12汽車振動(dòng)學(xué)第十二講多自由度系統(tǒng)的

1、12多212多223232、無(wú)阻尼無(wú)阻尼度系統(tǒng)振動(dòng)響振動(dòng)微分方程MX KX 0 ，如果利用主振型矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到2、無(wú)阻尼無(wú)阻尼度系統(tǒng)振動(dòng)響振動(dòng)微分方程MX KX 0 ，如果利用主振型矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到在模態(tài)坐標(biāo)或主坐標(biāo)Q下的QQ 微分方程 TMMkp2p2其也就K TKpipn kpnqnM ,其中都是對(duì)角陣，分別稱為模態(tài)質(zhì)量陣和模態(tài)剛度陣其對(duì)角元素分別即為各階模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度顯然，上述方程是解耦的，即各方程之間是相互獨(dú)立的根據(jù)無(wú)阻尼度系振動(dòng)通解公式，t q sin)i(i 1,B ,其iiqni i0分別是模態(tài)(i 1,B ,其iiqni i0分

2、別是模態(tài)坐標(biāo)（主坐標(biāo)）下第i階主振型（模態(tài)位，二者均取決于系統(tǒng)初始條件振動(dòng)的幅值和已知物理坐標(biāo)系X下的初始條件x 00而在主坐標(biāo)系Q下的初始條件q Q00Q1兩者之間有如下關(guān)系根Q0 1XQ0 1Xt t sinB t)11qcosn2t sinn2tB sin(tt t sinB t)11qcosn2t sinn2tB sin(t Q2 2n2ntsintq T 1即q 1從而可以求得在主坐標(biāo)系Q下振動(dòng)響再根據(jù)再根據(jù) Q ，將模態(tài)坐標(biāo)系Q下的振動(dòng)響應(yīng)變換到物理坐標(biāo)X下，從而求得系統(tǒng)在給定初始條件下x0 和 x0 振動(dòng)響應(yīng)，x1Aq1 x2 q X Q 2 A(n) n q A(i) q A(

3、1) q A(2) q A(n) q A(1) q A(2) q A(n) qA(i) (i) (i q q A(1) q A(2) q A(n) (i)qi q A(i) q A(1) q A(2) q A(n) 即x2qi q2qnq A(i) (i) q (n) A(1) q A(2) q A(n) q A (i) i 第j坐標(biāo)所有主振型 x(1) x(2) nq A (i) q A(1) q A(2) q 第i階主振振動(dòng)的位移向量x (i) x x (i) q A(i) q Aq A (i)(i1,2第j個(gè)坐標(biāo)的第i階主振振動(dòng)：x qi Aj( j 如果取正則模態(tài)矩陣如果取正則模態(tài)矩陣

4、作為變換矩陣，QN 2 (n) NN2 A(i A(iN nN 其中 2 cos t sin t sin( t 其中 arctan (i1, 已知物理坐標(biāo)系X下的初始條已知物理坐標(biāo)系X下的初始條件x x 而正則坐標(biāo)系下的初始條件N兩者之間有如下關(guān)系1x T 1N1x T 1N因所X NQNQN N X N1 T N0 qN0X X A(n) q (i) AqN1 N1 NN N2 N(i)A(n) (i) qNi A(1) A(2) A(n) NN1 A(n) N2 qA (i) qA (iA(1) A(2) A(n) N例題4-例題x 1T求圖示系統(tǒng)在初始條件T和 00010時(shí)振動(dòng)響應(yīng)KX

5、00例題4-例題x 1T求圖示系統(tǒng)在初始條件T和 00010時(shí)振動(dòng)響應(yīng)KX 00m0k M 0,2220 nmmmkkK k13k1 100 0001 20TM 0 TK M1 12k6kqM 00 0001 20TM 0 TK M1 12k6kqM QK Q2212kq331301 2 T 10 1x 1612130 13 133 16116q 1 3t sin 6cosn1t q 1 q1cosn2tsinn2tcosn2t sinn2tQ q2 t sin 6cosn1t q 1 q1cosn2tsinn2tcosn2t sinn2tQ q2 nq 3sinn2tt sinqtcosn3

6、t3q (i) q qq j1costt 1 sin61 x 10111X x2 sinn2t tn221 n2x31 cosn3tsinn3t如果利用正則坐標(biāo)，可以得到同樣結(jié)果1N , 如果利用正則坐標(biāo)，可以得到同樣結(jié)果1N , 0123N1N1 11121360 62066001 1 11m 3 610 N2m N2123011362333 1 11121360 62066001 1 11m 3 610 N2m N2123011362333 00010M00 NNNN4k kmqm N1N3kq 4kq NNNNT11616 N Tm2而N0N06T11313 1 TmNN0N03所 m

7、t m sincosn1t sintT11616 N Tm2而N0N06T11313 1 TmNN0N03所 m t m sincosn1t sintN63N1 qm61nm3cosn2t sinn2tcosn2t sinn2t qN2 qNn N3 m6 m3sinttsinNttNn3qqA根jNN111111sint sin t sinn3tttt1623x123qqA根jNN111111sint sin t sinn3tttt1623x12011cos tsint sinn2tsinn3ttt2623x 311 cosn1t sinn1tcosn2tsinn2tcosn3t sinn3

8、t233、無(wú)阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)f ff當(dāng)無(wú)阻尼度系統(tǒng)受到外12nf時(shí)，在物理坐標(biāo)X下的振動(dòng)微分方程為以主振型矩作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行變換，得到模態(tài)坐標(biāo)（坐標(biāo)）Q 下的振動(dòng)微分方MQKQ T fT3、無(wú)阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)f ff當(dāng)無(wú)阻尼度系統(tǒng)受到外12nf時(shí)，在物理坐標(biāo)X下的振動(dòng)微分方程為以主振型矩作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行變換，得到模態(tài)坐標(biāo)（坐標(biāo)）Q 下的振動(dòng)微分方MQKQ T fTff因12nfAf Af1Aff12n1(2)122nnA(2)f AfAA(2) Aff2 12n 1122nnfAAf f Afn12122nff ff A(2)T1p2也就pn fkpnqn A(n)T（1）簡(jiǎn)諧激振

9、力下的響當(dāng)f Feit 時(shí)，則振動(dòng)方程為M KQ T （1）簡(jiǎn)諧激振力下的響當(dāng)f Feit 時(shí)，則振動(dòng)方程為M KQ T F FT其F nA(1)T FeitA(2)T Feit1p2即pn kpnqnA A(i)T q (i1,mq,顯然，方程是解耦的，可以按照度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)求解如果忽振動(dòng)，則在模態(tài)坐標(biāo)各個(gè)模態(tài)坐標(biāo)對(duì)激振力的響(i)T )q H (i 1,ii1 1H () iH iic 1i2ii2i21 Hi i212 1 1H () iH iic 1i2ii2i21 Hi i212 2ii因?yàn)橄到y(tǒng)無(wú)阻尼，所A(i1q(1 i2ki變換到物理坐標(biāo)系下，則系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)x1x Xx n2

10、Qq A(ijFAX eit j代入 2ki(1)T FA(2)T FA(n)T FAFAX eit j代入 2ki(1)T FA(2)T FA(n)T FA 222 kk1p2n即FFAnnnq eit x j(j1,(1 jij2k)i2可見(jiàn)，系統(tǒng)的響應(yīng)為各階主模態(tài)按照一定比例的線性疊加，各階模對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)大小取決于各階模態(tài)坐標(biāo)的大小，也就是說(shuō)其權(quán)值是各階態(tài)坐標(biāo)對(duì)于非簡(jiǎn)諧的周期激勵(lì)，先將激勵(lì)級(jí)數(shù)，分別按照簡(jiǎn)諧勵(lì)的情況進(jìn)行計(jì)算，最后將各簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振動(dòng)疊加起來(lái)即可F fTsin例題4-求圖示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激1作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Mk22F fTsin例題4-求圖示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激1作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Mk22

11、K 2k222Hm2)knnn2)k (2222mmm000 K k2k0n2k 2n2k 2n2k 2knadjH 2k 2k k 2k 222nnn0n2k 2n2k 2n2k 2knadjH 2k 2k k 2k 222nnn2k 2k 2k k2k22nn1 1 220A 1101 1 2k H K 2M 2k2m2 kk4(2 0 0000TM 0 TMK004(22)ksin4(2 0 0000TM 0 TMK004(22)ksin(1 22A(i(i1,sinqqi2k)kp2)22nsin3k)2AAF 2F 1233sintsin1231)k)22AAF 0F sintsin

12、1233 1232AAF 2F 1233sintsin1231)k)22AAF 0F sintsin1233 1232)kpp22nnAAF 2F 1233sintsin1233)k)22x1x X n2Q(iq jijnA(ijnx (j1,(ix1x X n2Q(iq jijnA(ijnx (j1,(ijq ji)2nqi q2(i(iq2 0q2 qi 2nq (iq q q qq3123（2）任意激振力下的響度系統(tǒng)受到任意激勵(lì)f (t)作用時(shí)，系統(tǒng)在模當(dāng)無(wú)阻尼Q（2）任意激振力下的響度系統(tǒng)受到任意激勵(lì)f (t)作用時(shí)，系統(tǒng)在模當(dāng)無(wú)阻尼QKQT f標(biāo)Q下的振動(dòng)微分方Mff 1p2fk q

13、qfq A(i(i1,2,mq,由給定的系統(tǒng)物理坐標(biāo)X下的初始條件x0和x 0Q 1X 得模態(tài)坐標(biāo)Q下的初始條件q0和q0，再根Q下的受迫振動(dòng)響應(yīng)（全響應(yīng)積分，得到模態(tài)坐q q cos tqio sin tt A(i)Tf()h(t(i 1, ni tqi A(i)Tf()h(t如果初始條件為零01tA(i)Tf(t(i1,m 0從而得到物理坐標(biāo)下的xtqi A(i)Tf()h(t如果初始條件為零01tA(i)Tf(t(i1,m 0從而得到物理坐標(biāo)下的x1x A(i)T n(t )dt f()sinj2q XQm j0A(i)T Anq (i) tf()sin(t )djm 0其中，第j個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的振動(dòng)響Antf()sin(t(j1,m ji0P118頁(yè)的例題求圖示系統(tǒng)在第二個(gè)質(zhì)量塊上作用階躍激振力時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（請(qǐng)參例題3-MXKX f0MkKP118頁(yè)的例題求圖示系統(tǒng)在第二個(gè)質(zhì)量塊上作用階躍激振力時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（請(qǐng)參例題3-MXKX f0MkKf(t)0K A22kF n02m K 3k22Hnnn(3m0.7962 211m33 (31.5382 222mm1100M MK TT00fQ fT0(2)0.268q 1100M MK TT00fQ fT0(2)0.268q 3kq qfp2p22 01tf ()sin(t(i1,qm i01sin (t)d ttf(sin(