對數(shù)及對數(shù)運算

1、關(guān)于對數(shù)及對數(shù)運算第1頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 1.莊子:一尺之棰，日取其半，萬世不竭 ，問4天還有多少尺？取多少次還有0.03125尺？設(shè)取x次還有0.03125尺問題提出( )x0.03125，求x=?第2頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 2.截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么過幾年人口數(shù)將達到18億？ 13 (11)x18，求x=?即 1.01x ，求x=?設(shè)過x年人口數(shù)將達到18億第3頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù). 3.上面的

2、實際問題歸結(jié)為一個什么數(shù)學(xué)問題？ 1.01x ，求x=?( )x0.03125，求x=?第4頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三對數(shù)第5頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（一）：對數(shù)的概念 思考1:24 22思考2:若2x16，則x 若2x ,則x 若4x8， 則x 若2x3， 則x164-2第6頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三若2x3， 則x 蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)。第7頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三滿足2x3的x的值，我們用log23表示

3、，即xlog23，并叫做“以2為底3的對數(shù)”.思考3: 若2x16，則x 若2x ,則x 若4x8， 則x 若2x3， 則xlog23log216log2log48第8頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考5: 滿足 , ， （其中e=2.71828）的x的值可分別怎樣表示？X=log10NX=logeN第9頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三x=log1.01思考4:前面問題中， , 中的x的值可分別怎樣表示？ （ ）x0.03125x=log 0.03125 第10頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)

4、明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立并稱為17世紀數(shù)學(xué)三大成就。 但是首先用指數(shù)來定義對數(shù)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。第11頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考1:指數(shù)與對數(shù)有什么關(guān)系？ 知識探究（二）：對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系 指數(shù)與對數(shù)是可以等價且相互轉(zhuǎn)化axNxlogaN當(dāng)a0，且a1時第12頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考3:當(dāng)a0，且a1時，loga（-2），loga0存在嗎？為什么？由此能得到什么結(jié)論？ 設(shè)loga(-2)=x,則ax=-2而當(dāng)a0，且a1時,恒有ax0設(shè)loga0=x,則ax=0 第13頁，共83頁，2022年，5月20日，22

5、點33分，星期三a N x 指數(shù)式axN 指數(shù)的底數(shù) 冪 冪指數(shù) 對數(shù)式xlogaN 對數(shù)的底數(shù) 真數(shù) 對數(shù) 思考2:在指數(shù)式axN和對數(shù)式xlogaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？ 第14頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考4:根據(jù)對數(shù)定義，logal和logaa和logaan（a0，a1）的值分別是多少？ 設(shè)loga1=x, 則ax=1,所以x=0,得loga1=0設(shè)logaa=x, 則ax=a,所以x=1,得logaa=1設(shè)logaan=x, 則ax=an,所以x=n,得logaan=n第15頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三理論遷

6、移 例1.將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式 化為指數(shù)式： (1) 54625 ; (2) 26 ; (3) ( )m5.73 ; (4) ; (5) lg0.01=; (6) ln102.303.第16頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 例2.求下列各式中的值： (1)log64x ; (2) logx86 ; (3)lg100=x; (4)lne2 .第17頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例3 計算（1）log 81(2) log0.30.09第18頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例4:（1）已知a0，且a1時,N0,

7、證明 alogaN=N第19頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三練習(xí)：(1)計算 2log25=_第20頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求實數(shù)x的值。第21頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三(3)已知loga3=m, logan=5,則a2m+n=_第22頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三第二課時 對數(shù)的運算2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 第23頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三問題提出1.對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)與指數(shù)是怎樣互化的？ 2.

8、指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，指數(shù)運算有一系列性質(zhì)，那么對數(shù)運算有那些性質(zhì)呢？ 第24頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三對數(shù)的運算第25頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（一）：積與商的對數(shù)思考2:將log232log24十log28推廣到一般情形有什么結(jié)論？思考1:求下列三個對數(shù)的值：log232， log24 ， log28你能發(fā)現(xiàn)這三個對數(shù)之間有哪些內(nèi)在聯(lián)系？思考3:如果a0，且a1，M0，N0，你能證明等式loga（MN）logaM十logaN成立嗎？第26頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思

9、考4:將log232log24=log28推廣到一般情形有什么結(jié)論？怎樣證明？ 思考5:若a0，且a1，M1，M2，Mn均大于0，則loga(M1M2M3Mn）？ 第27頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（二）:冪的對數(shù)思考1:log23與log281有什么關(guān)系？思考2:將log281=4log23推廣到一般情形有什么結(jié)論？ 思考3:如果a0，且a1，M0，你有什么方法證明等式logaMnnlogaM成立 思考4:log2x2=2log2x對任意實數(shù)x恒成立嗎？第28頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考6:上述關(guān)于對數(shù)運算的三個基本性質(zhì)

10、如何用文字語言描述？思考5:如果a0，且a1，M0，則 等于什么？兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去 除數(shù)的對數(shù)；冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)第29頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三理論遷移例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式： ; (2) . 第30頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例2 求下列各式的值： (1) log2（4725）； (2) lg ；(3) log318 -log32 ；(4) .第31頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例3 計算： 第32頁，

11、共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三小結(jié)作業(yè):性質(zhì)的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是個降級運算.性質(zhì)的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算.性質(zhì)從左往右仍然是降級運算利用對數(shù)的性質(zhì)可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，大大的方便了對數(shù)式的化簡和求值.第33頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三作業(yè)： P68練習(xí)：1, 2，3.P74習(xí)題2.2A組：3,4,5.第34頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 第三課時 換底公式

12、及對數(shù)運算的應(yīng)用 第35頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三問題提出.（1） （2） （3）（1） ; （2） ; （3） .1.對數(shù)運算有哪三條基本性質(zhì)？2.對數(shù)運算有哪三個常用結(jié)論？第36頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 3.同底數(shù)的兩個對數(shù)可以進行加、減運算，可以進行乘、除運算嗎？ 4.由 得 ，但這只是一種表示，如何求得x的值？ 第37頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三換底公式及對數(shù)運算的應(yīng)用 第38頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（一）：對數(shù)的換底公式 思考2:你能用lg2和lg

13、3表示log23嗎？ 思考1:假設(shè) ，則 ，從而有 .進一步可得到什么結(jié)論？ 第39頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考4:我們把 （a0，且a1；c0，且c1；b0）叫做對數(shù)換底公式，該公式有什么特征？思考3:一般地，如果a0，且a1；c0，且c1；b0，那么 與哪個對數(shù)相等？如何證明這個結(jié)論？ 第40頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考6:換底公式在對數(shù)運算中有什么意 義和作用？ 思考5:通過查表可得任何一個正數(shù)的常用對數(shù)，利用換底公式如何求 的值？ 第41頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（二）：換底公式

14、的變式 思考1: 與 有什么關(guān)系？ 思考2: 與 有什么關(guān)系？ 思考3: 可變形為什么？ 第42頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三理論遷移 例1 計算： (1) ; (2)（log2125log425log85) （log52log254log1258）第43頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三作業(yè)：P68 練習(xí)：4.P74 習(xí)題2.2A組： 6，11，12.第44頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 第四課時 對數(shù)運算習(xí)題課 第45頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識回顧.

15、1.指數(shù)與對數(shù)的換算:2.對數(shù)運算的三個常用結(jié)論:第46頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三3.對數(shù)運算的三條基本性質(zhì):4.對數(shù)換底公式:第47頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三理論遷移例1 求下列各式的值: 2 -2 1第48頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例2 已知 ，求 的值.例3 設(shè) ，已知 , 求 的值.第49頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 例4 20世紀30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.

16、這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為MlgAlgA0. 其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（1）假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級（精確到0.1）； 4.3第50頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 20世紀30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越. 這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為MlgAlgA0. 其中A

17、是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍（精確到1）. 398第51頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 例5 生物機體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7，試推算馬王堆古墓的年代. 2193思考題:設(shè)函數(shù)已知 且對一切 恒成立，求 的最小值.第52頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時 對數(shù)函數(shù)的概念

18、與圖象 第53頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三問題提出 1.用清水漂洗含1個單位質(zhì)量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，試寫出漂洗次數(shù)y與殘留污垢x的關(guān)系式. 2. （x0）是函數(shù)嗎？若是，這是什么類型的函數(shù)？第54頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三對數(shù)函數(shù)的概念與圖象 第55頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（一）：對數(shù)函數(shù)的概念 思考1:在上面的問題中，若要使殘留的污垢為原來的 ，則要漂洗幾次？ 思考2:在關(guān)系式 中，取 對應(yīng)的y的值存在嗎？怎樣計算？ 思考3:函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)，一般地，什么叫對數(shù)函數(shù)？

19、 第56頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考4:為什么在對數(shù)函數(shù)中要求a0， 且al？ 思考5:對數(shù)函數(shù)的定義域、值域分別是什么？思考6:函數(shù) 與 相同嗎？為什么？ 第57頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考1:研究對數(shù)函數(shù)的基本特性應(yīng)先研究其圖象.你有什么方法作對數(shù)函數(shù)的圖象？知識探究（二）：對數(shù)函數(shù)的圖象 思考2:設(shè)點P(m，n)為對數(shù)函數(shù) 圖象上任意一點，則 ，從而有 .由此可知點Q（n，m）在哪個函數(shù)的圖象上？第58頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考3:點P(m，n)與點Q(n，m)有怎樣的位置關(guān)系？由此說

20、明對數(shù)函數(shù) 的圖象與指數(shù)函數(shù) 的圖象有怎樣的位置關(guān)系？ PQxyo第59頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三思考4:一般地，對數(shù)函數(shù)的圖象可分為幾類？其大致形狀如何？ yx011xy011思考5:函數(shù) 與 的圖象分別如何？ a10a0,a1);（4）log75，log67.理論遷移第69頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三 例2 求下列函數(shù)的定義域、值域： (1) y ； (2) ylog2(x22x5). 第70頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三例3 溶液酸堿度的測量: 溶液酸堿度是通過pH刻畫的. pH的計算公式為pHlg

21、H+，其中H+表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾升.（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；（2）已知純凈水中氫離子的濃度為H+107摩爾升，計算純凈水的pH.第71頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三作業(yè)： P73 練習(xí)：3 P74 習(xí)題2.2B組：1， 2，3.第72頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三第三課時 指、對數(shù)函數(shù)與反函數(shù) 2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第73頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三問題提出 設(shè)a0，且a1為常數(shù)， .若以t為自變量可得指數(shù)函數(shù)yax，

22、若以s為自變量可得對數(shù)函數(shù)ylogax. 這兩個函數(shù)之間的關(guān)系如何進一步進行數(shù)學(xué)解釋？第74頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三指、對數(shù)函數(shù)與反函數(shù) 第75頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三知識探究（一）：反函數(shù)的概念 思考1:設(shè)某物體以3m/s的速度作勻速直線運動，分別以位移s和時間t為自變量，可以得到哪兩個函數(shù)？這兩個函數(shù)相同嗎？ 思考2:設(shè) ，分別x、y為自變量可以得到哪兩個函數(shù)？這兩個函數(shù)相同嗎？ 思考3:我們把具有上述特征的兩個函數(shù)互稱為反函數(shù)，那么函數(shù)yax（a0，且a1）的反函數(shù)是什么？函數(shù) 的反函數(shù)是什么？ 第76頁，共83頁，2022年，5月20日，22點33分，星期三