是面積的最大值這時取便是一個反例故正確的結論應是【題型五】“動點”型截面 【例1】如圖正方體，棱長為1，P為中點，Q為線段上的動點，過APQ的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論錯誤的是（ ）A當時，為四邊形B當時，為等腰梯形C當時，為六邊形D當時，的面積為【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項，作出相應的截面，再判斷即可.【詳解】解：當時，如下圖1，是四邊形，故A正確；當時，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當時，如下圖3，是五邊形，C錯誤；當時，Q與重合，取的中點F，連接，如下圖4，由正

17、方體的性質易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C【例2】如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，的平面截該正方體所得的截面記為當時，為四邊形；當時，與的交點滿足；當時，為六邊形；當時，的面積為則下列選項正確的是（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)點Q在線段上的變化，分別作出過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可【詳解】對于，因為正方體的棱長為1，當時，過A，P，Q三點的截面與正方體表面的交點在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故正確；對于，如圖（b）所示，當時，又為的中點，故，得，故正確；對于，如圖（c）所示，當時，過點，的平面截正方體所得的

18、截面為五邊形，故不正確；對于，如圖（d）所示，當時，過點，的截面為，其截面為菱形，對角線，所以的面積為，故正確綜上所述，正確的命題序號是故選：B【例3】如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q 的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個數(shù)為（ ） 當時，S為四邊形；當時，S為等腰梯形；當時，S與的交點滿足；當時，S為六邊形；A1B2C3D4【答案】C【分析】隨著的移動，依題意分別移動到四個位置，逐項分析判斷即可得解.【詳解】先確定臨界值點，當，即為的中點時，截面交于，則界面為等腰梯形，故正確；對當時，即移動到位置時，截面交線段于，所以截面為四邊形

19、，故正確；對，當時，在的位置，截面交的延長線于，延長交在的延長線于點，則，由，則，又有，所以，又，所以，故正確；對，點移動到位置，從圖上看，截面為五邊形，故錯誤；共個正確，故選：C【例4】如圖，在正方體中，點P為線段上的動點（點與，不重合），則下列說法不正確的是（ ）AB三棱錐的體積為定值C過，三點作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形DDP與平面所成角的正弦值最大為【答案】D【分析】A.通過平面進行說明；B.根據(jù)等體積法進行說明；C.分析點位置，作出截面圖形后進行判斷；D.先分析線面為，然后表示出，通過分析的長度確定出正弦值的最大值.【詳解】由題可知平面，所以，故A正確；由等體積法得為定值，

20、故B正確；設的中點為，當時，如下圖所示：此時截面是三角形，當時，如下圖所示：此時截面是梯形，故C正確；選項D，在正方體中，連接，則為在平面上的射影，則為與平面所成的角，設正方體的棱長為1，則，當取得最小值時，的值最大，即時，的值最小為，所以的值最大為，故D不正確. 故選：D.【題型六】截面與直線（面）平行 【例1】在三棱錐中，截面與，都平行，則截面的周長等于（ ）ABCD無法確定【答案】A【分析】由線面平行的性質定理確定截面的形狀，再利用三角形相似的性質求截面的周長.【詳解】設，因為平面，平面平面，平面，所以，同理可得，故四邊形為平行四邊形，所以，.因為，所以，所以四邊形的周長為.故選：A.【

21、例2】若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面平行的棱有（ ）A0條B1條C2條D4條【答案】C【分析】由平行四邊形的性質有兩對邊平行且相等，再應用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行的性質、判定即可知有幾條棱與平面平行.【詳解】如下圖示，若平面即為面為平行四邊形，即且，且，又面，面，則面，而面，面面，由線面平行判定易知：平面；同理可得，易得平面.該三棱錐與平面平行的棱有、，共2條.故選：C【例3】如圖，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，且側棱與底面垂直，點O1為A1C1，B1D1的交點，點O2為AC，BD的交點，連接O1O2，點O為O1O2的中點過點O且與直線

22、AB平行的平面截這個四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面積為（）A10B12C13D14【答案】D【分析】當截面平行于平面時，截面面積最?。划斀孛鏋槠矫鏁r，截面面積最大.根據(jù)題設條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面積【詳解】由題意知四棱柱ABCDA1B1C1D1為正四棱柱，設正四棱柱的底面邊長為a，高為h因為過點O且與直線AB平行的平面截這個四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，可知當截面平行于平面時，截面面積最?。划斀孛鏋槠矫鏁r，截面面積最大.。所以，解得，于是四棱柱ABCDA1B1

23、C1D1的表面積為2a2+4ah2+1214。故選：D【例4】如圖，在棱長為1的正方體中，點，分別是棱，的中點，為線段上的一個動點，平面平面，則下列命題中錯誤的是（ ）A不存在點，使得平面B三棱錐的體積為定值C平面截該正方體所得截面面積的最大值為D平面截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形【答案】C【分析】連接，可得平面，即可判斷A，由平面可判斷B，當截面為正六邊形時（其中，都是中點），計算截面面積，然后可判斷C、D.【詳解】如圖，連接，可得平面，由與異面可知，不存在點，使得平面，故A正確；又平面，所以動點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；如圖，當截面為正六邊形時（其中，都是

24、中點），易得該正六邊形的邊長為，所以其面積為，故C錯誤；截面可能為三角形，也可能為六邊形，故D正確，故選：C.【題型七】截面與直線（面）垂直 【例1】在正方體中，為底面的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段的中點現(xiàn)有以下結論中正確的是（ ）A與是異面直線；B過、三點的正方體的截面是等腰梯形；C平面平面；D平面【答案】BC【分析】連接PC，證明PQ/CE，即可判斷選項A；連接A1C1，過E作EF/A1C1交C1D1于點F，連接CF，證明EF/A1C1/AC，且EFA1C1AC，即可判斷選項B，利用面面垂直的判定定理即可判斷選項C，假設PE/平面CDD1C1，推出E為A1D1的中點，與已

25、知矛盾，即可判斷選項D【詳解】連接，因為為正方形的中心，所以是的中點，又Q為線段AE的中點，所以PQCE，故點P，Q，E，C四點共面，即PE與QC共面，故選項A錯誤；連接A1C1，過E作EFA1C1交C1D1于點F，連接CF，則四邊形ACFE是正方體過A，P，E三點的截面，因為EFA1C1AC，且EFA1C1AC，EA=CF,故四邊形ACFE為等腰梯形，故選項B正確；由正方體ABCDA1B1C1D1中，可得AP平面BDD1B1，又平面APE，所以平面APE平面BDD1B1，故選項C正確；假設PE平面CDD1C1，又平面ACEF，平面平面，所以PECF，又EFPC，所以四邊形PCFE為平行四邊形

26、，故，所以EF為的中位線，即E為A1D1的中點，這與點E為線段A1D1上的動點矛盾，故選項D錯誤故答案為：BC【例2】已知三棱柱為正三棱柱，且，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為_【答案】#【分析】過作，設可得，根據(jù)得到關于的函數(shù)式，應用基本不等式求的最小值，注意等號成立的條件.【詳解】如圖，依題意知：面，過作，設，則，而，則當且僅當時取等號，當時，符合題意，此時三棱錐的體積取得最小值故答案為：【例3】（多選）已知正方體，若平面，則關于平面截此正方體所得截面的判斷正確的是（ ）A截面形狀可能為正三角形B截面形狀可能為正方形C截面形狀可能為正六邊形D截

27、面形狀可能為五邊形【答案】AC【分析】根據(jù)平面得到平面與平面平行或重合，然后結合圖形即可判斷出答案.【詳解】如圖，在正方體中，連接，則平面，所以平面與平面平行或重合，所以平面與正方體的截面形狀可以是正三角形，正六邊形，但不可能是五邊形和四邊形，故A，C正確，B，D錯誤故選：AC.【例4】已知直三棱柱的側棱長為，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）ABCD【答案】C【分析】確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.【詳解】如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，為的中點，則，平面，平面，平面，、分別為、的中點，則且，平面，平面，所以

28、，平面平面，所以，平面即為平面，設平面交于點，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面，設平面平面，平面，所以，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點，延長交于點，所以，又，所以，為的中點，因為平面平面，平面平面，平面平面，為的中點，則，為的中點，則，同理，因為直棱柱的棱長為，為的中點，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，、分別為、的中點，則，由勾股定理可得，同理.因此，截面的周長為.故選：C.【題型八】截面面積與周長 【例1】如圖，在正方體中，為棱的中點，為棱的四等

29、分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是_.【答案】【分析】首先根據(jù)面面平行的性質定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，連接，易證，則五邊形為所求截面.因為，所以，則，故該截面的周長是.故答案為：.【例2】如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（ ）A當時，S為等腰梯形B當時，S與的交點R滿足C當時，S為六邊形D當時，S的面積為【答案】ABD【分析】分，三種情況討論截面的形狀，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：過點A，P，Q的平面

30、截正方體，當時，其截面形狀為梯形如圖1，特別地當時，截面形狀為等腰梯形，當時，其截面形狀為五邊形如圖2若，則，所以當時，與重合，其截面形狀為四邊形如圖3，此時，因為P為的中點，且，所以為的中點，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以四邊形為菱形，其面積為故ABD正確故選：ABD.【例3】已知正四棱柱中，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為_.【答案】【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得，再結合余弦定理與面積公式即可求解【詳解】由題意，正四棱柱中，可得，在上取點，使得，連接，則有， 所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得，所以,所以，所以四邊形是平行四邊

31、形的面積為，故答案為：【例4】正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）A5BCD【答案】D【分析】作出示意圖，設為的中點，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計算其面積.【詳解】如圖所示，設為的中點，連接，設為的中點，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長為2，故的面積為.故選：D.【題型九】球截面 【例1】已知球O的表面積為，則過球Q一條半徑的中點，且與該半徑垂直的截面圓的面積為_.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到球的半徑，根據(jù)題意得到截面圓的半徑，再求截面圓的面積即可.【詳解】設球的半徑為，則，解

32、得.設截面圓的半徑為，由題知：，所以截面圓的面積.故答案為：【例2】正三棱錐中，點在棱上，且，已知點都在球的表面上，過點作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為_.【答案】【分析】通過補體把正三棱錐補成正方體，則正方體的體對角線為外接球直徑；可求出，當平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面，從而可計算截面的半徑，從而推導出截面的面積.【詳解】，同理，故可把正三棱錐補成正方體（如圖所示），其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，設的中點為，連接，則且.所以，當平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面，其半徑為，故截面的面積為.故答案為：【例3】某四棱錐的底面為正方形，頂點在

33、底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為的球上，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是（ ）ABCD【答案】C【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可設，其中，可得出，令，利用導數(shù)求出取最大值時對應的的值，求出的值，可得出的長，進而可求得結果.【詳解】如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設，則球心在直線上，設，則，由勾股定理可得，即，當四棱錐的體積最大時，則點在線段上，則，可設，其中，令，則.當時，此時函數(shù)單調遞增，當時，此時函數(shù)單調遞減，所以，此時，則，因此，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是.故選：C.【例4

34、】正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則該截面面積的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意，將四面體放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體的外接球因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑，當球心到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，當截面過球心O時，截面面積達最大值，再利用球的截面圓性質計算即可.【詳解】如圖，將正四面體補為邊長是的正方體，則正四面體ABCD的外接球為正方體的外接球，球心O在體對角線的中點，且球的半徑；當OE垂直于截面時，截面面積最小，截面圓的半徑為面積為；當截面過球心O時，截面面積最大，截面圓的半徑為，面積為故選:

35、A【題型十】 截面與角度【例1】在正方體中，記直線與過，三點的截面所成的角為，則（ ）ABCD1【答案】C【分析】在正方體正作出截面，可證平面，找到線面角即可解三角形求解.【詳解】如圖，過，三點的截面為：，連接交于，連接，可得平面，所以，設，則，所以，故.故選：C【例2】如圖所示，在正三棱柱中，過棱作一個與底面成（）角的截面，求截面的面積.【答案】答案見詳解【分析】由于截面與下底面所成的二面角在內變化，以截面為界，變動中的截面可以是等腰三角形（截面的頂點D在側棱上）也可以是等腰梯形（截面等腰梯形的上底在上底面內且），故必須以此分類討論【詳解】解：在正三棱柱中，取的中點M，聯(lián)結、，就是平面與平面

36、所成二面角的平面角，.當時，過棱的截面是等腰三角形，截面的面積為.當時，過棱的截面是等腰梯形，其中.取的中點N，聯(lián)結、，交于點O，聯(lián)結.是截面與底面所成的二面角的平面角，在正三棱柱中，.，在中，截面的面積為【例3】已知直三棱柱ABCA1B1C1的側棱長為2，ABBC，ABBC2，過AB，BB1的中點E，F(xiàn)作平面與平面AA1C1C垂直，則所得截面周長為_【答案】3【分析】結合面面垂直的判定定理和線面垂直的判定定理和性質定理，以及三角形的中位線定理，作出平面，運用勾股定理，計算可得所求值【詳解】如圖所示，取AC的中點D，連接BD，取A1C1的中點D1，連接B1D1，取AD的中點G，連接EG，連接E

37、F，分別取C1D1，B1C1的中點M，N，連接MN，F(xiàn)N，GM，可得EGBD，BDB1D1，MNB1D1，即有EGMN，又由ABBC，可得BDAC，因為AA1平面ABC，可得AA1BD，所以BD平面AA1C1C，可得EG平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF平面AA1C1C，則平面EGMNF即為平面，由EGBD，GM，MNB1D1，NF，F(xiàn)E，可得所得截面周長為.故答案為：. 【例4】如圖所示，在棱長為的正四面體中，點，分別為，的中點，現(xiàn)用一個與垂直，且與正四面體的四個面都相交的平面去截該正四面體，當所得截面多邊形面積的最大值為4時，該四面體的外接球的體積為_【答案】【分析

38、】將該四面體補成正方體，證得截面四邊形為平行四邊形，然后證得，設，進而表示出，從而結合均值不等式即可求出，然后即可求出四面體的外接球的體積.【詳解】將該四面體補成正方體，如圖，設為與垂直且和正四面體各個面都相交的截面多邊形（四邊形）因為，平面，所以平面，所以，由平面，同理可得，所以截面四邊形為平行四邊形因為該四面體為正四面體，所以，所以由，可得，所以四邊形為矩形，所以（當且僅當時取等號），所以，所以四面體的外接球的體積為故答案為：.【題型十一】截面與最值 【例1】如圖，四邊形為四面體的一個截面，若四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是_.【答案】【分析】依題意可得，設，求出、的關系式，

39、再求四邊形的周長的取值范圍即可【詳解】解：四邊形為平行四邊形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，同理可得；設，；又，且；四邊形的周長為，；四邊形周長的取值范圍是故答案為：【例2】已知正四棱柱中、的交點為，AC、BD的交點為，連接，點為的中點.過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為_.【答案】3【分析】當截面平行于平面時，截面面積最??；當截面為平面時，截面面積最大，根據(jù)題設條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積【詳解】設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，由題知當截面平行于平面時，截面

40、面積最小；當截面為平面時，截面面積最大，因為過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，所以，解得，于是正四棱柱的體積為.故答案為：3.【例3】用過圓錐的軸的平面去截圓錐得到的截面，叫做圓錐的軸截面，圓錐的軸截面是以圖錐的兩條母線為腰的等腰三角形，這個等腰三角形的頂角，叫做圓錐的頂角.已知過圓錐的兩條母線的截面三角形有無窮多個，這些截面中，面積最大的恰好是圓錐的軸截面，則圓錐的頂角的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】設圓錐的母線長為，三角形頂角為，求出過圓錐的兩條母線的截面三角形面積，求出取得最大值時的值，即可求出的取值范圍.【詳解】設圓錐的母線長為，

41、三角形頂角為，則過圓錐的兩條母線的截面三角形面積為，當時取得最大值，此時，所以圓錐的頂角的取值范圍是.故選：B.【例4】在梯形中，為的中點，將沿直線翻折成，當三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為_.【答案】【分析】分析出當平面平面時，三棱錐的體積最大，取的中點，分析出點為三棱錐的外接球的球心，求出球的半徑，計算出截面圓半徑為最小值，結合圓的面積公式可得結果.【詳解】如下圖所示，連接，則，則，故，設二面角的平面角為，設三棱錐的高為，則，當且僅當時，等號成立，即當平面平面時，三棱錐的體積最大，故為等腰直角三角形，且，在梯形中，則，所以，在中，由余弦定理可得，故，因為

42、平面平面，平面平面，平面，平面，平面，則，因為，平面，平面，所以，記中點為，由得為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為，設與過點的平面所成的角為，設點到截面的距離為，則，故截面圓的半徑為，當且僅當時，過點的平面截三棱錐外接球所得截面面積最小，所以截面圓面積的最小值為.故答案為：.【題型十二】截面大題綜合 【例1】如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，且，為的中點（1）證明：平面（2）過，作四棱錐的截面，請寫出作法和理由，并求截面的面積【答案】（1）證明見解析（2）作法和理由見解析；面積【分析】（1）由平面，得到,再由，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，結合，進而證得平面（2）過作，

43、交于，連接，證得，得到過，的截面為四邊形，由（1）知證得，結合直角梯形的面積公式，即可求解.（1）證明：因為平面，平面，所以,又因為，所以，由且平面，所以平面，又由平面，所以，因為，為的中點，所以，又因為且平面，所以平面（2）解：如圖所示，過作，交于，連接，則截面為四邊形理由如下：因為，所以，所以，四點共面，所以過，的截面為四邊形，由（1）知平面，因為平面，所以，又由，所以四邊形為直角梯形，其面積【例2】在直三棱柱中，過的截面與面交于（1）求證：（2）若截面過點，求證：面（3）在（2）的條件下，求【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）由題意易得面，然后根據(jù)線面平行的性質定

44、理即可證明；（2）取的中點，連接和，由已知可得，求解三角形證明，再由直線與平面垂直的判定可得A1O平面AEF，進而得證面AEF；（3）由（2）可得面，從而有，且，進而可得證面，且，最后由即可求解（1）證明：由題意，在直三棱柱中，可得，所以面，又面，面，所以由線面平行的性質定理，可得；（2）證明：取的中點，連接和， 截面過點，截面即為面，、分別為，中點，即，又為中點，在中，同理，在中，為直角三角形，即，又，面，而，面（3）解：由（2）可得面，而面， 所以，且，又由，且，故可得面，且，又由【例3】如圖所示，圓錐的頂點為，底面中心為，母線，底面半徑與的夾角為，且.（1）求該圓錐的表面積；（2）求過頂

45、點的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值；【答案】（1）（2）【分析】(1)利用圓錐的側面積公式和圓的面積公式即可求解；(2)取AB的中點M，然后結合已知條件用表示出AB、PM的長度，進而求出截面面積，利用一元二次函數(shù)的性質即可求解；(3)在OB上取一點F，結合已知條件，在三角形AOF中通過余弦定理用表示出AF，然后在三角形AEF中，再次利用余弦定理求解即可.（1）圓錐的側面積公式，底面圓的面積，故圓錐的表面積.（2）取AB的中點為M，連接PM，OM，如下圖所示：因為AB的中點為M，所以，因為底面半徑與的夾角為，且，所以，即，因為，所以，由題意過頂點的平面截該圓錐所得的截面為，的面積，當且僅當時

46、，即時，的面積由最大值，故過頂點的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值為.【例4】如圖，在正方體中，分別為和的中點.（1）畫出由A，E，F(xiàn)確定的平面截正方體所得的截面，（保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；（2）求異面直線和所成角的大小.【答案】（1）作圖見解析；（2）.【分析】（1）取BC的四等分點G(靠近C的點)，D1C1的四等分點H(靠近C1點)，則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面截正方體所得的截面；（2）取AD的中點N，連接EN，再取EN的中點M，連接MC、NC、AM，則，故 (或其補角)即為異面直線EF和AC所成角，解三角形可求得答案.【詳解】解：（1）如圖，取BC的四等分點G(靠

47、近C的點)，D1C1的四等分點H(靠近C1點)，則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面截正方體所得的截面，（2）取AD的中點N，連接EN，再取EN的中點M，連接MC、NC、AM，則，故 (或其補角)即為異面直線EF和AC所成角，設正方體的棱長為2，可得，在中，有 ，所以是直角三角形，所以，所以異面直線和所成角的大小為.1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別為邊B1D1，CD上的一個動點（點M不在頂點D1處），由M，N，D1三點確定的平面截正方體的截面為，則下列命題中為真命題的是（ ）A對任意點M，存在點N使截面為三角形B對任意點M，存在點N使截面為正方形C對任意點M和N，截

48、面都為梯形D對任意點N，存在點M使截面為矩形【答案】A【分析】利用平面的基本性質結合圖像分析可得當與重合時，截面為三角形，當與重合時，截面為矩形，當點N不與C、D重合時，截面都為等腰梯形，即可得出答案【詳解】解：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別為邊B1D1，CD上的一個動點（點M不在頂點D1處），當與重合時，截面為三角形，故A正確，C錯誤；當與重合時，截面為矩形，當點N不與C、D重合時，截面都為等腰梯形，故C、D錯誤.故選：A2.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點，截面EFGH將三棱錐分成兩個幾何體：、，其體積分別為、，則（ ）A1：1B1：2C1

49、：3D1：4【答案】A【分析】如圖，連接，設的面積為，到平面的距離為，故可計算幾何體的體積為，從而可得兩個幾何體的體積之比.【詳解】如圖，連接，設的面積為，到平面的距離為，則，而，又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體積之比為，故兩個幾何體、的體積之比為1:1.故選：A.3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)在側面CDD1C1上運動，且滿足B1F/平面A1BE以下命題正確的有（ ）A點F的軌跡長度為B直線與直線BC所成角可能為45C平面A1BE與平面CDD1C1所成銳二面角的正切值為D過點E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為

50、【答案】ACD【分析】取和的中點分別為，即可證明平面平面，從而得到點在線段上，即可判斷A；由，則即為異面直線所成的角，再利用銳角三角函數(shù)計算即可判斷B；找出二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)計算即可判斷C；當為與的交點時過點的平面截正方體所得的截面面積最大，求出最大截面面積，即可判斷D；【詳解】解：對于：取和的中點分別為，連接，則，平面，平面，所以平面平面，因為在側面上運動，且滿足平面，所以點在線段上故點運動的軌跡長度為：，故選項正確；對于B：因為所以與直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，在Rt中，因為正方體的棱長為2，在Rt中，若所成的角為，則，而最大為，矛盾，所以所成角不可能

51、為，故選項B不正確；對于C：因為面面，所以平面與平面所銳二面角，即為平面與平面所成銳二面角，因為面面，當為線段的中點，可得，所以即為二面角的平面角，且，所以，故選項C正確；對于：當為與的交點時過點的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點，則截面為菱形，其面積為故選項D正確，故選：ACD4.已知正方體的長為2，直線平面，下列有關平面截此正方體所得截面的結論中，說法正確的序號為_截面形狀一定是等邊三角形：截面形狀可能為五邊形；截面面積的最大值為，最小值為；存在唯一截面，使得正方體的體積被分成相等的兩部分【答案】【分析】在正方體中作出滿足題意的截面，即可作出判斷.【詳解】如圖可知，截面形狀可以是等邊三角形、六邊形、正六邊形，明顯錯誤；截面面積的最小值可以趨向于零，故錯誤；當截面為正六邊形時，截面過正方體的中心，此時正方體的體積被分成相等的兩部分故正確.故答案為：5.取棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，依次進行下去，對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，如圖所示則此多面體：有12個頂點；有24條棱；有12個面；表面積為3a2；體積為以上結論正確的是_（填上