線性空間綜述

1、線性空間相關(guān)定義簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集 合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，也可以是 任意給定域中的元素）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。域的概念：設(shè)F是一個非空集合，在F中定義加法和乘法兩種運算，且這兩種運算 對F來說是封閉的，也就是說，對F中的任意兩個元素a，b，a+b和ab仍 屬于F，如果加法和乘法運算滿足以下運算規(guī)則，則稱 F對所規(guī)定的加法和 乘法運算作成一個域：（加法交換律）對F中任意兩個元素a，b，有a+b=b+a（加法結(jié)合律）對F中任意三個元素a，b， c，有（a+b）+c=a+（b+c）（存在0元）F中存在一個元素，我

2、們把它記作0，使得對F中的任 意元素a，有a+0=a（存在負元）對F中的任意元素a，在F中存在一個元素，我們把它 記作-a，有a+（-a）=0（乘法交換律）對F中任意兩個元素a，b，有ab=ba（乘法結(jié)合律）對F中任意三個元素a，b，c，有（ab）c=a（bc）（存在單位元）F中存在一個乏0的元素，我們把它記作e，使得對F 中的任意元素a，有ae=a（存在逆元）對F中任意乏0的元素a，在F中存在一個元素，我們 把它記作a（因為這里顯示不了 a的負一次方，所以用a代替），有aa=e（乘法對加法的分配律）對F中任意三個元素a，b，c，有 a（b+c）=ab+ac常見的域有：復(fù)數(shù)域C、實數(shù)域R、有理

3、數(shù)域Q，但是自然數(shù)集N和整數(shù) 集Z都不是域。線性空間定義：設(shè)V是一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域，在集合V的元素之間定義一種代 數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于 V中任意兩個元素x 和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應(yīng)，稱為x與y的和，記為 z=x+y .在數(shù)域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法； 這就是說，對于數(shù)域F中任一數(shù)k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一 個元素y與他們對應(yīng)，稱為k與x的數(shù)量乘積，記為y=kx。如果加法與乘法 還滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域F上的線性空間.V對加法成Abel群，即滿足：(交換律)x+y=y+x ；(2 )(結(jié)合律)(x+

4、y ) +z=x+ ( y+z )(3 )(零元素)在V中有-兀素0, 對于V中任- 元素 x 都有 x+0= x；(4 )(負元素)對于V中每一個元素x,都有V中的元素y,使得x+y=0 ；數(shù)量乘法滿足：1x=x ；k(lx) = (kl)x ；數(shù)量乘法和加法滿足：(k+l) x=kx+lx ；(8 ) k (x+y) =kx+ky .其中x, y, z為V中任意元素，k, l為數(shù)域F中的任意元素，1是F的 乘法單位元。數(shù)域F稱為線性空間V的系數(shù)域或基域，F(xiàn)中元素稱為純量或數(shù)量(scalar ) , V中元素稱為向量(vector )。當系數(shù)域F為實數(shù)域時，V稱為實線性空間。當F為復(fù)數(shù)域時，

5、V稱為 復(fù)線性空間。編輯本段簡單性質(zhì)V中零元素(或稱0向量)是唯一的。V中任一向量x的負元素(或稱負向量)是唯一的。kx=0 (其中k是域F中元素，x是V中元素)當且僅當k=0或x=0。(-k)x=-(kx)=k(-x)。編輯本段例子域F上mXn矩陣全體，按矩陣的加法與數(shù)乘是F上線性空間。復(fù)數(shù)域C是實數(shù)域R上的線性空間。域F上次數(shù)小于n的多項式形式全體是F上的線性空間。連續(xù)實變函數(shù)全體按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法是實數(shù)域R上的線性空間。首先說說空間（sp皿功 這個概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的偷根子之一，從拓撲空間開始， 步步往上加定義.可以形成很多空間.線形空間M實還是比較初坡的.如果在里 面定義了范數(shù)，

6、就成了賦范線性空間.吼范級性空間褊足完備性，說成了巴那赫 空間；唏范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)相空間再滿足完備性就 得到希爾伯特空間.克之，空間有很多神。你耍是去看某種空何的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個集 合，在這個集介上定義某某.概念.然后滿足某些性質(zhì)七就可以皴稱為空間，這 未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，咒 實這是很有道魁的，我們一般人最熟悉的空間，亳無疑同就是我們生活在其中的（按照牛頓的始對時 生觀）的三維生PL從數(shù)學(xué)上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那 么務(wù) 先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點，仔細想想我們就 會

7、知道，這個三維的空間m L由很多（實際上是無窮多個）位置點淚成；2.這 些點Z間存在相對的關(guān)系 3.可以在空間中定義長度、角度，4.運個空間可以 容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到為一個點的移動（變換），而不是 微積分意義上的懂埃叫生的運動，上面的這些性質(zhì)中，炭最關(guān)鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎(chǔ)，不算 是空間特有的性瓜 凡是討論數(shù)學(xué)問題，都得有一個集侶 大務(wù)數(shù)還得在這個集 合上定義一些站構(gòu)（關(guān)系），并不是說有了這些就算是空間&而第3條太特殊，11： 他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì).，只有第4條是空間的本質(zhì)，也就是說, 容納運動是空間的本質(zhì)特征。認識到了這些，我們就可以把

8、我們關(guān)丁三舞空間的認識擴展到JE他的空間原事實 上，不管是什么空匝 都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運動（變換）。 你會發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會存在一種相對應(yīng)的變換，比如拓撲空拓 沖交跖 線性空間中有線性變換仿射空間中有仙射變換,M實這些變換都只 不過是對成空間中允許的運動形式而已&因此只要知道，“空間分是容納運動的一個對彖集而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的 運動弓Tm-Mi來看看線性空間，紋性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承 認線性空間是個空間,那么有兩個最基本的問砸必須首先得到解決，那誡是：空而是一個對泉集合，線性空間也是空間，所以也是一個對窸集合。那么線 性空間是什么樣的對象的集

9、合？或者說.線性空間中的對象有什么共同點嗎？線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個問踱，回答這個問題的時候M實是不用拐彎抹角的可以直 楸了當?shù)慕o出答案，線性空間中的任何一個時象.通過選取基利坐標的辦怯，都 可以表達為向M的形式湖常的向址空間我就不說了 舉兩個不那么平凡的例子, LL最高次項不大丁,n次的多項式的全體枸成一個線性空何，也就是說，這個線 性空間中的旬一個對象是一個多項式c如果我們以x，x，為基，那么任何 一個這樣的多項式都可以表達為一組ml雄向此 其中的每一個分址如其實就是 多項式中W項的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那

10、一組基線性無關(guān)就可以這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下 而己缶L2.閉區(qū)間1句上的n階建續(xù)可微函數(shù)的全體，鞫成一個線性空間。也就是說， 這個線性空間的每一個對象是一個連續(xù)函數(shù)訪河丁M中任何一個連續(xù)函數(shù)，根據(jù) 觀爾斯特拉斯定他一定可以找到最高沃項不大丁的多項式函數(shù)，使之與該連 續(xù)函數(shù)的差為0,也就是說J完全相等備這樣就把間題歸結(jié)為LIT.后而就不用 再至務(wù)了口所以說，向址是很厲擊的，只要你找到介適的基，用向扯可以表示線性空間里任 何一個對象C這里頭大有文章，困為向量表面上只是一列敖，但是M實由丁它的 有序性，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息Z外，還可以在何個數(shù)的對應(yīng)位置上攜 帶信息。為

11、什么在程序設(shè)計中數(shù)組最簡單.卻又成力無窩呢？根本原因就在丁此。 這是另一個問廄了，這里就不說了。下面來回答第二個問踱J這個問廄的回答會涉及到綬性代數(shù)的一個最根本的何 鼠技性空間中的運動，被稱為線性交換也就是說，你從線性空間中的一個點運動 到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，城性變換如何去 示呢？很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以川一個向械 來描述空間中的任何一個井家，而旦可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運 動（變換人而使某個對象度生對應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陽 乘以代表那個對每的向址3簡而言Z,在統(tǒng)性空間中選定基之后.向M刻畫對盆，矩陣到畫肘

12、敬的運動J 用矩陣與向址的乘法施加運動是的，知陣的本質(zhì)是近動的描述，如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以 響亮地&訴他，矩陣的本質(zhì)是運動的描述。（chensh說你呢！）可是多么有意思啊，向址本身不是也可以百成是心1知:陣嗎？這實在是很奇妙, 一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示-皚說這是巧仆嗎？加果 是巧介的話，那可真是幸運的巧企：可以說，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均 與這個巧合有直接的關(guān)系凸接若理解矩陣，上一篇里說,知:陣是運動的描述七到現(xiàn)在為止.好像大家都還沒什么意見，但是 我相信早晚會有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因為運動這個概念，在教學(xué)和物理 里是跟微租分聯(lián)系在一起的“

13、我們學(xué)習(xí)微積分的時候區(qū)會有人照本宣料地古訴 你,初等數(shù)學(xué)是研究常址的數(shù)學(xué)，是研究珅態(tài)的笙學(xué)，高.等敖學(xué)是變量的數(shù)學(xué) 是研究運動的數(shù)學(xué)。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話.但是真知道這句 話說的是什么意思的人，好像也不多，簡而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)您里，運動是 一個連續(xù)過程，從A點到日點，就算走得最快的光j也是需要一個時間來亟點 地經(jīng)過AB之間的路札 這就帶來了連續(xù)性的概家 而連續(xù)這個事情如果不定 義極限的框念，根本就鄙釋不了。占希臘人的敖學(xué)非常強但就是缺乏極限.觀念, 所以解釋不了運動，被芝諾的那些菩名忡論（飛箭不動、飛毛腹阿喀琉斯雹不過 烏伯等四個悼論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分

14、的.所以我就不多 說了，有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的g重溫微積分族我就是讀了這 本書開頭的部分，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運動的數(shù)學(xué)”這句話的道班。不過在我這個理解矩陣的文章里.噬動”的;概念不是微積分中的連續(xù)性的運 動，而是瞬間發(fā)生的變化比如這個時刻在A點，經(jīng)過一個,運動七一下子就覽: 堂”到了 B點，業(yè)沖不需要經(jīng)過A點與B點之間的任何一個點臼這樣的,運動七 或者說“躍遷七是迎反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗的。不過了解一點扯子物迎常識的人，就 會立刻指出,扯子（例如電子）在不回的能是緩孰道上跳既就是戚間發(fā)生的， 具有這樣一種躍江行為所以說，白然界中并不是沒有這種運動現(xiàn)象.只不過宏 觀上我們規(guī)察不到。但

15、是不管怎么說卜，運動這個詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧 義的，說得更確切些，應(yīng)該是“躍正，因此這句話可以改成工，知陣是線性空間里躍江的描述，可是這樣說又大物理？也就是說太具體.而不夠數(shù)學(xué)，也就是說不夠抽氛。因此 我們最后魏用一個止牌的數(shù)學(xué)術(shù)語一奩換,來描述這個事情，這樣一說，大家 就應(yīng)該明白了，所謂變孤 H實就是空間里從一個點(元素/時象)到另一個點 (元菊對象)的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間里從一個點到另一 個點的盼L再比如說，仿射交換，就是在仿射空間里從一個點到兄一個點的躍 遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向址空間是親兄弟。做計算機圖形學(xué)的朋友都 知道，盡管描述一個三雄對象只需要三維向

16、址卜但所有的計算機圖形學(xué)變換知陣 都是4x4的，說H源凱 很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就 是企圖蒙混過關(guān)。真正的原因，是因為在計算機圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實際 上是在仿射空間而不是向量空間中訕行的想想看，在向扯空間里相一個向址平 行.移動以后仍是相同的那個向仙，而現(xiàn)實此界等長的兩個平行我段當然不能被認 為同一個東西.所以計算機圖形學(xué)的生存空間賣際上是仿射空間“而仿射變換的 矩陣表示根本就是4x4的.又扯遠了，有興趣的讀者可以去看計算機圖形學(xué) 幾何I：具算法詳解服一旦我們理浙了“交換”這個概念.矩陣的定義就變成，“矩陣是線性空間里的變換的描述右”到這里為止，我們鹿丁得到了一

17、個看上去比較旋學(xué)的定義，不過還耍多說幾句。 教材上一般是這次說的，在一個線性空間V里的一個線性變換當選定 組基 乏后.就可以表示為矩陣閔此我們還要說清楚到底什么是線性交換,什么是基, 什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設(shè)有一種變換T,使得對丁城 性生間V中間任何兩個不相同的時象x利y,以及任意實數(shù)和旗 有， T(ax4-by)-aT(x) + bT(y)f那么就稱T為線性變換，定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理癖U線性變換究竟是一種什 么樣的變換？我們刖才說了，變換是從空間的一個點躍江到刃一個點，而線性變 換，就是從一個線性空間V的某一個點躍遷列另一個線性空間W的、一個點

18、的 運動這句話里蘊含若一層意0就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間 中的另一個點，而旦可以變換到公一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么也 只耍變換前后都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換.也就一定可 以用一個讓奇異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變虬一定是 一個線性變換c有的人可能要問，這里為什么要強調(diào)TF奇異矩陣？所謂桔奇異, 只對方陣有意* 那么廿方陣的情況冬么樣？這個說起來就會比較冗長了，最后 要把線性變換作為一種映射，并旦討論H：映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概 意才能徹辰講清楚。我覺得這個不算是重點J如果確實有時間的話，以后寫一點。 以下我們只探討鼓常用

19、、最有用的一種變換，就是在同一個線性空間之內(nèi)的線 性變換。也就是說.下面所說的短陣，不作說明的話，荒是方阡，而且是非奇 異方陣山學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最柬耍的是把握主干內(nèi)容，迅速建立對T這門學(xué)問的 整體概念，不必一開始就考忠所有的細傳末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳, 接若往下說，什么是基呢？這個向題在后面還要大講一番.這里只要把盅吾成是 線性空間里的坐標系就可以了注意是坐標茶 不是坐標值，這兩者可是一個，對 立矛盾統(tǒng)一體飛這樣一來，噫定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標系.就這意思口好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間+*,只孌我們選定 一組基，那么對

20、丁任何一個線性變換.都能第用一個確定的矩陣來加以描述?！?理解這句話的美洛 在丁把，哦性變換對與“線性變換的一個描述分區(qū)別開。一個 是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?一 個井象可以有多個引用，何個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。 如果還不形象，那就干脆來個很俗的類比。比如有一頭豬，你打算給它拍照片J只要你始照相機選定了一個鎰頭位置那么 就可以給這頭猜拍一張照片。這個照片可以看成是這頭豬的一個描述，但只是一 個片面的的描述，1*1為換一個犒頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片， 也是這頭豬的另一個片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描

21、 述，但是又都不是這頭豬本身C同樣的，對T一個繾性交換.只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來 描述這個線性變挨，換一組基，就得到一個不同的矩陣所有這些矩陣都是這 同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，間題就來了如果你給說兩張豬的照片，我怎么知道這兩形照片上 的是同一頭豬呢？ I司樣的，你蛤我兩個矩眸，我怎么如道這兩個矩陣是描述的同 一個線性變換呢？如果是同一個歿性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟 了，見面不認詛，豈不成了笑話。好在，我們可以我到I可一個技性變換的矩陣兄弟們的一個性質(zhì)，那就是：若矩阡A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為世 定了不同的基，也就是選定了不同的坐標系h則一定能找到一個非奇異矩陣P, 使得A、B之間滿是這樣的關(guān)系A(chǔ)P麗線性代數(shù)稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯.所謂 相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣，按照這個定義,同一頭豬的 不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明口。而在上簡式子里那個矩陣P實就是A矩陣所基丁的基與B矩陣所基丁的