經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第講函數(shù)極限概念

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第講函數(shù)極限概念第1頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 函數(shù)的極限與連續(xù)性第一節(jié) 函數(shù)的極限與性質(zhì)三. 極限定義及定理小結(jié)四. 函數(shù)極限的基本性質(zhì)第2頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 由于數(shù)列實(shí)際上可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)域的函數(shù), 所以, 可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中, 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出: 如何描述它？第3頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 有問(wèn)題沒(méi)有？ 好像沒(méi)有問(wèn)題.第4頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義想想：如何從幾何的角度來(lái)表示該定義？第5頁(yè)，

2、共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二第6頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 將圖形對(duì)稱(chēng)過(guò)去后, 你有什么想法? 將圖形對(duì)稱(chēng)第7頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義第8頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形 , 你有什么想法?第9頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二你能否由此得出 一個(gè)極限的定義 和一個(gè)重要的定理. 現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形 , 你有什么想法?第10頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義第11頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月

3、20日，18點(diǎn)26分，星期二由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),又包含了 x 的情形.既包含了 x +,第12頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定理及極限的三個(gè)定義即可證明該定理.由絕對(duì)值關(guān)系式:第13頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證成立. 由極限的定義可知:例1第14頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二解無(wú)限縮小, 可以小于任意小的正數(shù) . 因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過(guò)程怎么寫(xiě)？例2第15頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 這里想得通嗎？第16頁(yè)

4、，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二由圖容易看出：分析 需要證明之處 請(qǐng)同學(xué)們 自己先證一下.例3第17頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證第18頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證第19頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二例4證第20頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 x x0 時(shí)函數(shù)的極限, 是描述當(dāng) x 無(wú)限接近 x0 時(shí), 函數(shù) f (x)的變化趨勢(shì).第21頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 f ( x ) 在點(diǎn) x0= 0 處有定義. 函數(shù) f (

5、 x ) 在點(diǎn) x0= 1 處沒(méi)有定義.例5第22頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二第23頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二(第24頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義第25頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二注意為什麼要考慮空心鄰域？考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數(shù)在一點(diǎn)的極限時(shí)，不考慮函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。反例第26頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證 這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例6第27頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日

6、，18點(diǎn)26分，星期二證例7第28頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證？如何處理它例8第29頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 這里 | x + 2 | 沒(méi)有直接的有界性可利用, 但又必須設(shè)法去掉它. 因?yàn)?x 1, 所以, 從某時(shí)候開(kāi)始 x 應(yīng)充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 1分析結(jié)論第30頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二證證畢例8第31頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二觀察知證證畢例第32頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二在極限定義中：1) 與 和 x0

7、有關(guān), 即 = ( , x0). 一般說(shuō)來(lái), 值越小, 相應(yīng)的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時(shí)也要對(duì) x x0 以任何方式進(jìn)行都成立.3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極限值 a.第33頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + 曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過(guò)第34頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二考慮兩個(gè)問(wèn)題.第35頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二y = a y = a y = axOyx0

8、x0 + 函數(shù)在 x0 的左邊可以無(wú)定義想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ? 如何描述這種情形？第36頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ?y = a y = a y = axOyx0 x0 函數(shù)在 x0 的右邊可無(wú)定義 如何描述這種情形？第37頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二3.函數(shù)的左、右極限定義第38頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定義第39頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二(1) 左、右極限均存在, 且相等；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右

9、極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！ 函數(shù)在點(diǎn) x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第40頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二y = f (x)xOy11在 x = 1 處的左、右極限.解例9第41頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 + y = a y = a y = aOyx0 x0 對(duì)此有什么想法沒(méi)有？ “左右重合”第42頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二定理 利用 | x x0 | x x0 0推不出極限A0.第60頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)2

10、6分，星期二性質(zhì)4: （函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）證明 必要性根據(jù)假設(shè)第61頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二第62頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二第63頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二性質(zhì)5第64頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系 該定理也稱(chēng)為第一保號(hào)性定理第65頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論 作輔助函數(shù) F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的結(jié)論即可得證.第66頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二 函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系 該定理也稱(chēng)為第二保號(hào)性定理第67頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)26分，星期二第二保號(hào)性定理成立.運(yùn)用反證法, 設(shè) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時(shí),有 a 0 ), 則由第一保號(hào)性定理將推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 該矛盾就證明了第68頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，