新教材人教A版選擇性必修第三冊-8.2-一元線性回歸模型及其應(yīng)用-學(xué)案

1、 PAGE PAGE 228.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用最新課標(biāo)(1）結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件(2）針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測教材要點(diǎn)要點(diǎn)一一元線性回歸模型我們稱 eq blc(avs4alco1(Ybxae,E（e）0，D（e）2) 為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型，其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為_參數(shù)，b稱為_參數(shù)；e是Y與bxa之間的隨機(jī)誤差要點(diǎn)二一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：將

2、 eq o(y,sup9() _稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為_這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的 eq o(b,sup9() ， eq o(a,sup9() 叫做b，a的最小二乘估計，其中 eq blc(avs4alco1(o(b,sup9()f(isu(i1,n, )（xio(x,sup9()）（yio(y,sup9()）,isu(i1,n, )（xio(x,sup9()）2)，,o(a,sup9()o(y,sup9()o(b,sup9()o(x,sup9() 2.殘差：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

3、 eq o(y,sup9() 稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.3.用決定系數(shù)R2決定模型的擬合效果：R21 eq f(isu(i1,n, )（yio(y,sup9()i）2,isu(i1,n, )（yio(y,sup9()）2) .R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差基礎(chǔ)自測1.判斷正誤(正確的畫“”，錯誤的畫“”）(1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程適用于一切樣本和總體(）(2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有局限性(）(3）樣本取值的范圍會影響經(jīng)驗(yàn)回歸方程的適用范圍(）(4）經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值(）2.如果記錄了x，y的幾組數(shù)

4、據(jù)分別為(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(）A(2，2） B(1.5，2）C(1，2） D(1.5，4）3.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程 eq o(y,sup9() 2x1，而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是(2，4.9），(3，7.1），(4，9.1），則殘差平方和是(）A0.01 B0.02C0.03 D0.044.已知變量x，y線性相關(guān)，由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù) eq o(x,sup9() 4， eq o(y,sup9() 5，經(jīng)驗(yàn)回歸方程 eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() 中的系數(shù) eq o(b,sup9()

5、 ， eq o(a,sup9() 滿足 eq o(b,sup9() eq o(a,sup9() 4，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為_題型一經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解及應(yīng)用微點(diǎn)探究微點(diǎn)1公式法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x(單位：百萬元）與銷售額y(單位：百萬元）之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：x/百萬元24568y/百萬元3040605070(1）畫出散點(diǎn)圖；(2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3）試預(yù)測廣告費(fèi)用支出為10百萬元時，銷售額是多少(參考數(shù)據(jù)： eq isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 145， eq isu(i1,5,x) iyi1 380） eq avs4al(狀元隨筆) 注

6、意經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的一次項(xiàng)系數(shù)為 eq o(b,sup9() ，常數(shù)項(xiàng)為 eq o(a,sup9() ，這與一次函數(shù)的表示習(xí)慣不同微點(diǎn)2利用樣本點(diǎn)中心( eq o(x,sup9() ， eq o(y,sup9() ）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例2某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元）88.28.48.68.89銷量y(件）908483807568由表中的數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() ，其中 eq o(b,sup9() 20，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)品單價定為9.5元時，銷量約為

7、_件 eq avs4al(狀元隨筆) 樣本點(diǎn)的中心( eq o(x,sup9() ， eq o(y,sup9() ）在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上方法歸納求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應(yīng)變量；(2）畫出解釋變量和響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等）；(3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用經(jīng)驗(yàn)回歸方程）；(4）用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)；(5）寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程跟蹤訓(xùn)練1某個體服裝店經(jīng)營某種服裝在某周內(nèi)獲得的純利潤y(元）與該周每天銷售這種服裝的件數(shù)x之間有如下一組數(shù)據(jù)：x3456789y66697

8、381899091已知 eq isu(i1,7,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 280， eq isu(i1,7,y) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 45 309， eq isu(i1,7,x) iyi3 487.(1）求 eq o(x,sup9() ， eq o(y,sup9() ；(2）求純利潤y與每天銷售件數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3）估計每天銷售10件這種服裝時，純利潤是多少元？題型二經(jīng)驗(yàn)回歸分析師生共研例3已知某種商品的單價x(單位：元）與需求量y(單位：件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并說

9、明回歸模型擬合效果的好壞方法歸納R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于響應(yīng)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，回歸的效果越好(因?yàn)镽2越接近于1，解釋變量和響應(yīng)變量的相關(guān)性越強(qiáng)）.若對某組數(shù)據(jù)可以采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較幾個R2，選擇R2大的模型作為這組數(shù)據(jù)的回歸模型跟蹤訓(xùn)練2某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價x(單位：元/件）及相應(yīng)月銷量y(單位：萬件），對近5個月的月銷售單價xi和月銷售量yi(i1，2，3，4，5）的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：月銷售單價xi(元/件）

10、99.51010.511月銷售量yi(萬件）1110865(1）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2）該公司開展促銷活動，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達(dá)到18萬件，若由回歸直線方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實(shí)際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過0.5萬件，則認(rèn)為所得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是理想的，試問：(1）中得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否理想？(3）根據(jù)(1）的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價x為何值時(銷售單價不超過11元/件），公司月利潤的預(yù)計值最大？參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程 eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() ，其中 eq o(b,sup9

11、() eq f(isu(i1,n,x)iyino(x,sup9() o(y,sup9(),isu(i1,n,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) no(x,sup9()2) ， eq o(a,sup9() eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() eq o(x,sup9() .參考數(shù)據(jù)： eq isu(i1,5,x) iyi392， eq isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 502.5.題型三非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解師生共研例4為了研究某種細(xì)菌繁殖的個數(shù)y隨時間x變化的情況，收集如表數(shù)據(jù)：天數(shù)x(天）123456繁殖個數(shù)y(個）61

12、2254995190(1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作響應(yīng)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(2）觀察散點(diǎn)圖是否可用曲線yc1ec2x擬合，描述解釋變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系方法歸納求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1）確定變量，作出散點(diǎn)圖(2）根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3）變量置換，通過變量置換把非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)回歸問題，并求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程(4）分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果(5）根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程跟蹤訓(xùn)練3電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開始放電由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0）表示現(xiàn)測得時間t(s）時的電壓

13、U(V）如下所示：t012345678910U100755540302015101055試求電壓U對時間t的回歸方程易錯辨析缺失基本解題步驟致錯例5在一次抽樣檢查中，抽得5個樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表：x0.250.5124y1612521試建立y關(guān)于x的回歸方程解析：作出散點(diǎn)圖，如圖(1）所示，由散點(diǎn)圖可以看出，圖象近似反比例函數(shù)在第一象限的部分，因此令u eq f(1,x) ，由已知數(shù)據(jù)，可得變換后的樣本數(shù)據(jù)：u4210.50.25y1612521作出散點(diǎn)圖，如圖(2）所示，可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用經(jīng)驗(yàn)回歸方程擬合計算得 eq o(u,sup9() 1.55， eq

14、 o(y,sup9() 7.2， eq isu(i1,5,u) iyi94.25， eq isu(i1,5,u) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 21.312 5，則 eq o(b,sup9() eq f(isu(i1,5,u)iyi5o(u,sup9() o(y,sup9(),isu(i1,5,u) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 5o(u,sup9()2) 4.13， eq o(a,sup9() eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() eq o(u,sup9() 0.8.從而得到y(tǒng)關(guān)于u的回歸方程為 eq o(y,sup9() 4.13u0.8，

15、則y關(guān)于x的回歸方程為 eq o(y,sup9() eq f(4.13,x) 0.8.【易錯警示】易錯原因解決此題易出現(xiàn)如下錯誤：根據(jù)數(shù)據(jù)計算得 eq o(x,sup9() 1.55， eq o(y,sup9() 7.2， eq isu(i1,5,x) iyi23， eq isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 21.312 5，代入公式計算得 eq o(b,sup9() 3.53， eq o(a,sup9() 12.67，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程為 eq o(y,sup9() 3.53x12.67.事實(shí)上，由散點(diǎn)圖可知樣本點(diǎn)并沒有呈線狀分布，兩個變量不具有很強(qiáng)

16、的線性相關(guān)關(guān)系錯解是由于沒有按照建立回歸模型的基本步驟解題，忽略了畫散點(diǎn)圖，沒有觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系造成錯誤(2）一些非線性回歸問題可通過中間量變換，轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)回歸問題求解糾錯心得(1）解決這類問題必須嚴(yán)格按照建立回歸模型的基本步驟，不能主觀臆斷，必須按部就班，依照步驟解題 eq x(溫馨提示：請完成課時作業(yè)（十五）) 82一元線性回歸模型及其應(yīng)用新知初探課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一截距斜率要點(diǎn)二1. eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() 經(jīng)驗(yàn)回歸直線基礎(chǔ)自測1(1)(2)(3)(4)2解析：因?yàn)?eq o(x,sup9() eq f(0123,4) 1.5， eq o(y,sup9()

17、 eq f(1357,4) 4，所以樣本點(diǎn)的中心為(1.5，4)，而經(jīng)驗(yàn)直線過樣本點(diǎn)的中心故選D.答案：D3解析：因?yàn)闅埐?eq o(e,sup9() iyi eq o(y,sup9() i，所以殘差的平方和為(4.95)2(7.17)2(9.19)20.03.故選C.答案：C4解析：經(jīng)驗(yàn)回歸方程 eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() 過樣本中心點(diǎn)(4，5)，所以4 eq o(b,sup9() eq o(a,sup9() 5；又 eq o(a,sup9() eq o(b,sup9() 4，解方程組 eq blc(avs4alco1(4o(b,s

18、up9()o(a,sup9()5，,o(a,sup9()o(b,sup9()4，) 得 eq o(b,sup9() eq f(1,3) ， eq o(a,sup9() eq f(11,3) ，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為： eq o(y,sup9() eq f(1,3) x eq f(11,3) .答案： eq o(y,sup9() eq f(1,3) x eq f(11,3) 題型探究課堂解透題型一例1解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2) eq o(x,sup9() eq f(25,5) 5， eq o(y,sup9() eq f(250,5) 50. eq o(b,sup9() eq f(isu(i1,

19、5,x)iyi5o(x,sup9() o(y,sup9(),isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 5o(x,sup9()2) eq f(1 3805550,145552) 6.5， eq o(a,sup9() eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() eq o(x,sup9() 506.5517.5，所以所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq o(y,sup9() 6.5x17.5.(3)根據(jù)(2)中求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)x10時， eq o(y,sup9() 6.51017.582.5，即廣告費(fèi)用支出為10百萬元時，銷售額大約為82.5百萬元例2解析：因?yàn)?

20、eq o(b,sup9() 20，所以 eq o(y,sup9() 20 x eq o(a,sup9() . eq o(x,sup9() eq f(88.28.48.68.89,6) 8.5， eq o(y,sup9() eq f(908483807568,6) 80，將(8.5，80)代入 eq o(y,sup9() 20 x eq o(a,sup9() ，得 eq o(a,sup9() 250，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq o(y,sup9() 20 x250，當(dāng)x9.5時， eq o(y,sup9() 209.525060.所以當(dāng)產(chǎn)品單價定為9.5元時，銷量約為60件答案：60跟蹤訓(xùn)練1解析

21、：(1) eq o(x,sup9() eq f(1,7) (3456789)6， eq o(y,sup9() eq f(1,7) (66697381899091)79.86.(2)設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() x eq o(a,sup9() ，則 eq o(b,sup9() eq f(isu(i1,7,x)iyi7o(x,sup9() o(y,sup9(),isu(i1,7,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 7o(x,sup9()2) eq f(3 4877679.86,280762) 4.75 eq o(a,sup9() eq o

22、(y,sup9() eq o(b,sup9() eq o(x,sup9() 79.864.75651.36.所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq o(y,sup9() 4.75x51.36.(3)當(dāng)x10時， eq o(y,sup9() 98.86，估計每天銷售10件這種服裝時，可獲純利潤為98.86元題型二例3解析：計算可得 eq o(x,sup9() eq f(1,5) (1416182022)18， eq o(y,sup9() eq f(1,5) (1210753)7.4， eq isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 1421621822022221 660， eq

23、isu(i1,5,x) iyi14121610187205223620，所以 eq o(b,sup9() eq f(isu(i1,5,x)iyi5o(x,sup9() o(y,sup9(),isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 5o(x,sup9()2) eq f(6205187.4,1 6605182) 1.15， eq o(a,sup9() eq o(y,sup9() eq o(b,sup9() eq o(x,sup9() 7.41.151828.1，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是 eq o(y,sup9() 1.15x28.1.方法一列出殘差表：y1210753

24、eq o(y,sup9() 129.77.45.12.8y eq o(y,sup9() 00.30.40.10.2所以 eq isu(i1,5, ) (yi eq o(y,sup9() i)20.3，又 eq isu(i1,5, ) (yi eq o(y,sup9() )253.2，所以R21 eq f(isu(i1,5, )（yio(y,sup9()i）2,isu(i1,5, )（yio(y,sup9()）2) 0.994.故回歸模型的擬合效果很好方法二 eq isu(i1,5,y) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 122102725232327，則r eq f(isu(i1,5,x)iyi5o(x,sup9() o(y,sup9(),r(（isu(i1,5,x) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 5o(x,sup9()2）（isu(i1,5,y) eq oal(sup1(2),sdo1(i) 5o(y,sup9