第屆華杯賽小高決賽B卷解析

1、第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題B （小學(xué)高年級組）一、填空題（每小題10份，共80分） TOC o 1-5 h z 、81841計算：57.6 x + 28.8 x -14.4 x 80 +12-=.552【難度】【考點】計算：提取公因數(shù)【答案】12：【解析】甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵.已知，甲植樹的棵數(shù)是其余三人的二分之一，乙植 樹的棵數(shù)是其余三人的三分之一，丙植樹的棵數(shù)是其余三人的四分之一，那么丁植樹 棵.【難度】【考點】應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【答案】13【解析】甲=總數(shù)的三分之一=20,乙=總數(shù)的四分之一=15,丙=總數(shù)的五分之一=12,所以丁=60-20-15-12 = 13

2、 （棵）當(dāng)時間為5點8分時，鐘表面上的時針與分針成 度的角.【難度】【考點】行程：時鐘問題【答案】106【解析】5點時，時針分針夾角150度，每分鐘追趕6-0.5 = 5.5度，所以8分鐘追趕5.5x8 = 44度， 所以成150-44 = 106度某個三位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，加4是 6的倍數(shù)，那么這個數(shù)最小為.【難度】【考點】數(shù)論：余數(shù)、最小公倍數(shù)【答案】122【解析】這個三位數(shù)減去2得到3、4、5、6的公倍數(shù)，取三位數(shù)120，所以最小值為122.貝塔星球有七個國家，每個國家恰有四個友國和兩個敵國，沒有三個國家兩兩都是敵國.對于一種這樣的星球局勢，共

3、可以組成 個兩兩都是友國的三國聯(lián)盟.【難度】【考點】計數(shù)：組合計數(shù)【答案】7【解析】用A ,A ,A , A ,A , A ,A這7個點代表七個國家，用虛線連接表示敵國關(guān)系，用實線連接表 -12.3, 456 .7示友國關(guān)系.則每個國家連出2條虛線，4條實線.共7 x 2 + 2 = 7條虛線，其余為實線.首先說明這7個點必然由7條虛線依次連接為一個閉合回路.A必與兩個點連接虛線， TOC o 1-5 h z 不妨記為A ,A，而A必然再與一個點連接虛線，記為A ;2A虛線連接A3，否則寸剩下3個點互為敵國關(guān)系； 4A4虛線連接A5，否則剩下兩個點無法由2條虛線連接；A5虛線連接A6，最后A只

4、能虛線連接A .最終連線圖品下.71只要選出的三個點沒有任何兩個相鄰則滿足條件.有135, 136, 146, 246, 247, 257,357，這7種.(為了直觀我們用1,2,3,4,5,6,7分別代表A , A , A , A , A , A , A )1234567由四個互不相同的非零數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656,則這些四位數(shù)中最大的是，最小的是.【難度】【考點】數(shù)論:位值原理【答案】9421, 1249【解析】設(shè)其中最小的四位數(shù)為abed，一共可組成4 x 3 x 2 x 1 = 24個不同的四位數(shù)，由于每個數(shù)字在每位上均出現(xiàn)6次，則24個數(shù)和為6x(a +

5、b + e + d)x1111 = 106656,則四個數(shù)字之和為16,所以最大和最小的可能為，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、 7531 和 1357、7432 和 2347、6541 和 1456、6532 和 2356.7.見右圖，三角形ABC的面積為1, DO: OB = 1:3, EO: OA = 4:5，則三角形DOE的面 積為.【難度】【考點】幾何：等積變形【答案】旦135【解析】設(shè)三角形DOE的面積為4x，由比例關(guān)系不難得出圖中另三塊的面積分別為5兀12兀15x ,再設(shè)三角形DCE的面積為y再設(shè)三角形DCE的面積為y ,則有 CE

6、 = y = y+4 x+5x, BE 4x +12x12x + 15x 得 y =144 x11則三角形doe411的面積為4 + 5 +12 +15 +些=135 .11三個大于1000的正整數(shù)滿足：其中任意兩個數(shù)之和的個位數(shù)字都等于第三個數(shù)的個位數(shù)字，那么這3個數(shù)之積的末尾3位數(shù)字有 種可能數(shù)值.【難度】【考點】組合：分類討論數(shù)論綜合【答案】4【解析】設(shè)三個數(shù)的個位分別為a,b,c如果a,b,e都相等，則只能都為0;如果a,b,e中有兩個相等，a,a,c且a e，則有 e + a = a,a + a = 10 + e，則 a = 5,e = 0 ; 如果a,b,c都不相等，設(shè)a b c，

7、則c + b = 10 + a,c + a = 10 + b，則c = 10，與c為數(shù)字矛 盾；綜上三個數(shù)的個位分別為0, 0, 0或0, 5, 5;如果都為0,則乘積末尾3位為000;如果為0, 5, 5如果個位為0的數(shù)，末尾3位都為0,則乘積末尾3位為000；如果個位為0的數(shù)，末尾2位都為0,則乘積末尾3位為500或000；如果個位為0的數(shù)，末尾1位為0設(shè)末尾兩位為萬，設(shè)另外兩個末尾2位為后,房，則a5 x b5 = 100ab + 50 (a + b )+25，若(a + b)為奇數(shù)，則乘積末尾3位為75 ；若(a + b)為偶數(shù)則乘積為25,在乘上0，無論c為多少，末尾三位只有000,

8、 250, 500, 750這4種.綜 上，積的末尾3位有000, 500, 250, 750這4種可能.二、解答下列各題(每題10分，共40分，要求寫出簡要過程)將的某兩位數(shù)字交換能否得到一個完全平方數(shù)？請說明理由.【難度】【考點】數(shù)論：完全平方數(shù)【答案】不能【解析】原數(shù)的數(shù)字和為1 + 2 + 3 + + 9 +1 + 0 +1 +1 = 48 ,為3的倍數(shù)，而交換數(shù)字位置不會改變數(shù) 字和，所以無論怎么調(diào)整得到的數(shù)一定為3的倍數(shù)；而一個平方數(shù)如果為3的倍數(shù)，則 一定為9的倍數(shù)，而48不是9的倍數(shù)，所以無法通過交換數(shù)字位置得到一個完全平方 數(shù).如右圖所示，從長、寬、高為15, 5, 4的長方

9、體中切走一塊長、寬、高為j ,5, x的長 方體(X ,y為整數(shù))，余下部分的體積為120,求x和j .【難度】【考點】幾何：長方體正方體【答案】x = 3 , j = 12【解析】解得 xj = 36 ； 36 = 1x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6,因為 x，J 為整數(shù)，且 x 4, j 15 ,所以 x = 3 , j = 12 .圓形跑道上等距插著2015面旗子，甲與乙同時同向從某個旗子出發(fā)，當(dāng)甲與乙再次同 時回到出發(fā)點時，甲跑了 23圈，乙跑了 13圈.不算起始點旗子位置，則甲正好在旗子 位置追上乙多少次？【難度】【考點】行程問題：環(huán)形跑道

10、【答案】5次【解析】設(shè)每兩面旗子間距離為1,即跑道周長為2015 .因為v甲 :匕=23:13 ,設(shè)v甲=23 x , v乙=13x ,甲要追上乙則需比乙多跑n圈，(23x-13x)t = 2015n , 10 xxt = 2015n，即甲追上乙時所花時間t =四主，則甲追上乙時，所走路程為23xx蛭=類世n ；要恰好在旗子位置追上，2 x2 x2則所走路程一定為整數(shù)，即n為偶數(shù)，所以n = 2,4,6,8,10 （最多多跑10圈）；綜上所 述，甲正好在旗子位置追上乙5次.兩人進行乒乓球比賽，三局兩勝制，每局比賽中，先得11分且對方少于10分者勝，10 平后多得2分者勝,兩人的得分總和都是31

11、分，一人贏了第一局并且贏得了比賽，那 么第二局的比分共有多少種可能？【難度】【考點】組合：體育比賽【答案】8【解析】設(shè)贏的為甲，輸?shù)臑橐?甲第一局獲勝，如果第二局又勝則直接獲勝總分一定比乙多不 符合題意，所以甲第二局輸?shù)谌众A.甲第一、三局都贏，則一、三局至少會比乙多得4分，所以乙第二局至少贏甲4分及以 上，所以只能以11分取勝.所以第二局的比分可以為：0:11, 1:11, 2:11 7:11，共8種.（乙在第二局贏了多少分， 甲都可以通過一、三局贏回多少分使兩人總分才目同，所以甲在第二局得分從07都可能； 例如三局比分分別為20:18、0:11、11:2） 三、解答下列各題（每小題15分，

12、共30分，要求寫出詳細(xì)過程）如右圖所示，點M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點，且DM : MC = 1:2，四邊形 EBFC為平行四邊形，F(xiàn)M與BC交于點G.若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之 差為13 cm2,求平行四邊形ABCD的面積.【難度】【考點】幾何：蝴蝶模型【答案】60【解析】連接BD令S = aFEM則 S = S= 2a, S= 4a設(shè)一家之言、言揚行舉”、“舉世皆知”、“知行合一四個成語中的每個漢字代表11個 連續(xù)的非零自然數(shù)中的一個，相同的漢字代表相同的數(shù)，不同的漢字代表不同的數(shù).如 果每個成語中四個漢字所代表的數(shù)之和都是21，則行可以代表的數(shù)最大是多少【難度】【考點】組合：最值構(gòu)造【答案】8【解析】經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)其中“一”，“言”，“舉”，“知”，“行”，各出現(xiàn)兩次，其它漢字 只有一次.令這五個漢字所代表的數(shù)依次為a,b,c,d,e （均為正整數(shù)），設(shè)11個連續(xù)自然數(shù)為G+1）,G+2）, ., G+11），則（x +1） + （x + 2） + （x +11） + a + b + c + d