2017考研數(shù)學(xué)高數(shù)強(qiáng)化講義數(shù)三

1、引：第一講引：第一講1. lim f(x A 0 0，當(dāng)0時(shí)f(x)Ax【注x6種情形xx,xx ,x ,x,x,x00 xna 2. limxn a 0N 0，當(dāng)nN時(shí)若limf(x A(A唯一若limf(xA(xKf(x) K (會(huì)證會(huì)用2若limf(x A0 xf(xxf (x0，則若存在lim f(x【例1】證明：若單調(diào)數(shù)列xn的某一子數(shù)列x若limf(x A0 xf(xxf (x0，則若存在lim f(x【例1】證明：若單調(diào)數(shù)列xn的某一子數(shù)列xn 收斂于 A ，則該數(shù)列xniA【分析】不妨設(shè)xn單調(diào)增x1 x2 xn N 0N 0，當(dāng)xn i又11Axn A .證i(x3 1)si

2、nf(x)【解】函數(shù)定義域?yàn)?, (0,lim x3 1sinx 1()有2x0+ lim x3 1sinx 1()有x2x3sinx不x (x2 x3sinx不x (x2 f (x) f(x在ab上連續(xù)f(x在ab上有f (x)在(ab)內(nèi)連2.計(jì)算法-若lim ff (x)在(a,b)內(nèi)有界 f(x f(x0) 1f (x)在xx 0(x03(x2 xf(x) f(x f(x)f(xxx 處取極大值【分析】由已知f(x)0000(x0(2)判斷類型（0, 0,000,1 0 （1）lim1cos xcos 2xcosf(x) f(x f(x)f(xxx 處取極大值【分析】由已知f(x)00

3、00(x0(2)判斷類型（0, 0,000,1 0 （1）lim1cos xcos 2xcos【解】1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2x lim1cos 1limcosx(1cos2x) 2II122I 7 lim cos xcos2x(1cos3x) I32 e, m B分子項(xiàng)數(shù)501t ，原 .tttt eeex【注x（3）設(shè)0lim x ln x0 【分析】0 001 4簡(jiǎn)單：x 設(shè)置分母有原則，簡(jiǎn)單因式才下放x,arcsinx,arctan1lim x lnx lim lnx 1 lim x xx0 x xlnx(, 【注x（4）lim 4x2 xl

4、n(2 1)2ln2x有分母，則簡(jiǎn)單：x 設(shè)置分母有原則，簡(jiǎn)單因式才下放x,arcsinx,arctan1lim x lnx lim lnx 1 lim x xx0 x xlnx(, 【注x（4）lim 4x2 xln(2 1)2ln2x有分母，則沒(méi)有分母，創(chuàng)造分母，再“原式x1lim 4t ln(2t 2lntttln(2t)4t 14t ln(2t)2ln24limt1)limsin3 xlim(sinxx)(sin2 xxsinxx213 sin326x)(0 （6）lim( xx( aa aa b a a bx12 xx(x（7）lim(2x tan x2)sin【注】u(x)v( e

5、v(x)lnu(22xsec2 ln(2xtanx22xtan 1x1lim sinxln(2xtanx22 原式e20 x0 tan x22limxlnx005（8）lim( xsin x)sinxxx 0令txx 00 xx 0令tx x00lims ln(t)令tx0 原式lim(t1x2xx2ln(1)x【正解】原式 lim （8）lim( xsin x)sinxxx 0令txx 00 xx 0令tx x00lims ln(t)令tx0 原式lim(t1x2xx2ln(1)x【正解】原式 lim x2ln(11exlimxx2ln(11t1 limtln(1t) xx t21即原式 e

6、2 lim lim ex1】原式 11x2 ln(11 xx2 ln(1 xx2 ln(1 xelim 112】x0 (1cosx)(1cosx0 1cosx x0 1cos2 x0 1cos1】求lim(11 1 nn【解】記x 為連lim x(x1)lim xln(11 1 lim x(1 1 11x e0 x由歸結(jié)原則，原式1【例2】lim(1 2n 3n )nsin【解】記x 為連2xln23xln lim(12x 3x)xsinx lim ln(12x3xlim 12x ex xsinex 1cos不（羅比達(dá)法則失效2xln23xlnln(12x3xln(12x3xln(12x3x1

7、xlim(1 eln3 6由歸結(jié)原則，原式 32. 通項(xiàng)已知但不易于連續(xù)化，準(zhǔn)則xln(1 x) x1 （）設(shè)x 1 1)(1 2).(1 n，求lim.nnf(b) f(a) f()(ba 11f (t) ln(1t在0, x上用拉氏 ln(1 x) x，其中0記xx1由歸結(jié)原則，原式 32. 通項(xiàng)已知但不易于連續(xù)化，準(zhǔn)則xln(1 x) x1 （）設(shè)x 1 1)(1 2).(1 n，求lim.nnf(b) f(a) f()(ba 11f (t) ln(1t在0, x上用拉氏 ln(1 x) x，其中0記xx1ln(1x)1 i ln(1 1)ln(1 2).ln(1 n)（）ln n(n

8、ninnini2)n i 2n2n2i1 n(nn(nni2 21n 22n 2i1 11limlnxn limxn e22xnf單增且有上單減且有下 x 收斂，也即lim x nnn【例（）設(shè)f (xln x 1 ，求f (x) 的最小值x 1 1，證明limx 存在，并求此極限（）設(shè)x 滿足ln nnnxf(x)10 x 1xf(x) 0；x 1 f (x) 0 f(1)0 x71（）由（） ln nxn11lnx 1與lnx 1相減0nnxxn111lnx 1lne e，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知limx 由ln nnnxxnlnA1 11A并記limxn AlnA101（）由（） ln nxn1

9、1lnx 1與lnx 1相減0nnxxn111lnx 1lne e，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知limx 由ln nnnxxnlnA1 11A并記limxn AlnA10 AlnA 1 1AAf (x) xaln(1 x) bxsin x g(xkx3，當(dāng)x 0時(shí)f (x) g(x，a、b、k6【分析】泰勒公式ln(1 x) x o(x3)；sinx xf(x) xa(x o(x3)bx(x 故6(1a)x(b a)x2 a x3 o(x3231a a b0 a12g(x)3b2a k 3s2xln(1dt(x 0)，求c.t0 x21xf(xdt tdt122，g(x) xln(1 x) t200 xl

10、n(1x) 21 1fg(x) dt( ) x 4t2 88c 1,k 48（1）x0, f(x) axm,g(x)、a、b 均不等0，則 fg(x) abmxmngf、fg(x) fabmx0 bxnxxgf(t)dt （2）x0, f(x)c 1,k 48（1）x0, f(x) axm,g(x)、a、b 均不等0，則 fg(x) abmxmngf、fg(x) fabmx0 bxnxxgf(t)dt （2）x0, f(x) g(x)，f 00 xf f 0 x0無(wú)定義點(diǎn)(未必xx f(x)x(x1)x【分析】 x1xxexlnxxx0 x(x1)x0 x(x1)xxxx exlnxln 12

11、x1 x(x 1)x1 x(x 1)xxlim f(x （作業(yè)） x 1f(x) 121f (x2x(x2 ,x sinf (x) ，x(x2 ,x x 9, 2.29,2.31,講：一 應(yīng)用物理(一、二經(jīng)濟(jì)(三F(x0 xF(x0, 2.29,2.31,講：一 應(yīng)用物理(一、二經(jīng)濟(jì)(三F(x0 xF(x0增量F(x ) xF(x) F(x 00函數(shù)差x f (x)x0處導(dǎo)數(shù)存在 f(x0A(f(xx0 處可導(dǎo)x2 sin x 1F(x) ，求F(x) xx 分段點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)定【分析】段點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)公10 F(0) lim F(x)F(0) limxsin 1 xxx 0，F(xiàn)(x) 2xsin 1 x

12、2 cos 11 xx2xsin 1 cos 1，x F(x xxx 2】設(shè)0f(x在,f(0)1lim ln(1 2x) 2xf ln(12x) 2x (2x)2 o(x2)2x2x2o(x【分析】2lim2x2x22xf(x)o(x2) lim2x(f(x)1) 20lim ln(1 2x) 2xf ln(12x) 2x (2x)2 o(x2)2x2x2o(x【分析】2lim2x2x22xf(x)o(x2) lim2x(f(x)1) 202lim f (x) f(0)202f (0)20 f (0)x ) f( 2 ). f( n )21nnn2n2n1,limxn12n （）求. 【定理

13、】若lim g(x) A，則g(x) A(x), lim(x) f(0 x) f(0) f(0 x) f(0) f (0)f(0) f( x) f(0) x(x) iiii于是f) f)x f( 1) f( 2). f( n) f )nni 2n，；2nn ini ，0 記22nn1in lim 2flim n1原式 1 f (0) 1 （）由（）令f(xsinx, f(0), f 22【自練】求lim(1 1 )(1 2 n 記x (1 1 )(1 2 ).(1 n )lnx ln(1 1 )ln(1 2 )n 1nn【自練】求lim(1 1 )(1 2 n 記x (1 1 )(1 2 ).

14、(1 n )lnx ln(1 1 )ln(1 2 )n 1nn12f(x)ln(1x), f(0)0, f (0)1.limlnf (0)lime2令n2ny fyf(x0 xf真實(shí)增A xf線性增x y A x 0 y f (xx0 處可微xlim f (x0 x) f (x0) f(x )0 x【注】x 為自變dx f (x)dx f(x) xx，且當(dāng)y f (x時(shí)dy y A xo( A x y(x ) x 0f(uyf(x2，當(dāng)xx1處取 x0.1時(shí)， y0.1，則f(1) y y(1) x0.1 y(1)1 f(1)(2) f(1) 2xIF(x f(xF(xf(x在I上的一個(gè)原函數(shù)

15、f(x)dx F(x)否則：x0 I，使F(x0f(x0)，f (x) 在I 上的原函數(shù)F(x) 不10 連續(xù)(有 30 可去間斷點(diǎn)(沒(méi)有 50振蕩間斷點(diǎn)(可能有，也可能沒(méi)有10連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)(考過(guò)證明xF(x)f(x)dt(axIf(x) 在上連續(xù)，證明：aF(x) f (x)， xI ，且A1A2lim f(x) lim f(x) 1200設(shè)xIF(xf(x)，x0 處，F(xiàn)(x0 f(x0limF，且A1A2lim f(x) lim f(x) 1200設(shè)xIF(xf(x)，x0 處，F(xiàn)(x0 f(x0limF(x) A1, limF(x) 00又lim F(x) f(x0) lim F

16、(x) )1x0F(x ) lim F(x) f(x0) lim F(x) x2xx0 F(x0不存在x2 sin x F(x) xx 2xsin 1 cos 1，x f (x) F(x) xx1x 1lx0連振蕩間斷F(x) F(x) f 1 sin x x f (x) lim1sin 1 x 0為振蕩間斷點(diǎn)Fbf (x)dx存在f (x)dx 存在f (x在ab上可積ababf (x在ab上有界abf (x)dx 存在f (x在ab上連續(xù)f 在abax【注f (t)dt 屬于定積分范疇，故x為有限變量，即x 不是無(wú)窮大a【例】在1, 2 上2, xf (x)1, x1.x2xsin 1 2

17、1x f (x)x【注f (t)dt 屬于定積分范疇，故x為有限變量，即x 不是無(wú)窮大a【例】在1, 2 上2, xf (x)1, x1.x2xsin 1 21x f (x)xx lim2x 211xx2 sin 1 , xF(x) 為f (x的原函數(shù)xx xf (x) 2xcos 1 1x f (x) 1xxx 1 l2 cos 1x F(x) 為f (x的原函數(shù)xx xf(x)連續(xù) F(x)f (t)dt可axf (x)可積 F(x) f(t)dtacosx, xf(xxxF(x) f(t)dt 0f (xF(00過(guò)原點(diǎn)xF(x) f(t)dt的圖為（ 0f (x) 的原函xf(t)dt可

18、積f(x)可導(dǎo)f af (x) F(00過(guò)原點(diǎn)xF(x) f(t)dt的圖為（ 0f (x) 的原函xf(t)dt可積f(x)可導(dǎo)f af (x) f (xf (x) f (xxf (t)dt為偶F(x)0 xf (t)dt(a 0)為偶函 f(x) f(x)F(x) f(t)dtutf(u)du0 f(u)dux0 xff(t)dtf(t)dt為偶函數(shù)又aa0 xf (t)dt為奇0F(x)xf (t)dt(a 0)確定不了奇偶 xF(x) f(t)dt是（ 0F(xf (x) 若x 0跳躍1個(gè)不可導(dǎo)若x0可去處處可導(dǎo)，但F(x f (x 002f (xa 0，則（ yxyxf (u)du

19、確定不了奇偶性f (u)du 為奇a00ayxyxx f 2xf為奇函數(shù)偶函0aaa10可導(dǎo)f (x以為周期f (x以f (xT) f f(xT x) f(xTf(x x)yxyxf (u)du 確定不了奇偶性f (u)du 為奇a00ayxyxx f 2xf為奇函數(shù)偶函0aaa10可導(dǎo)f (x以為周期f (x以f (xT) f f(xT x) f(xTf(x x) f(x) f(xT) fxT為周期F(x) f(x)dx020f (x) 以a0 xf(t)dtf(t)dtf【證F(x T) aTF(x T) F(x) f(t)dt 故0Tf (x) 可積，以T 為周期，則f (x)dx a為

20、任意實(shí)數(shù)f(x)dx00Tf (x)dxff(x)dxf (x)dxa0aa f(uT)du ff (x)dx 00Tf(x)dxf0TTTf (x)dx f(x)dxf(x)dxf (x) 可積的奇函數(shù)，以2T20f (x在(0內(nèi)可導(dǎo)，則）f(x在(0,f(x在(0f(x在(0f (x在(0(C) f (x在(0,f (x在(0,(D) f(x在(0,f (x在(0,x sin1(sin狗)=cos(狗(狗1,(sinx2)cosx2sin .B(x)sin x1,(sin1)cos1( 1 CxxD 選項(xiàng)：【定理】若 f (x在有限區(qū)間(ab內(nèi)有界，則 f (x) 在區(qū)間(ab) 內(nèi)有界【

21、證】 f(x f(x0 f()(xx0f(x)k,kf(x0) f()(xx0) ff(x) f(x0) xf(x0) k(ba)M,010 兩個(gè)任意，任意切分ab，任意取高n 等分a, b 、取右端點(diǎn)的函數(shù)值為bbnlimf (abi)fnnn an1a 0,b1limf1)f(x)k,kf(x0) f()(xx0) ff(x) f(x0) xf(x0) k(ba)M,010 兩個(gè)任意，任意切分ab，任意取高n 等分a, b 、取右端點(diǎn)的函數(shù)值為bbnlimf (abi)fnnn an1a 0,b1limf1)fn 0nnnnnn2 )lim. 【例】n n n n n 2222n 1 1

22、n ni211 dx nnn 1 1 dx0 1 2lnnn2 i 2 21 2 40i1 1301i【例】求lim(b b sin,b1nn 1iilimsinb 2n (b n bnlim(b nb sinnn b i1bn：i 0bn 21i 1bn in1bbsin xdx cos1cos11lim(b b sin,bnnn求1bb sinlimsinbn (b n bn sinxdx cos1coslim(b nnnn 1xb (ff2f、axb10屬于定積分 f (x)dx 的范疇a2(f1bb sinlimsinbn (b n bn sinxdx cos1coslim(b nnn

23、n 1xb (ff2f、axb10屬于定積分 f (x)dx 的范疇a2(f(t)dt) f (x)(x) f (x2211 (1求導(dǎo)xt x常如x2sin(x x) (2x1)sin x s23xxtf (x2 t2f(x0 x121x0f (u)du 0 f(u)du tf (x t )dtx u 20 x1f(u)du 2 f(x )220定義a可積定積分存在b函f(x)dxa為瑕點(diǎn)（lim f(x)a 1dx xdxlnxx 1p 1收p 1收 11x；p 1發(fā)p 1發(fā)0 11 ln xdx 的斂散性【例】設(shè)00【分x 0, f (x)x 001時(shí)，取 0，使 ln lim x ln

24、x x 1ln lim ln x 小結(jié)：大收 小發(fā)【自練】設(shè)k 0 x(ln一般題：求導(dǎo)規(guī)則、符高階題lim f(x記作f ( cosxln lim x ln x x 1ln lim ln x 小結(jié)：大收 小發(fā)【自練】設(shè)k 0 x(ln一般題：求導(dǎo)規(guī)則、符高階題lim f(x記作f ( cosxsin x ，1f(xx0 2 f(x) cosxln cosx sinxsinx 【解】ln f (x)sin xln cosfcossinx sin2xf(x)cosxsinx cosxlncosx coscosx 0，cosx 0，sin x 1 ，cosxsin x 0，cosxln cosx

25、02cosxsinlim (sinx1)lncos x 0 cossinx lim f(x) lim x 0 cos2cosx 0 x 0 2 sin sinxtlim(1t2)2 lim(1t)2 lim(1t)2 e02coslnx x x x1x xlim f (x) x0 2yy(x由方程*x3 y3 xy10確定，求lim3yx3y(0)x2 y(0) x3 o(y(x) y(0) y(0)x26x 0, y(0) 1;*式求導(dǎo)3x2 3y2 y y xy0 y(0) 3y2yy(x由方程*x3 y3 xy10確定，求lim3yx3y(0)x2 y(0) x3 o(y(x) y(0)

26、 y(0)x26x 0, y(0) 1;*式求導(dǎo)3x2 3y2 y y xy0 y(0) 3y(0)0,y(0)【作業(yè) y(x) 1 1 x 26 x3 o(x3 3 x 26 x3 x3o(x3lim3y x3 3y x3 sinxy6(0ynyy x3(x 1 x3 .) x4 1 x6 66y6 唯一性y f (xfnf(x)抽象展開(kāi)f(x)具體展f n fn展開(kāi)式具有唯一性 比較 xm 前邊的系數(shù)an1，求yn04y 2xynyy13113223x) nn3n1 n(2313yn (1)n yn(0) (1)n 唯一性5y xcos2 xyn(n 2)【分析】(uun nk u . v

27、C u nky xcos2 x x1cos2x x 1 x5y xcos2 xyn(n 2)【分析】(uun nk u . vC u nky xcos2 x x1cos2x x 1 xcos2xcosx(cosC (cos x2n cos(2x n)n2n1 cos(2x (n nnn22kn cos(kx 2綜述：湊微分法 換元法 分部積分法 ln(x 1 x2 1 【分析】對(duì)復(fù)雜主要部分求導(dǎo) ln(x 1x2若求導(dǎo)結(jié)果是被積函數(shù)剩余部分 湊微分成功 1 ln(x 1 x2ln(x 1 x2 dx 3dx ln(x 1 x2ln(x 1 x 21 21 22ln(x 1 x 232】(2x1

28、) 34x4x2x 1 cosdt 1 11)2cos4 (2x1) 22 (2xdt 1(tant 1 )C 2x 1 C1 4cos2 4cos434x1x)dx,(x 3I x【分析】 若亦不成功， “舉重若輕1 1 ln(1t) t x I ln(1令t2 xt2 t2 1 1ln(1t)11 dt ln(1t)1 t1 11t2 2t1t 1t2 2 1 1 ln(1t) t x I ln(1令t2 xt2 t2 1 1ln(1t)11 dt ln(1t)1 t1 11t2 2t1t 1t2 2 1tex 4Iex 1ex txln1令ex 11111I tdln1t2 (1t2 )

29、(1t2 )dt 21t2 dt 21t2 dt ln1t 2arctant性態(tài) x(x0 x0), f(x0 x(x0 x0 ), f(x)0 x0 為極x(x0 x0), f(x0 x(x0 x0 ), f(x0 x0 為極大值點(diǎn)2) f(xx0處n設(shè)f(x)f(x). fn1(x )000(x )n0fnx 0 x 極小n當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，若00(x 0 x 極大n00f(xx0點(diǎn)的左右領(lǐng)域f(x變號(hào) (x0f(x0為曲線上的設(shè)2) 判別拐點(diǎn)的“更高階”f(xx0處n設(shè)fn1 )000(x )n0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(x0f(x0為拐點(diǎn)30 漸近線1)y(x) 的無(wú)定義點(diǎn)或定義區(qū)間的端.是否等于 ，

30、若是x x0 為鉛垂，反之亦反(xx ,xx 2)lim y(xAy 30 漸近線1)y(x) 的無(wú)定義點(diǎn)或定義區(qū)間的端.是否等于 ，若是x x0 為鉛垂，反之亦反(xx ,xx 2)lim y(xAy A為水平lim y(x 3)lim y(x) 是否等于非零常數(shù)alimy(xax是否等于常數(shù)bx是，則y ax b為斜漸近線401.f(x0 x02.f (x1)不 x1不可導(dǎo)a, f(x0f(x1),f(a),f(b比較其值M(ab) 求單側(cè)極 (1【分析】x ,11, x1x1 12 y2x 1x221,001-0+-0+f2 908x令0 x y令0 x 0(駐點(diǎn)) y 1 x3 1 x

31、4 2積分（測(cè)度-長(zhǎng)度、面積、體積bfxf ab四、邏輯（證明中值定理 方程根（等式證明1、中值定理x 在8x令0 x y令0 x 0(駐點(diǎn)) y 1 x3 1 x4 2積分（測(cè)度-長(zhǎng)度、面積、體積bfxf ab四、邏輯（證明中值定理 方程根（等式證明1、中值定理x 在a,a,a 0上二階導(dǎo)數(shù)0 0f的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式，af3證明 a, a， f x f 0 f0 x f2m fxm則ffx f0 x f2fa a代f x dx2x 2 m2x dxMaaax dx2222m3fxdx M aa 333afxdx3 mafx在0,1連續(xù)0,1內(nèi)可f 00, f 1設(shè)1110,1

32、,證明不同的，使 , +f ffm3fxdx M aa 333afxdx3 mafx在0,1連續(xù)0,1內(nèi)可f 00, f 1設(shè)1110,1,證明不同的，使 , +f ff 123f f 0 f 0 1 , 0, f f 11111 2 ，f f f f f f 212212 1,2 12,f1 f f f 2321 32 2 12 3f1f2 f 11 f 2能讓f =f f =1f =1嗎1212333fa f b0 f f x單調(diào)單調(diào)性fx0 f xx 0有兩個(gè)根，則f x=0至若AAx 0至多1個(gè)根 若f x=0至多0個(gè)則則fn1x0至多k 1個(gè)根若fnx=0至多k個(gè)【例】證明lnxe

33、1cos2xdx 0 有且僅有兩個(gè)x0【分析】1cos2xdx 2sinxdx 2 2 0,記f xlnxex lnxex 2 lim lnxe 2 2【分析】1cos2xdx 2sinxdx 2 2 0,記f xlnxex lnxex 2 lim lnxe 2 2x2 0至少2fx1 0 x2xf x 0至多0個(gè)根f x0至多1個(gè)x 0至多2f3f x、g x在a,b上連續(xù)，x單調(diào)增0 gxfx （I）g t dt xa,x abta b f x dxx g x aaaxx x 0dt g t dt 1dt x0aaxa gt xf ugudu Fb（II）F x f u duaaax則Fx

34、 f ag t dt g x f x g ax gx xag t dt fa xxg t dt xag t dta aaFx單調(diào)減，F(xiàn)a0 Fb第三講 微分方程1.概念及其應(yīng)2. 一階方程的3. 高階方程的1.Fx,y,y,ynn12. 一階方程的3. 高階方程的1.Fx,y,y,ynn1n2dy f x,ydy x, y若gxhf dy gh【例】求ytan x y 3的通y3tanxdytanx y 3 dy cotyy3lnsinx lnc1 c1 yy3 c1 令c =c c sin1sincy sindy f yy y xyuyxu yuxu f u xu f udy f yy y

35、xyuyxu yuxu f u xu f uu xuf u xxyyln yxdyyy u yxu yuxu 于是u xuulnu dx ulnuxlnlnu1ln xlnc1 lnu1 c1 x lnu1c1xcxue1cx , y 回x y axybxycxax0 bxcxypxy qpxqx已 p x pxy q x dxe【注】若 pxdx ln epx 1 同正負(fù)py 1 xqxdxx 1 epx 1 同正負(fù)py 1 xqxdxx 1 xqxdxxyy2x ydyy2x ydy y2 y2 x 1即yyx 1x yx pyx qy px y qx xy y p y p x q y d

36、yedy 11ydyyyln lnydye1 3c ,y3【例】ytan x y 3 y ycot x 3cot pxdx cotxdx lnsin xy elnsinx elnsinx 3cot xdx 1 3cosxdxsin1c3sin xc3 csinsin 非線性：通解全部解f xyy 1 3cosxdxsin1c3sin xc3 csinsin 非線性：通解全部解f xyyypy pf x,pf yyy xy p dp dp dy dy y pp f y,p 【例】求2yy y2 y2y01,y01y py dp p2yp p2 y2 ppp2 y 122pp yp112 1 yp

37、2y p 2 1 p2ypp 2y2 2pp1 zz 1y 22y11 z ydyc1yy y yc p y c 11c 0, p2 1 zz 1y 22y11 z ydyc1yy y yc p y c 11c 0, p2 y2 p 1p y dy y y1 y y e1dx 2e1dx 0dx ex c2 c2 1 y 1.y pyqy pp2 寫 pq01,2 22 1 0 cc xx1222=0= = c x xsin30 =iccosx通12y2y2y 0 2 2 2 0 2 12ccosx12通2.（1）ypyqyexpmy非齊=yy pyqy ex p my ex Qmx k一看項(xiàng)

38、中的2 pq00,1,2 k1, 或 122,= y ex Qmx k一看項(xiàng)中的2 pq00,1,2 k1, 或 122,= y4y ex2xex AxBex AxBy4y ex 2x exAxB2Aex 4exAxBex2xex3Ax2A3Bex2x A 3A 39 y x2A3B B 240 2,1 y =cc 12齊213cc x222（2）ypyqy ex pmxcosx pnxsin 設(shè)y x cosxx sinx 12kll拼一看項(xiàng)中的,2 pq0 k1,y4y 2cose0 x 2cos2x0siny e0 xAcos2xBsin2x02 40e0 x 2cos2x0siny e

39、0 xAcos2xBsin2x02 40k y2y2y2excos2 x2 22y0 220 【分析】y 122sinccosx12齊2excos2 x 2ex1cosx ex ex cosx 22y2y2y ex y ex Ax0 Aex 1Aex 2Aex 2Aex ex Ay 1y2y2y ex cosx ex1cosx0sinBcosxCsin x1B 0,C 1 y 1exxsin222y y y sinx故ccosx通12第四講 多元函數(shù)微分學(xué)概念-5 個(gè) fx,y yfx f x0lim x2y2 lnx2 y2y limulnu 第四講 多元函數(shù)微分學(xué)概念-5 個(gè) fx,y y

40、fx f x0lim x2y2 lnx2 y2y limulnu 0limx2 y2lnx2 y2 x2 ln2 lnlimx 2 y22y22y2x 2 12x2 x2 14 又0 x x2 x2 lim f xy f x0y0 yfxy在x0 y0 處連fx,y0f x0,y0 x fx0,yf x0,y0y f0 x, 0,y0fyfx,z全增量z f x0 xy0 y f x0y0 B f,zAxBy0 可22 zAxByo記 2 B f,zAxBy0 可22 zAxByo記 22o 為f dx,x0,y00f x,ydx f x,ydy f dxf dzxy,x,y0,0fx,yx2

41、 0,x, y0,在點(diǎn)0, 處是否可微【分析】z f 0 x,0y f 0,0 x2 fx,0 f 0,00 f 0,xxf0,yf 0,000,0 yyz AxBy ox2 y2 x2 x2 2222 若yxI 2 2y2x， I 5I不，所以不可55.fx,z f x ,y , f x ,y fxx,y, fyx,?5.fx,z f x ,y , f x ,y fxx,y, fyx,?fxx,y fy ,0?fyx,y fyx0,y0y 2二計(jì)算（多元微分法u, v 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)122z f xy, f xyz fxy, f x,y1 f xy, f x,y fx,y121 z x2

42、fx,yf x y, f x,x y, f x,yf x,yf12fxy, f x,y x,2 22,2 f22,2 f12 f, 1 u1 u ux vvx,f u,fvx,2 f fu u1 u ux vvx,f u,fvx,2 f fu x1f x,v,v vx,yfv x,2 f f12z f xfxy在點(diǎn)x0 y0 z fx ,y 0, f 則,0 x ,y xy 0記 x Bf,0,是A0A0 B 2f x,y,z問(wèn)題提出:求目標(biāo)函數(shù)u x,y,z在約束條件 x,yz0下的極值ff x,y,z問(wèn)題提出:求目標(biāo)函數(shù)u x,y,z在約束條件 x,yz0下的極值fx,y,z, f x,y

43、,zx,y,zx,y,zF xF yF zF 解之，得pi xi, yi,zi ,i 1,zx,y由方【例】已z x2 y2zlnz2x y1確定z zxy令x求令分別x, y 求偏導(dǎo)1 22xz x zxxz1 22yz x zyyzx 2xz2 xz 代入令z 2yz21zy ylnz220 z 1,x yzP1,x 2xz2 xz 代入令z 2yz21zy ylnz220 z 1,x yzP1,x1z2z 2x22y2xz 2yz x z 1z z 1z yx2zzy 1 12z2z2yz 2yz x zyy2zzx 220,x y1,z 1 A3,B0,C y B2 AC 4 極大值點(diǎn)

44、1,1極大值z(mì)1,1 A1x2 1y2 x2 y2 xy 32】求u 【分析】Fxy1x2 1 y2 x2 y2 xyF 21x2x y0,x令21 y2yx0,Fx2y2xy30,3變量的對(duì)稱性法（x yx y特殊取值試探法（0，如令0Fx0,Fy0中的消去xy關(guān)系F特殊取值試探法（0，如令0Fx0,Fy0中的消去xy關(guān)系F0本題中，令y x2x2 x2 3 0 x 1, y （1（2） 令2xy0 x1,y2,滿足（3，且2時(shí)，滿足令2yx0y1,x2,滿足（3，且2時(shí)，滿足（1）于是u1 2 2,u2 0,u3 u4 3umax 3第五講 二重積分1.基礎(chǔ)題f x,y f x,y f x

45、,yf x,fx,yd DD10f x,y f x,yf xydxdy積值（數(shù)fx,ydxdyy2 fy,Dxy: 4 3 x2 Dyx: 4 3 f x,ydxdy f yxdxdy，稱x2 y2 1a 1f xydxdy積值（數(shù)fx,ydxdyy2 fy,Dxy: 4 3 x2 Dyx: 4 3 f x,ydxdy f yxdxdy，稱x2 y2 1a 1x2 b 1 IDDx,x0,y1x2 1 【分析】Dxy 1 1x2 aI 1x2 1 Da 1 y2 b 1 xD1 y2 1a 1 x2 1 y2 1 x 1 22Dab112 I a48sinx3 y3，Dx,x y【自練】Dx sinx3 y3siny3 x3dydy DD2I 0dxdy0I Dy2bx,yI f x,y d fy ax1Dx2ydf x,yI f x,y d cxy1D極 d r cos,rsin I f x, y d f1D換1020fx,【例1】 f x,y dx2序 0220f x,yfx2ydf x,yI f x,y d cxy1D極 d r cos,rsin I f x, y d f1D換1020fx,【例1】 f x,y