《集合》知識(shí)全解

1、集合知識(shí)全解一、知識(shí)結(jié)構(gòu) 本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說明然后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子闡述了集合間的基本關(guān)系，進(jìn)一步講解了集合間的基本運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下所示：二、內(nèi)容解析集合概念的基本理論，稱為集合論它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)涞龋冀⒃诩侠碚摰幕A(chǔ)上另一方面，集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過集合，對(duì)于諸如數(shù)集（整數(shù)的集合、有理數(shù)的

2、集合）、點(diǎn)集（直線、圓）等，有了一定的感性認(rèn)識(shí)這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸首先通過實(shí)例引出集合與集合元素的概念，然后通過實(shí)例加深對(duì)集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子1關(guān)于集合的概念分析點(diǎn)、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”；初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”等等在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過實(shí)例，對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)教材給出的“一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集

3、”這句話，只是對(duì)集合概念的描述性說明我們可以舉出很多生活中的實(shí)際例子來進(jìn)一步說明這個(gè)概念，從而闡明集合概念如同其他數(shù)學(xué)概念一樣，不是人們憑空想象出來的，而是來自現(xiàn)實(shí)世界2關(guān)于自然數(shù)集的分析教材中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國家標(biāo)準(zhǔn)，與原教材不盡相同，應(yīng)該注意新的國家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集 含元素0，這樣做一方面是為了推行國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國際標(biāo)準(zhǔn)，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù) 中最小的數(shù)，有了0，減法運(yùn)算 仍屬于自然數(shù)，其中 因此要注意幾下幾點(diǎn)： （1）自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合，也就是說自然數(shù)集包含 ； （2）自然數(shù)集內(nèi)排除 的集，表示成 或 ，其他數(shù)集如整數(shù)集

4、 、有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 內(nèi)排除 的集，也可類似表示 ， ， ； （3）原教材或根據(jù)原教材編寫的教輔用書中出現(xiàn)的符號(hào)如 ， ， ，不再適用 3關(guān)于集合中的元素的三個(gè)特性分析我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素例如“中國的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶.集合中的元素常用小寫的拉丁字母 ，表示如果 是集合 的元素，就說 屬于集合 ，記作 ；否則，就說 不屬于 ，記作 要正確認(rèn)識(shí)集合中元素的特性：（1）確定性： 和 ，二者必居其一 集合中的元素必須是確定的這就是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了例如，給出集合地球上的四大洋，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋其他

5、對(duì)象都不用于這個(gè)集合如果說“由接近 的數(shù)組成的集合”，這里“接近 的數(shù)”是沒有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念，它不能構(gòu)成集合 （2）互異性：若 ， ，則 集合中的元素是互異的這就是說，集合中的元素是不能重復(fù)的，集合中相同的元素只能算是一個(gè)例如方程 有兩個(gè)重根 ，其解集只能記為 ，而不能記為 （3）無序性： 和 表示同一個(gè)集合 集合中的元素是不分順序的集合和點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的概念，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 和點(diǎn) 表示不同的兩個(gè)點(diǎn)，而集合 和 表示同一個(gè)集合 4要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念（1）集合和元素是兩個(gè)不同的概念，符號(hào)和是表示元素和集合之間關(guān)系的，不能用來表示集合之間的關(guān)系例如 的寫法就是錯(cuò)誤的，

6、而 的寫法就是正確的 （2）一些對(duì)象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合的元素就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別現(xiàn)象例如對(duì)于集合 ，就是指所有不小于 的實(shí)數(shù)，而不是指“ 可以在不小于0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值”，不是指“ 是不小于 的一個(gè)實(shí)數(shù)或某些實(shí)數(shù)，”也不是指“ 是不小于 的任一實(shí)數(shù)值” （3）集合具有兩方面的意義，即凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件5表示集合的方法所依據(jù)的國家標(biāo)準(zhǔn)本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國家標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定 符號(hào) 應(yīng)用 意義或讀法 備注及示例 諸元素 構(gòu)成的集 也可用 ，這里的I表示指標(biāo)集 使命題 為真的A中諸元素之集 例： ，如果從前后關(guān)系

7、來看，集A已很明確，則可使用 來表示，例如 此外， 有時(shí)也可寫成 或 6集合的表示方法分析集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法它們各有優(yōu)點(diǎn)用什么方法來表示集合，要具體問題具體分析（l）有的集合可以分別用三種方法表示例如“小于 的自然數(shù)組成的集合”（2）有的集合不宜用列舉法表示例如“由小于 的正實(shí)數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示，因?yàn)椴荒軐⑦@個(gè)集合中的元素一列舉出來 （3）用描述法表示集合，要特別注意這個(gè)集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義例如：集合 中的元素是 ，它表示函數(shù) 中自變量 的取值范圍，即 ； 集合 中的元素是 ，它表示函數(shù)值.的取值范圍，即 ； 集合

8、 中的元素是點(diǎn) ，它表示方程 的解組成的集合，或者理解為表示曲線 上的點(diǎn)組成的集合； 集合 中的元素只有一個(gè)，就是方程 ，它是用列舉法表示的單元素集合 實(shí)際上，這是四個(gè)完全不同的集合列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因?yàn)椴荒軐o限集中的元素一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定7關(guān)于空集分析不含任何元素的集合叫做空集，記作 空集是個(gè)特殊的集合，除了它本身的實(shí)際意義外，在研究集合、集合的運(yùn)算時(shí)，必須予以單獨(dú)考慮 8在集合間的基本關(guān)系中包括子集、真子集、集合相等（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 與 ，如果集合 中任何一個(gè)元素都是集合

9、 中的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合 是集合B的子集（subset） 記作： ， 讀作： 包含于（is contained in） ，或 包含（contains） 其意義就是： 當(dāng)集合 不包含于集合 ，或集合 不包含集合 時(shí)，則記作 或 釋義： 有兩種可能： 是 的一部分； 與 是同一集合，即 = 也就是說，任何一個(gè)集合是它本身的子集即 （2）Venn圖(文氏圖)：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用封閉的曲線的內(nèi)部代表集合，稱這種圖形為Venn圖用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系 如下： （3）集合與集合之間的 “相等”關(guān)系：若 ，則A，B中的元素是一樣的，因此 即 （4）真子集：若集合 ，

10、存在元素 ，則稱集合 是集合 的真子集（proper subset） 記作： （或 ）， 讀作： 真包含于 （或 真包含A） 其中“存在元素 ”的含義也可以簡單的理解為 對(duì)于 有兩種可能： 是 的一部分； 與 是同一集合，即 = ，而 僅表示 是 的一部分，且 9集合的基本運(yùn)算，包括兩個(gè)集合的交集、并集及補(bǔ)集（1）交集：一般地，由屬于集合 且屬于集合 的元素所組成的集合，叫做集合 與 的交集（intersection set）記作： 讀作：“ 交 ” 即： = | ，且 交集的Venn圖表示如下：（2）并集：一般地，由所有屬于集合 或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，稱為集合 與 的并集（Unio

11、n） 記作： 讀作：“ 并 ” 即： =x|x ，或x Venn圖表示：（3）補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集 ，由全集U中所有不屬于集合 的所有元素組成的集合稱為集合 相對(duì)于全集U的補(bǔ)集（complementary set），簡稱為集合 的補(bǔ)集， 記作： 即： = | U且 補(bǔ)集的Venn圖表示三、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)是使學(xué)生了解集合的含義，理解集合間包含與相等的含義，理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)內(nèi)容.難點(diǎn)是合理選用列舉法或描述法正確表示一些集合，區(qū)別元素與集合、集合與集合之間的屬于、包含的關(guān)系，理解并集與交集的區(qū)別與聯(lián)系，Venn圖的意義和應(yīng)用四、教法導(dǎo)引集合是一個(gè)不

12、加定義的概念，教學(xué)中應(yīng)通過具體的實(shí)例使學(xué)生正確理解.學(xué)習(xí)集合語言最好的方法是使用，在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì)，以利學(xué)生在使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言各自的特點(diǎn)，能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換并掌握集合語言.在集合之間的關(guān)系和運(yùn)算中，使用Venn圖是重要和有用的，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握、運(yùn)用集合語言和其他數(shù)學(xué)語言要注意集合元素的確定性并能判斷元素是否屬于集合.要注意記號(hào)的含義和正確使用，注意描述法、列舉法的適用性，注意并集、交集的區(qū)別，注意子集、真子集的區(qū)別學(xué)習(xí)集合的初步知識(shí)，目的主要在于應(yīng)用具體地說，就是在學(xué)習(xí)其它知識(shí)和處理簡單的實(shí)際問題時(shí)，能根據(jù)需要，運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述.在安排訓(xùn)練時(shí)，要把握分寸，不要搞偏題、怪題在訓(xùn)練時(shí)，要把握好難度，避免偏題、怪題；不要求補(bǔ)充集合運(yùn)算的性質(zhì)及證明五、學(xué)法建議在集合的含義與定義中，學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解，這里主要根據(jù)實(shí)例引出概念介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學(xué)生容易接受在引出概念時(shí)，從實(shí)例入手，由具體到抽象，由淺入深，學(xué)生理解比較容易，緊接著再通過實(shí)例理解概念集合的表示方法也是通過實(shí)例加以說明，化難為易，學(xué)生掌握也比較容易在掌握集合的概念和表示方法以及兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有大小關(guān)系的