結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

1、結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-1 概 述1結(jié)構(gòu)的位移（1）結(jié)構(gòu)的位移 結(jié)構(gòu)在外因的影響下將產(chǎn)生變形，由于變形使結(jié)構(gòu)上各截面的位置將發(fā)生變化，這種位置的變化稱為位移。 （2）位移的分類及表示 位移可分為線位移及角位移f，為計(jì)算方便常把線位移分解為水平及豎直兩個(gè)方向，分別用Cx(或CH)、Cy(或CV)表示，如圖6-1所示。角位移用fC(或C)表示如圖6-2所示。位移的表示符號(hào)右下方有兩個(gè)腳標(biāo)，其物理意義為：第一個(gè)腳標(biāo)表示發(fā)生位移的截面，第二個(gè)腳標(biāo)表示位移的方向(或引起位移的原因)。第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 位

2、移又可分為絕對(duì)位移（如圖6-1所示）及相對(duì)位移，如圖6-2中C、D兩截面的水平線位移Cx、Dx之和CD=Cx+Dx表示C、D兩截面在水平方向上的相對(duì)線位移，又如 fAB=fA+fB表示A、B兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。無(wú)論是絕對(duì)位移或相對(duì)位移，今后統(tǒng)稱為廣義位移，可用表示。 圖6-1 圖6-2第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 2計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的 （1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度 結(jié)構(gòu)在外因影響下如果變形太大，同樣會(huì)影響結(jié)構(gòu)的正常使用，為此在各種結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度都有一定的要求。 （2）結(jié)構(gòu)在施工過(guò)程中需要計(jì)算位移 結(jié)構(gòu)在施工過(guò)程中，往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，而這種變

3、形與結(jié)構(gòu)正常使用時(shí)完全不同。如圖6-3為懸臂拼裝架梁的示意圖。在正常使用時(shí)，該簡(jiǎn)支梁的最大撓度在跨中，而在施工時(shí)懸臂端B處的撓度最大，該撓度值也成為在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的控制因素之一。 圖6-3 第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 （3）為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ) 在超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，除考慮平衡條件外，還必須考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移是解超靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要手段。 （4）結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算中也需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的移。 3計(jì)算位移時(shí)的有關(guān)假定 （1） 結(jié)構(gòu)的材料服從虎克定理。即應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系。 （2） 結(jié)構(gòu)的變形很小，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)變形前后的幾何尺寸相同，稱為彈

4、性小變形問(wèn)題。 （3） 受彎桿件不考慮軸向變形的影響。 上述假定可使位移計(jì)算得到簡(jiǎn)化，其計(jì)算精度可以滿足工程要求。滿足上述假定的體系其位移與荷載呈線性關(guān)系，稱為線性變形體。若位移與荷載之間不呈線性關(guān)系的體系稱為非線性變形體。本書只考慮線性變形體。 4引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的原因除荷載外，還有溫度變化、支座移動(dòng)、制造誤差、混凝土收縮等因素。 第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 1虛功和虛功原理 （1）虛功 力在其位移上做功，當(dāng)力與位移彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)時(shí)，這時(shí)的功稱為虛功。 （2）剛體的虛功原理 理論力學(xué)中講過(guò)剛體的虛功原理：剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對(duì)于任何虛位移，所

5、有外力所作虛功的總和為零。 （3）變形體的虛功原理 對(duì)于變形體來(lái)講，當(dāng)給體系一虛位移時(shí)，除了外力(荷載、約束反力等)在虛位移上做虛功外，內(nèi)力在其相應(yīng)的變形上也要做功，這個(gè)功稱為變形虛功。變形體的虛功原理可表述為：變形體處于平衡的必要和充分條件是，對(duì)于任何虛位移，外力所做虛功總和等于各微段的內(nèi)力在其變形上所做的虛功總和。6-2 變形體系的虛功原理 第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 若用W表示外力虛功，WV表示變形虛功，則上述原理可寫為 W = WV (6-1) 由于力與位移的獨(dú)立性，為計(jì)算方便，常把力狀態(tài)與位移狀態(tài)分開(kāi)畫，在力狀態(tài)所有的力(荷載與支座反力等)處于平衡

6、狀態(tài)，在位移狀態(tài)中，虛位移可由其它任何原因(如另一組力系、溫度變化、支座移動(dòng)等)引起，但必須是約束條件所允許的微小位移。 2變形虛功的計(jì)算 在力狀態(tài)取微段ds為隔離體，如圖6-4(c)所示，在位移狀態(tài)對(duì)應(yīng)微段的變形為du、ds、df，當(dāng)略去二階微量時(shí)，ds微段的變形虛功為dWV = FNdu+FSds+Mdf，對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)則為 WV= dWV= FNdu+ FSds+ Mdf (6-2)第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二故虛功方程為： W= dWV= FNdu+ FSds+ Mdf (6-3)圖6-4第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 3

7、. 虛功原理的應(yīng)用 (1) 虛位移原理 給定力狀態(tài)，虛設(shè)位移狀態(tài)，利用虛功方程來(lái)求解力狀態(tài)的未知力，稱為虛位移原理。 (2) 虛力原理 給定位移狀態(tài),虛設(shè)力狀態(tài)，利用虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移，稱為虛力原理。本章將根據(jù)這一原理計(jì)算位移。第9頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 在利用虛力原理時(shí)，由于力狀態(tài)是虛設(shè)的，故將上節(jié)所述力狀態(tài)改稱為“虛擬狀態(tài)”，位移狀態(tài)改稱為“實(shí)際狀態(tài)”。為了計(jì)算方便，在“虛擬狀態(tài)”沿欲求“實(shí)際狀態(tài)”的指定截面位移方向K加一個(gè)對(duì)應(yīng)的單位力 ，如圖6-5所示。根據(jù)(6-1)、(6-3)式可得 式中 、 、 為單位力 引起的內(nèi)力(在虛擬狀態(tài))，上式移

8、項(xiàng)后可得 (6-5)6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法 1. 單位荷載法第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 由(6-5)式可以看出，欲求“實(shí)際狀態(tài)”的某一位移如K，則必須在“虛擬狀態(tài)”加一個(gè)相應(yīng)的單位力，然后利用虛功原理求出K，故此種計(jì)算位移的方法稱為單位荷載法。圖6-5 第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 2. 單位力的作法 具體計(jì)算中，欲求的位移可能是角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移，則對(duì)應(yīng)的虛擬力應(yīng)分別為一個(gè)單位力偶，一對(duì)指向相反的單位力或一對(duì)方向相反的力偶(見(jiàn)圖6-6)，在桁架中由于只承受結(jié)點(diǎn)集中荷載，當(dāng)欲求圖中BC桿轉(zhuǎn)角時(shí)

9、，虛擬力則是加在BC桿兩端結(jié)點(diǎn)垂直于桿軸線的一對(duì)集中力1/lBC，它們組成一個(gè)單位力偶m = 1/lBClBC = 1。圖6-6第12頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 式(6-5)中的du、ds、d為“實(shí)際狀態(tài)”中ds微段的變形，該變形可以由荷載引起或溫度變化或支座移動(dòng)等原因引起。本節(jié)先討論荷載的影響，其它因素將在后面各節(jié)分述。 當(dāng)只考慮荷載的影響時(shí)，式(6-5)可寫為 (a)由材力可知： (b)式中FNP、FSP、MP為“實(shí)際狀態(tài)”中荷載引起的微段內(nèi)力， 第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二E為材料的

10、彈性模量，I、A分別為桿件截面的慣性矩和面積，G為剪切彈性模量，k為截面上剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)，它與截面的形狀有關(guān)。如矩形截面k = 6/5，圓形截面k = 32/27，工字形截面kA/Af，Af是腹板的面積。將(b)式代入(a)式得 (6-6)在計(jì)算梁和剛架時(shí)，因剪切及軸向變形的影響比彎曲變形小得多，可以略去不計(jì)，故式(6-6)可簡(jiǎn)化為 (6-7)在桁架計(jì)算中，因只有軸力一項(xiàng)，且每根桿EA、 、 、l均為常數(shù)，故式(6-6)可寫為 (6-8) 第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二對(duì)于組合結(jié)構(gòu)，受彎桿件只計(jì)彎曲變形的影響，二力桿只有軸向變形，則式(6-6)可寫為 (

11、6-9) 例6-1 試求簡(jiǎn)支梁在荷載作用下跨中C截面的豎向線位移Cy。EI=常數(shù)。見(jiàn)圖6-7(a)。 解：1.建立“虛擬狀態(tài)”。欲求Cy則應(yīng)在C處加一單位集中力作為虛擬力，見(jiàn)圖6-7(b)。 2.寫出 、 表達(dá)式。 設(shè)x坐標(biāo)如圖所示，A為坐標(biāo)原點(diǎn)。在虛擬狀態(tài)中，由單位力引起的內(nèi)力、反力均在其相應(yīng)的表示符號(hào)上加一橫線，AC與CB段內(nèi)力表達(dá)式形式不一樣，故“兩種狀態(tài)”中的內(nèi)力應(yīng)分兩段寫出 第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二AC段 = ql/2x-qxx/2 (0 xl/2) = x/2 (0 xl/2)CB段 = ql/2x-qxx/2 (l/2xl) = x/2 -

12、1(x-l/2) = l/2-x/2 (l/2xl) 圖6-7第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 3.代入式(6-7)計(jì)算Cy。 計(jì)算結(jié)果得正值說(shuō)明Cy的方向與虛擬力方向一致，數(shù)據(jù)后面一定要注明所求位移的實(shí)際方向。 例6-2 求圖6-8(a)所示圓弧曲桿B點(diǎn)的豎向線位By。EI=常量，不計(jì)軸力及曲率的影響。 解：1.建立虛擬狀態(tài)如圖6-8(c)所示。 2.寫出 、 表達(dá)式。第17頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二取分離體分別如圖6-8(b)、(d)所示。 = -FRsin = Rsin, 且ds = Rd3.代入式(6-7)計(jì)算By。 圖6

13、-8 第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 例6-3 計(jì)算圖6-9(a)所示桁架下弦C結(jié)點(diǎn)的豎向線位移Cy、CD及CE兩桿的相對(duì)角位移C。各EA=3104kN。 解: 由于桁架的桿件較多，一般多采用表格形式進(jìn)行計(jì)算。本題兩種狀態(tài)內(nèi)力均為正對(duì)稱，故表6-1中只列出一半桿件內(nèi)力。由式(6-8)得 Cy = =2(9.43+6.67)10-4+13.3310-4 = 45.5310-4m = 45.5310-2cm() C = =6.6710-4rad(下面角度增大) ， CD桿與CE桿夾角減小。圖6-9第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二桿件

14、l(m)EAAD3X1040.943X10-49.43X10-400CD3X1040.943X10-4000AC43X1041.333X10-4106.67X10-400DE43X1041.333X10-4-10-113.33X10-46.67X10-4表6-1第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-5 圖 乘 法 1. 引言 在梁與剛架的位移計(jì)算中，當(dāng)荷載比較復(fù)雜時(shí)，積分運(yùn)算十分繁瑣，但在一定的條件下， 可簡(jiǎn)化為“圖乘法”進(jìn)行運(yùn)算。 2. 圖乘法的三個(gè)前提條件 (1)該桿段是一直桿， (2)在桿段內(nèi)EI為一常數(shù)， (3)在該桿段中 或 圖至少有一個(gè)是一直線圖形。

15、3公式推導(dǎo) 設(shè) 圖為曲線， 圖為一直線圖形。 = xtan代入積分式 第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二由合力矩定理可得 ，用yc表示 圖形心C所對(duì)應(yīng)的 圖上的縱距，則 4乘積正負(fù)號(hào)的取法當(dāng)Ayc在基線同一側(cè)時(shí)，Ayc取正；二者在基線異側(cè)時(shí)， A yc取負(fù)。整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行圖乘運(yùn)算時(shí)，則式(6-7)就可寫為 (6-10) 圖6-10 第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二例6-4 求圖6-11(a)所示簡(jiǎn)支梁A截面的轉(zhuǎn)角A。設(shè)EI為常量。解： 1.假設(shè)虛擬狀態(tài)見(jiàn)圖611(b)。 2.繪 、 圖。 3.由于 圖的面積及形心較容易求出，故yc可取

16、自 圖，計(jì)算如下 (順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))圖6-11第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 5. 常見(jiàn)圖形的面積和形心位置 進(jìn)行圖乘運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常見(jiàn)到的幾種圖形面積和形心位置如圖6-12所示。其中標(biāo)準(zhǔn)拋物線是指該曲線頂點(diǎn)的切線必須與基線平行。圖6-12第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 6兩個(gè)梯形圖形之間的圖乘 在運(yùn)算時(shí)還常遇到兩個(gè)梯形圖形進(jìn)行圖乘，在此推導(dǎo)一個(gè)便于記憶的圖乘公式，由圖6-13(a) 當(dāng)a、b、c、d在基線同側(cè)時(shí)乘積為正，反之為負(fù)。如圖6-13(b)： 第25頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二圖6-13 圖6-

17、14 第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 例6-5 求圖6-14(a)所示懸臂梁B截面豎向線位移By。 解： 1.假設(shè)虛擬狀態(tài)如圖6-14(b)所示。 2.繪 、 圖。 3.計(jì)算By。由于AC與CB段EI值不同，故圖乘時(shí)應(yīng)分段進(jìn)行圖乘，由第三章可知，AC段的MP圖可看為一個(gè)梯形圖形A3與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形A2疊加而成，具體計(jì)算如下 第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 例6-6 求圖6-15(a)所示組合結(jié)構(gòu)A截面的豎向線位Ay。已知E=2.1104kN/m2，A=12cm2，I=3600cm4。 解：1.假設(shè)虛擬狀態(tài)如圖6-15(

18、c)所示。 2.繪MP 、 圖，計(jì)算DE桿FNP 、 值，見(jiàn)圖6-15(b)-(d)。 3.計(jì)算Ay。 第28頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二圖6-15第29頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算 靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化的影響下，結(jié)構(gòu)各截面均不產(chǎn)生內(nèi)力，只產(chǎn)生變形。下面將用單位荷載法計(jì)算溫度變化影響下的位移。 首先推導(dǎo)實(shí)際狀態(tài)中任意微段ds的變形dut、dt、tds，然后代入式(6-5)即可求得任意K截面的位移即 (6-11) 設(shè)為材料的線膨脹系數(shù)，t1、t2表示結(jié)構(gòu)外、內(nèi)側(cè)溫度改變值(設(shè)t2t1)。并假定溫度沿截面

19、高h(yuǎn)按直線變化。由圖6-16(c)可知 (a) 第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二式中 為桿軸線處的溫度變化值。若截面對(duì)稱于形心軸即h1=h2，則 。 (b)式中t=t2-t1為桿件兩側(cè)之溫差，此外由于溫度變化并不引起截面的剪切變形，故tds=0。將(a)、(b)式代入式(6-11)得 (c) 圖6-16 第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二若每根桿件沿其全長(zhǎng)溫度的改變相同，且截面高度不變，則(c)式又可寫為 (6-12)式(6-12)即為靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化時(shí)位移的計(jì)算公式。應(yīng)注意在總和號(hào)“”中每根桿件計(jì)算時(shí)的正負(fù)號(hào)，由于tA 及 表

20、示內(nèi)力所做的變形虛功，故當(dāng)“實(shí)際狀態(tài)”由于溫度變化引起的變形與“虛擬狀態(tài)”虛擬力產(chǎn)生的內(nèi)力方向一致時(shí)取正，反之取負(fù)，t及t在式(6-12)中就只代絕對(duì)值。受彎桿件在溫度變化時(shí)，不能忽略軸向變形的影響，這是與承受荷載時(shí)的不同之處。 桁架在溫度改變時(shí)，其微段變形僅有dut=tds項(xiàng)，故式(6-9)可寫為 (6-13) 第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二當(dāng)桁架因制造誤差與設(shè)計(jì)長(zhǎng)度不同時(shí)，若各桿長(zhǎng)度的誤差為，則位移計(jì)算公式為 (6-14)此外，在工程中混凝土收縮與徐變的性質(zhì)與溫度變化類似，所產(chǎn)生的變形相當(dāng)于降溫25，如果混凝土為分段澆筑，則取值-15。 例6-7 求圖6-

21、17(a)所示剛架D截面的水平線位移Dt。各桿截面為矩形，截面高度h=60cm，剛架內(nèi)側(cè)溫度上升15，外側(cè)溫度無(wú)變化。線膨脹系數(shù)=0.00001。 解：1.假設(shè)“虛擬狀態(tài)”如圖6-17(b)所示。 2.繪 、 圖，如圖6-17(c)、(d)所示。 3.計(jì)算Dt。t=15-0=+15，t=(0+15)/2=+7.5，t為正號(hào)說(shuō)明桿軸線處溫度是升高7.5，變形是沿桿軸伸長(zhǎng)， 第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二由“實(shí)際狀態(tài)”的溫度變化t=+15可以看出剛架各桿內(nèi)側(cè)纖維伸長(zhǎng)，虛擬力的方向可從 、 圖中看出。利用式(6-12)可得 圖6-17 =(7.516-7.516-7

22、.516) =(-45-540/0.6) =-0.00945m =-0.945cm()第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算 靜定結(jié)構(gòu)在支座發(fā)生移動(dòng)時(shí)，各桿既不變形也無(wú)內(nèi)力，只有剛體位移，位移計(jì)算的一般式簡(jiǎn)化為 (6-15)式中表示在“虛擬狀態(tài)”中，由虛擬力引起的各支座反力，C為“實(shí)際狀態(tài)”中，各支座的移動(dòng)量。為反力虛功，當(dāng)虛反力與實(shí)際支座移動(dòng)C方向一致時(shí)，其乘積為正，反之為負(fù)?？偤头?hào)前的負(fù)號(hào)，是該項(xiàng)移到等號(hào)右邊時(shí)而得來(lái)的，計(jì)算時(shí)切勿遺漏。 第35頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二 例6-8 求圖6-18(

23、a)所示剛架在B支座發(fā)生移動(dòng)時(shí)，鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)角位移C。 解：1. 假設(shè)“虛擬狀態(tài)”并求虛反力，如圖6-18(b)所示。 2. 求 。 = -(1/40.02) = -0.005rad (下面角度增大)圖6-18第36頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 1功的互等定理 設(shè)兩組外力分別作用在同一線彈性結(jié)構(gòu)上如圖6-19所示。首先計(jì)算“第一狀態(tài)”的外力、內(nèi)力在“第二狀態(tài)”相應(yīng)的位移和變形上所做的虛功W12及虛變形能W i 1 2，并根據(jù)虛功原理W12 = W i 1 2可得 (a)再計(jì)算“第二狀態(tài)”的外力、內(nèi)力在“第一狀態(tài)”相應(yīng)的位移和變形上所做的虛功W21和虛變形能W i 21，同理可得 (b)比較(a)、(b)兩式，可以看出 F112 = F221 (6-16)第37頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)18分，星期二式(6-16)表示“第一狀態(tài)”的外力F1在“第二狀態(tài)”相應(yīng)位移12上所做的虛功等于“第二狀態(tài)”的外力F2在“第一狀態(tài)”相應(yīng)位移21上所做的虛功，稱為功的互等定理。 圖6-19 圖6-20 第38頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日