專題08 立體幾何3種角度14種歸類2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊(cè))（解析版）

1、 專題08 立體幾何3種角度14種歸類 目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、熱點(diǎn)題型歸納1 HYPERLINK l _Toc17993 【題型一】 異面直線所成的角1：平移直線法（中位線平移法）2 HYPERLINK l _Toc26924 【題型二】 異面直線所成的角2：平行四邊形、梯形法5 HYPERLINK l _Toc12217 【題型三】 異面直線所成的角3：垂直7 HYPERLINK l _Toc30563 【題型四】 異面直線俗稱的角的范圍與最值（難點(diǎn)）9 HYPERLINK l _Toc30563 【題型五】 異面直線所成的角：綜合1

2、3 HYPERLINK l _Toc30563 【題型六】 直線和平面所成的角1：垂線法16 HYPERLINK l _Toc30563 【題型七】 直線和平面所成的角2：垂面法18 HYPERLINK l _Toc30563 【題型八】 直線和平面所成的角3：體積法（距離法）20 HYPERLINK l _Toc30563 【題型九】 線面角中的范圍與最值22 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十】 線面角：綜合24 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十一】 定義法求二面角的平面角26 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十二】 二面角內(nèi)的角度2

3、8 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十三】 二面角內(nèi)的距離32 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十四】 綜合角度：比大?。y點(diǎn)）34 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新?？碱}組練38綜述：一、異面直線所成的角：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)

4、，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角二、直線和平面所成的角求直線與平面所成的角的一般步驟：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）通過(guò)建系，利用坐標(biāo)系向量求解：直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，），三、二面角的平面角作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角（1）利用

5、面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.【題型一】異面直線所成的角1： 平移直線法（中位線） 【例1】如圖已知A是所在平面外一點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若異面直線AD與BC所成角的大小為，AD與EF所成角的大小為_【答案】或【分析】利用異面直線夾角的定義知或其補(bǔ)角是異面直線AD與BC所成角，或其補(bǔ)角是異面

6、直線AD與EF所成角，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得解.【詳解】取AC中點(diǎn)G，連接分別是的中點(diǎn)，或其補(bǔ)角是異面直線AD與BC所成角，或其補(bǔ)角是異面直線AD與EF所成角又，為等腰三角形，若，則若，則所以異面直線AD與EF所成角的大小為或故答案為：或【例2】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，且為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）ABCD【答案】D【分析】連接、交于點(diǎn)，連接，說(shuō)明異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出、，即可求得，即可得出結(jié)論.【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，平面，平面，平面，平面，設(shè)，因?yàn)?，則為

7、等邊三角形，同理可知也為等邊三角形，同理可得，所以，.因此，異面直線與所成的角的余弦值為.故選：D.【例3】空間四邊形ABCD的對(duì)角線，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則異面直線AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D120【答案】B【分析】取BC的中點(diǎn)P，連接MP，NP，故或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD所成的角，利用余弦定理可求其大小.【詳解】取BC的中點(diǎn)P，連接MP，NP，則且，且故或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD所成的角.由余弦定理可知，而為三角形內(nèi)角，故，故異面直線AC和BD所成的角為故選：B【例4】在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑 ABC

8、D中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角為（）A30B45C60D90【答案】C【分析】由已知畫出圖形，找出異面直線與所成角，求解三角形得答案【詳解】解：如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，、，可得，則異面直線與所成角即為（或其補(bǔ)角），設(shè)，又平面，則，則為等邊三角形，可得，即異面直線與所成角為故選：【題型二】異面直線所成的角2：平行四邊形、梯形等 【例1】已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則異面直線CD與PB所成的角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到PBE是是直線CD與PB所成的角（或所成角的補(bǔ)角），再根據(jù)余弦

9、定理求解即可.【詳解】解：設(shè)AB1，則PA2，AE，PE，BE2，PBCD與BE平行，PBE是是直線CD與PB所成的角（或所成角的補(bǔ)角），直線CD與PB所成的角的余弦值為：，故選：C【例2】已知圓柱的母線長(zhǎng)為，底面的半徑為，四邊形為其軸截面，若點(diǎn)為上底面圓弧的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)可確定所求角為或其補(bǔ)角；由長(zhǎng)度關(guān)系可求得為等邊三角形，由此可得所求角.【詳解】連接，與所成角即為或其補(bǔ)角，為圓弧的中點(diǎn)，又，又，為等邊三角形，；與所成角為.故選：D.【例3】如圖，在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）ABCD【答案】B【分析】利用異面直線夾角

10、的定義，將平移至(為中點(diǎn))，通過(guò)為正三角形求解【詳解】解：取中點(diǎn)連接，則，與所成的角等于與所成的角容易知道為正三角形，與所成的角等于故選：B【例4】正方體中，已知為的中點(diǎn)，那么異面直線與AE所成的角等于（）ABCD【答案】B【分析】作出異面直線與AE所成的角，結(jié)合余弦定理求得正確答案.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線與AE所成的角，所以，由于，所以.所以異面直線與AE所成的角為.故選：B【題型三】異面直線所成的角3：垂直 【例1】如圖，在三棱柱中，那么異面直線與所成的角為ABCD【答案】D【分析】取的中點(diǎn) ，連接，然后證明平面，即可得到答案【詳解】取的中點(diǎn)

11、，連接 ,為的中點(diǎn)， 又 ,為等邊三角形。又平面 , 平面平面 ,又平面 ,即異面直線與所成的角為。故選：D【例2】在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和DD1的中點(diǎn)，則異面直線和B1M所成的角為（）A30B45C90D60【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，找到與直線平行并且和相交的直線，即可找到異面直線所成的角，然后再求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)作交于，交于，易知,所以，而，所以，故，所以異面直線和B1M所成的角為. 故選：C【例3】菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為O，P是菱形所在平面外一點(diǎn)，平面ABCD，則異面直線AC與PD所成角大小為_【答案】#【分析】根據(jù)給定條件，利用線

12、面垂直的性質(zhì)、判定進(jìn)行推理即可作答.【詳解】菱形中，因平面，平面，則有，平面，因此，平面，又平面，從而有，所以異面直線AC與PD所成角為.故答案為：【例4】若異面直線a，b所成的角為，且直線，則異面直線b，c所成角的范圍是_【答案】【分析】通過(guò)作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，再構(gòu)造直角三角形可求出結(jié)果.【詳解】過(guò)作，作直線的垂面，設(shè)，如圖：則，在內(nèi)過(guò)作，因?yàn)?，則，則，當(dāng)直線與重合時(shí)，與所成的角最小為，當(dāng)直線與垂直時(shí)，與所成的角最大為，當(dāng)直線從位置繞旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，直線與所成的角逐漸增大，所以異面直線b，c所成角的范圍是.故答案為：.【題型四】 異面直線所成角的范圍與最值（難

13、點(diǎn)）【例1】如圖，點(diǎn)分別是正四面體棱上的點(diǎn)，設(shè)，直線與直線所成的角為，則（ ）A當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大B當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小C當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小D當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大【答案】D【分析】分和兩種情況，分別過(guò)作的平行線，可得直線與所作的平行線成的角即為角可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3，則，可求得，所以在中，有，令，則，時(shí)，有正有負(fù)，函數(shù)有增有減，所以故A與B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即.同樣設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3，則，可求得，,在中，有，所以，即，所以在中，有，令，

14、則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即增大，減小，即減小，從而增大，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：D.【例2】已知菱形，為邊上的點(diǎn)（不包括），將沿對(duì)角線翻折，在翻折過(guò)程中，記直線與所成角的最小值為，最大值為（ ）A均與位置有關(guān)B與位置有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)C與位置無(wú)關(guān)，與位置有關(guān)D均與位置無(wú)關(guān)【答案】C【分析】數(shù)形結(jié)合，作/，利用線面垂直得到，然后找到異面直線所成角，并表示，通過(guò)討論點(diǎn)位置得到結(jié)果.【詳解】作/交于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)連接，如圖，由翻折前該四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形同時(shí)點(diǎn)在上，由平面所以平面,又/，所以平面，所以直線與所成角即直線與所成角，該角為所以,由點(diǎn)不與重合，所以當(dāng)點(diǎn)翻折到與點(diǎn)重合時(shí)，最

15、小，為最小與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；當(dāng)沒有翻折時(shí)，最大，最大，則最大，與點(diǎn)位置有關(guān)故選：C【例3】在正方體中，已知分別為的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分析】首先判斷出角取得最小值時(shí)，即為直線與平面所成的角，可知角為與平面所成的角，利用三角函數(shù)值計(jì)算余弦值.【詳解】若取得最大值，則取得最小值，因?yàn)镻為平面內(nèi)任一點(diǎn)，由直線與平面所成角的定義可知，直線與平面所成的角為直線與平面內(nèi)的所有直線所成角的最小角，所以的最小值為與平面所成的角，如圖所示，為中點(diǎn)，可知即為在平面內(nèi)的射影，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則可得，所以，從而得到.故選：C.【例4】已知圓柱的底面半徑

16、和母線長(zhǎng)均為1，A，B分別為圓、圓上的點(diǎn)，若，則異面直線，所成的角為（）ABCD【答案】B【分析】做平行線，將所求的異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線夾角，構(gòu)造三角形即可求解.【詳解】如上圖，過(guò)點(diǎn)A做平面 的垂線，垂足為D，即AD是母線，連接DB，平面， ，所以四邊形是平行四邊形， ，與的所成的角就是或其補(bǔ)角； 由題意可知AB=2，AD=1，在 中， ，在等腰 中，由余弦定理 ， ，由于異面直線的夾角范圍是 ，故取 的補(bǔ)角，故選：B.【題型五】 異面直線所成角：綜合【例1】在正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（）A不存

17、在 B2條 C4條D無(wú)數(shù)條【答案】C【分析】連接，由此求出直線BA1和B1D1所成角，把問題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，讓繞著點(diǎn)B從的平分線AO開始在過(guò)直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)觀察是否存在，再在的鄰補(bǔ)角中同理去觀察即可得解.【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接，如圖，則有，顯然，即直線BA1和B1D1所成角，過(guò)點(diǎn)C做直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，的平分線AO與直線BA1和BD都成的角，讓繞著點(diǎn)B從AO開始在過(guò)直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過(guò)程中，直線與直線BA1和BD

18、所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，又的鄰補(bǔ)角大小為，其角平分線與直線BA1和BD都成的角，當(dāng)直線繞著點(diǎn)B從的鄰補(bǔ)角的平分線開始在過(guò)該平分線并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過(guò)程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，綜上得，這樣的直線有4條，所以過(guò)點(diǎn)C與直線BA1和B1D1所成的角均為的直線l有4條.故選：C【例2】在正方體的所有面對(duì)角線中，所在直線與直線互為異面直線且所成角為的面對(duì)角線的條數(shù)為（）A2B4C6D8【答案】B【分析】

19、作圖，直接觀察可得.【詳解】如圖，易知為等邊三角形，所以，又，所以異面直線與的夾角為，符合題設(shè).同理，面對(duì)角線，也滿足題意，所以滿足條件的面對(duì)角線共4條，故選：B【例3】是棱長(zhǎng)為1的正方體，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對(duì)角線運(yùn)動(dòng)，每走完一條面對(duì)角線稱“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下：運(yùn)動(dòng)第i段與第所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）問質(zhì)點(diǎn)走完的第2021段與第1段所在的直線所成的角是（）A0B30C60D90【答案】A【分析】由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則，可得質(zhì)點(diǎn)走過(guò)4段后，又回到起點(diǎn)，可以看作以4為周期，由于，則質(zhì)點(diǎn)走完的第2020段恰好回到起點(diǎn)，即可得解；【詳解】解：依題意可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行路線為，或，

20、或，或，或，或，即走過(guò)4段后又回到起點(diǎn)，可以看作以4為周期，不妨令第1段走且按照，則第5段一定是，若為（），此時(shí)與第3段共線，矛盾；，則質(zhì)點(diǎn)走完的第2020段恰好回到起點(diǎn)，則第段只能是，即第段為，此時(shí)與第段重合，此時(shí)兩直線所成角為；質(zhì)點(diǎn)走完的第段與第1段所在的直線所成的角是故選：A【例4】已知異面直線a、b所成角為，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成角都是的直線有且僅有（）條A2B3C4D6【答案】B【分析】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作，分析直線滿足它的射影在所成角的平分線上時(shí)的情況可得出答案.【詳解】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作，設(shè)直線確定平面，當(dāng)直線滿足它的射影在所成角的平分線上時(shí)，與

21、所成的角等于與所成的角，因?yàn)橹本€a、b所成角為，得所成銳角為，所以當(dāng)直線的射影在所成銳角的平分線上時(shí)，與所成角的范圍是，這種情況下，過(guò)P點(diǎn)有2條直線與a、b所成角都是；當(dāng)直線的射影在所成鈍角的平分線上時(shí)，與所成角的范圍是，這種情況下，過(guò)P點(diǎn)有且僅有1條直線（即時(shí)）與a、b所成角都是；綜上所述，過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成角都是的直線有3條.故選：B.【題型六】 直線和平面所成的角1：垂線法【例1】在空間，若，直線與平面所成的角為，則（）ABCD【答案】A【分析】取上一點(diǎn)，作平面于，連接，為直線與平面所成的角，分別作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由已知得為等腰直角三角形，由此能求出直線與平面所成的角的余弦值【詳解】

22、解：如圖，取上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面于，連接，則為直線與平面所成的角，分別作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，則為的角平分線，由，可得，則，所以為等腰直角三角形，令，則，所以，即故選：A【例2】正四面體中，直線與平面所成的角的正弦值是（）ABCD【答案】A【分析】在正四面體中，作平面，連接，由是直線與平面所成的角求解.【詳解】如圖所示：在正四面體中，作平面，連接，則是直線與平面所成的角，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，所以，則，故選：A【例3】如圖，已知正方體，直線與平面所成的角為（）ABCD【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)，連接，證明平面，可得即為直線與平面所成的角或補(bǔ)角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在

23、中，求得即可得解.【詳解】解：連接交于點(diǎn)，連接，在正方體中，平面，平面，所以，又，所以平面，所以即為直線與平面所成的角或補(bǔ)角，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，所以，所以即直線與平面所成的角為.故選：A.【例4】已知正四棱柱，設(shè)直線與平面所成的角為，直線與直線所成的角為，則（）ABCD【答案】D【分析】分別在正四棱柱中找到和，將和放在同一個(gè)平面圖形中找關(guān)系即可.【詳解】作正四棱柱如下圖：在正四棱柱中，平面， 底面是正方形又平面是直線與平面所成的角，即是直線與直線所成的角，即，平面故選：D【題型七】直線和平面所成 的角2：垂面法【例1】如圖，在三棱錐中，平面平面，則直線與平面所成的角是（）

24、ABCD【答案】B【分析】取的中點(diǎn)為，連接，由條件可得平面，然后可得直線與平面所成的角是，然后求出即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接因?yàn)椋砸驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面所以直線與平面所成的角是因?yàn)椋怨蔬x：B【例2】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則直線與平面所成的角為（）ABCD【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接、，則平面，即可得即為直線與平面所成的角，在直角中，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槿庵钦庵云矫?，因?yàn)槠矫?，則平面平面，如圖，取的中點(diǎn)，連接、， 因?yàn)槭堑冗吶切?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?/p>

25、，所以即為直線與平面所成的角，在直角中， ， 所以，所以，故選：B【例3】如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則直線與平面所成的角為_【答案】【分析】首先利用，將與平面所成角轉(zhuǎn)化為與平面所成角，再利用垂直關(guān)系，作出線面角，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)為D，連接AD，側(cè)棱垂直于底面，底邊是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三棱柱是正三棱柱，與平面所成角即是與平面所成角，中點(diǎn)為D，又，AD、平面，平面，平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作AD的垂線，由面面垂直的性質(zhì)可知，此垂線垂直于平面，與平面所成角為，在中，與平面所成角為故答案為：【例4】已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且，則直線與平面所成的角大小為_【

26、答案】【分析】還原棱錐為正方體ABCDPB1C1D1，作BFCB1于F，連接PF，則BPF就是直線PB與平面PCD所成的角，由此能求出直線PB與平面PCD所成的角的大小【詳解】還原棱錐為正方體ABCDPB1C1D1，作BFCB1于F，平面PB1C1D1平面B1BCC1，BF平面PB1CD，連接PF，則BPF就是直線PB與平面PCD所成的角BFa，PB，sinBPF，BPF30直線PB與平面PCD所成的角為30故答案為30【題型八】直線和平面所成 的角3：體積法(距離法） 【例1】如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角為（）A15B30C45D60【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

27、，通過(guò)等體積法求得，再求線面角的正弦即可得解.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，由余弦定理可得,，所以.，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角為30.故選：B.【例2】在正方體中，直線與平面所成的角的余弦值等于ABCD【答案】B【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為到面的距離，故選B. 【例3】已知長(zhǎng)方體中，則直線與平面所成的角為_. 【答案】【分析】根據(jù)等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，在直角三角中利用“對(duì)邊比斜邊”即可求解.【詳解】設(shè)到平面的距離為，在長(zhǎng)方體中，則， 在中，由余弦定理，所以 所以 因?yàn)?，即，解?設(shè)直線與平面所成的角為，則 所以. 故答案為：【例4】直線與

28、平面所成的角為，且是直線上兩點(diǎn)，線段在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)為3，則_.【答案】【分析】根據(jù)線面角的定義可得答案.【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作面于點(diǎn)C，則，故答案為：.【題型九】線面角中的范圍與最值 【例1】在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是ABCD【答案】A【分析】首先根據(jù)圖像找到直線與平面的夾角范圍，再計(jì)算對(duì)應(yīng)正弦值得到答案.【詳解】由題意可得：直線OP于平面所成的角 的取值范圍： 不妨取 .在中， . 的取值范圍是 .故答案為.【例2】若直線與平面所成的角為，直線在平面內(nèi)，則直線與直線所成的角的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)線面角的定義

29、可知直線與直線所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成的角的定義知最大角為直角，從而可得答案【詳解】解：由題意可知直線與直線所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以直線與直線所成的角的最小值為，因?yàn)橹本€與直線所成的角的最大值為，所以直線與直線所成的角的取值范圍是，故選：C【例3】在正方體中，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】連接相交于點(diǎn)，由平面，得是直線與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，設(shè)，則，所以，由的范圍可得答案.【詳解】如圖，正方體中，連接相交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，且平面，連接，則是直線與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，設(shè)，所以，所以，因

30、為，所以，所以，即.故選：D.【例4】直線與平面所成的角為，則直線與平面內(nèi)直線所成角的最小值是_【答案】3#60【分析】根據(jù)題意可知線面角為，再證明線面角是直線與平面內(nèi)直線所成角中最小的角，即可求解.【詳解】設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，直線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，連接，則即為直線與平面所成的角，所以，下面證明直線與平面內(nèi)直線所成角中，是最小的角，設(shè)為平面內(nèi)任意一條直線，如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?，面，所?，所以面，又因?yàn)槊妫?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，即直線與平面內(nèi)直線所成角中線面角最小，所以直線與平面內(nèi)直線所成角的最小值是.故答案為：.【題型十】線面角：綜合【例1】如

31、圖所示，在正方體中，直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，則_【答案】【詳解】由題得：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接,則,又可知,所以，過(guò)點(diǎn)O做OH 垂直BC交BC于H，連接,所以,所以【例2】直線與平面所成的角是45，若直線在內(nèi)的射影與內(nèi)的直線所成的角是45，則與所成的角是（）A30B45C60D90【答案】C【分析】作出圖形，根據(jù)圖形分析，構(gòu)造三角形，利用余弦定理求角.【詳解】如圖，在平面內(nèi)，過(guò)上一點(diǎn)作，垂足為，則直線即為在內(nèi)的射影，設(shè)，則，過(guò)作，由題可知，則，在中，是與所成的角，在中，.故選：C.【例3】若直線與平面所成的角為，直線在平面內(nèi)，且與直線異面，則直線與直線所成角的取值范圍是

32、（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義可知與直線所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成角的定義知最大角為直角.【詳解】由題可知直線與直線所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以與直線所成的角的最小值為，又為異面直線，則直線與所成角的最大值為.故直線與直線所成角的取值范圍是，故選：D【例4】如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，若直線與平面所成的角為，則_.【答案】【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，連接，如圖所示則為直線與平面所成的角直線與平面所成的角為，故答案為【題型十一】定義法求二面角的平面角 【例1】自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A相等B互補(bǔ)C互余D相等或互

33、補(bǔ)【答案】D【分析】作出圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】如圖，A為二面角l內(nèi)任意一點(diǎn)，AB，AC，過(guò)B作BDl于D、連接CD，則BDC為二面角l的平面角，ABDACD90，BAC為兩條垂線AB與AC所成角或其補(bǔ)角，ABDC180，當(dāng)二面角的平面角為銳角或直角時(shí)，AB與AC所成角與二面角的平面角大小相等，當(dāng)二面角的平面角為鈍角時(shí)，AB與AC所成角與二面角的平面角大小互補(bǔ).故選：D.【例2】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，將沿對(duì)角線BD折起，使得二面角的平面角的余弦值是，則與平面ABD所成角的正弦值是（）ABCD【答案】B【分析】連接AC，交BD于O，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得即為二面角的所成平面角，在

34、中，先求得的長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理，可得的長(zhǎng)，可得三棱錐為正三棱錐，過(guò)作垂直平面ABD，則即為所求，在中，求得各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可得答案.【詳解】連接AC，交BD于O，連接，如圖所示，因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，所以，所以即為二面角的所成平面角，在中，,由余弦定理得，所以，所以三棱錐為正三棱錐，過(guò)作垂直平面ABD，則E為的中心，連接EB，如圖所示則即為與平面ABD所成角，在中，所以，所以，故與平面ABD所成角的正弦值為.故選：B【例3】在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AC=CB=AB=2，PC=3，則二面角P-AB-C的大小為（）A30B60C90D120【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接

35、，易得，則即為二面角P-AB-C的平面角，利用余弦定理求出即可得解.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镻A=PB=AC=CB=AB=2，所以，且，所以即為二面角P-AB-C的平面角，在中，又，所以，即二面角P-AB-C的大小為.故選：D.【例4】在四棱錐中，底面是矩形，底面，且，則二面角的大小為（）A30B45C60D75【答案】A【分析】證明線面垂直,線線垂直，找到二面角的平面角，再進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，則，所以二面角的平面角為.在中，則.故二面角的大小為30.故選：A【題型十二】二面角內(nèi)的角度 【例1】從空間一點(diǎn)P向二面角的兩個(gè)面、分別作垂線P

36、E、PF，E，F(xiàn)為垂足，若二面角的大小為60，則EPF的大小為（）A60B120C60或120D不確定【答案】C【分析】按點(diǎn)P與二面角的位置分別作出圖形，結(jié)合已知求解作答.【詳解】過(guò)點(diǎn)P作平面垂直于棱l，垂足為O，與、分別交于直線a，b，記此平面為，由，則，顯然，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作于E，于F，于是得，為二面角的平面角，依題意，點(diǎn)P不在平面和平面內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)P在二面角內(nèi)或二半平面與的反向延長(zhǎng)面所夾區(qū)域內(nèi)時(shí)，如圖，四邊形中，于是得，當(dāng)點(diǎn)P在二面角的半平面的反向延長(zhǎng)面與半平面所夾區(qū)域或半平面的反向延長(zhǎng)面與半平面所夾區(qū)域內(nèi)時(shí)，如圖，不妨令，由得：，所以EPF的大小為60或120.故選：C【例2】如圖，在中，

37、為底邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿折痕把折成直二面角，則的余弦值的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè),則，其中，進(jìn)而根據(jù)三余弦公式求解即可【詳解】解：法一：設(shè),則，其中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，由三余弦公式得：所?故選：C.法二：特殊圖形，極端原理。在正中，當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，.故選：C【例3】如圖，圓錐中，、是圓上的不同兩點(diǎn)，若，且二面角所成平面角為，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則與平面所成角的正切值的最大值為（）A2BCD1【答案】A【分析】取中點(diǎn)M，連接，由線面垂直的判定定理證明平面，則與平面所成角即為，且，要使與平面所成角的正切值的最大，只需最小，顯然當(dāng)時(shí)取得最小值，繼而算出與平面所成

38、角的正切值的最大值.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)M，連接，由題知，且，所以為正三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以，且，所以平面，所以與平面所成角即為，且，設(shè)，由，則，在直角中，要使與平面所成角的正切值的最大，只需最小，顯然當(dāng)時(shí)最小，由得，此時(shí)與平面所成角的正切值的最大為.故選：A.【例4】已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD邊AD，BC的中點(diǎn)，沿EF將矩形ABCD翻折成大小為的二面角在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中，記二面角的大小為，則（）A當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小B當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大C當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小D當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大【答案】C【分析】根據(jù)二面角的定義通過(guò)作輔助線, 找到二面角

39、的平面角，在中表示出的值，利用的值的變化來(lái)判斷的變化即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由已知條件得平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為， 平面，, 平面,又平面，, 平面, ,則為二面角的平面角，在中，, 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中,不斷減小，則不斷增大，即不斷增大，則、錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由已知條件得平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作,垂足在延長(zhǎng)線上， 平面，, 平面,又平面，, 平面, ,則為二面角的平面角的補(bǔ)角，即，在中，, 如下圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中,先變小后增大，則先變大后變小，先變大后變小，則也是先變大，后變小, 則正確，錯(cuò)誤；故選：.【題型十三】二面角內(nèi)的距

40、離 【例1】如圖，在大小為的二面角中，四邊形ABFE，四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是（）AB2C1D【答案】A【分析】由題意，為二面角的平面角，故，可得，又，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)展開即可得到答案【詳解】由題意，四邊形ABFE，四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形故，可得為二面角的平面角，故又，故異面直線所成角也為,故選：A【例2】在三棱錐A-BCD中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若，則二面角A-BC-D的余弦值為（）ABCD【答案】C【分析】通過(guò)作輔助線，找到二面角A-BC-D的平面角，取CD的中點(diǎn)E，利用條件，證明，求得的長(zhǎng),從而用余弦定理求得答案.【詳解】取BC的中

41、點(diǎn)O，連接OA，OD, 因?yàn)楹途鶠檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，且，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面BCD，平面平面，所以為二面角A-BC-D的平面角取CD的中點(diǎn)E，連接BE，AE,因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)?，平面ABE，平面ABE，所以平面ABE因?yàn)槠矫鍭BE，所以，所以在中，故二面角A-BC-D的余弦值為，故選：C【例3】120的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，則CD的長(zhǎng)為()ABCD【答案】B【分析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，41，.故選：B【例4】如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點(diǎn)直線AC，BD分別

42、在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面中，且都垂直于AB，已知，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進(jìn)一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進(jìn)而通過(guò)余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因?yàn)?，所以，又，所以是該二面角的一個(gè)平面角，即，由余弦定理.因?yàn)?，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.【題型十四】綜合角度：比大小（難點(diǎn)）【例1】在正方體中，是線段（不含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，記直線與直線成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）ABCD【答案】A【分析】作，；

43、由異面直線成角、線面角和二面角平面角的定義可知為，為，為；設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，由長(zhǎng)度關(guān)系可得，由此可得結(jié)論.【詳解】分別連接交于點(diǎn)，作，交于，作，交于；作，垂足為；，即為直線與直線成角；，平面，平面，即為直線與平面所成角；，又平面，又平面，平面，又平面，即為二面角的平面角；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，；又，；，即，；綜上所述：.故選：A.【例2】已知矩形，是邊上一點(diǎn)，沿翻折，使得平面平面，記二面角的大小為，二面角的大小為，則（）ABCD【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交直線、于點(diǎn)、，連接、，設(shè)，則為銳角，利用二面角的定義可得出，計(jì)算得出，利用正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合兩角和的正切公式可判

44、斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交直線、于點(diǎn)、，連接、，設(shè)，則為銳角，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，平面，因?yàn)椋瑒t，平面，平面，故二面角的平面角為，且，同理，在中，又因?yàn)?，則，則，所以，無(wú)法比較和的大小關(guān)系，故無(wú)法比較、的大小關(guān)系，即、的大小無(wú)法確定，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以?故選：D.【例3】四棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，是上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)在線段上且滿足，分別記二面角，的平面角為，則（）ABCD【答案】D【分析】連對(duì)角線得底面的中心,則垂直底面，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】連接交于，因?yàn)樗睦忮F的各棱長(zhǎng)均相等，所以有平面，設(shè)

45、是的中點(diǎn)，則有，設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為，顯然，過(guò)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以，因此是二面角的平面角，即，因此有，同理可證：，因此是二面角的平面角，即，因此有，同理可證：，因此是二面角的平面角，即，因此有，顯然，因此，故選：D.【例4】已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（）ABCD【答案】A【分析】在圖中分別找到二面角的平面角，二面角的平面角，直線與平面所成角線面角，然后進(jìn)行大小比較即可解決.【詳解】在等邊中，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，交EF于O，連接PO，則，平面，

46、平面故平面，又平面，則平面平面在中，過(guò)P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF，在等邊中，過(guò)M做MN垂直于AC于N，連接PN.由，則為二面角的平面角即，由平面，則為二面角的平面角即由平面，則直線與平面所成角，即，設(shè)，則，則有，由可得，則有，則又故，又故故選：A1.在長(zhǎng)方體中，則異面直線與所成角為（）ABCD【答案】A【分析】即為異面直線與所成的角，利用解直角三角形可求其大小.【詳解】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得，故即為異面直線與所成的角，在直角三角形中，故，而為銳角，故.故選：A.2.若二面角的平面角為，異面直線a，b滿足，且，則異面直線a，b所成的角為（）ABCD或【答案】D【分析】根據(jù)題意可知異面直

47、線所成的角與二面角的平面相等或互補(bǔ)即可得解.【詳解】如圖， 在直線l任取一點(diǎn)，作，又由，且，則是二面角的平面角，則有,又由，則異面直線a，b所成的角為(或其補(bǔ)角)，故異面直線所成角的大小為或.故選：D3.已知正三棱錐中，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（）A30B45C60D90【答案】C【分析】取中點(diǎn)，連接，得到（或補(bǔ)角）即為異面直線與所成角求解.【詳解】如圖所示：取中點(diǎn)，連接，則，所以（或補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，設(shè)，因?yàn)閯t，在等腰中，,可得，由余弦定理可得：，所以,所以,故選：C4.在直三棱柱中，點(diǎn)D是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線與直線所成的角大小為（）ABCD【答案】C【分析】取AB中點(diǎn)E

48、，連接，,可知（或其補(bǔ)角）為異面直線所求角，解三角形即可求解.【詳解】取AB中點(diǎn)E，連接，如圖，分別是,中點(diǎn)，,（或其補(bǔ)角）即為異面直線與直線所成的角,直三棱柱中，,，故異面直線與直線所成的角大小為，故選：C5.兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知，則線段的長(zhǎng)為（）A或B或C或D或【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，兩邊同時(shí)平方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題意化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，所以，又異面直線a、b所成的角為，即，所以，所以或，故選：B6.已知兩條異面直線a，b所成角為60，在直線a上取點(diǎn)C，E在直線b上取點(diǎn)D，F(xiàn)，使，且已知，則線段EF的長(zhǎng)

49、為_【答案】或2【分析】先結(jié)合異面直線所成角的定義過(guò)點(diǎn)D作DKCE，則（或其補(bǔ)角）為異面直線a，b所的成角，進(jìn)而分兩種情況并結(jié)合勾股定理和余弦定理求得答案.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DKCE，使得，則四邊形是平行四邊形，所以，且， 由異面直線所成角的定義，（或其補(bǔ)角）為異面直線a，b所成的角，不妨設(shè)，則，或先求，易知是正三角形，則因?yàn)?，所以，又，且，所以平?而，于是平面，所以，于是.再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，所以.于是或2.故答案為：或2.7.在正方體中，設(shè)直線與直線AD所成的角為，直線與平面所成的角為，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角及線面角的定義，可得直線與直線AD所成的角，直線與平面所成的角，從而即可求解.【詳解】解：在正方體中，因?yàn)?，所以直線與直線AD所成的角，因?yàn)槠矫?，所以為在平面上的射影，所以直線與平面所成的角，又平面，所以，所以，即，故選：C.8.如圖，正四棱錐的體積為2，底面積為6，為側(cè)棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角為_.【答案】【分析】首先找到