2023屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期初階段考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)2023屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期初階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則ABCD【答案】C【詳解】試題分析：解一元二次不等式，得，而，.【解析】1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得，再由幾何意義得對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得結(jié)論【詳解】，故，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3已知函數(shù)的值域?yàn)?，則a的最小值為（）A1B2C3D4【答案】A【分析】利用

2、函數(shù)的單調(diào)性分別求出和時(shí)，所對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式的范圍，根據(jù)函數(shù)的值域即可求出的取值范圍.【詳解】由已知得當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；函?shù)的值域?yàn)?，則a的最小值為1.故選：A.4函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心與的最小正周期，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題圖可知圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，的最小正周期，故圖象的對(duì)稱中心為，結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是.故選：D.5已知過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）ABCD【答案】B【分析】不妨設(shè)

3、在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，易得，代入橢圓方程可得，又，兩式相結(jié)合即可求解【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則即，所以，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B6如圖，已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高的比值為，若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）ABCD【答案】C【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)正四棱錐的幾何特征可得為的中點(diǎn)，平面，則可得，則異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，設(shè)，結(jié)合已知在中，分別求出即可得解.【詳解】先根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征找到異面直線與所成的角，然后通過(guò)解三

4、角形即可得解.如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，且平面，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以面，又面，所以，設(shè)，則由題意得，所以在中，即異面直線與所成角的正切值為,故選：C.7已知函數(shù)，若直線與曲線，都相切，則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD【答案】B【分析】設(shè)直線與曲線，相切的切點(diǎn)分別為，先針對(duì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再針對(duì)還是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)直線與曲線，相切的切點(diǎn)分別為，因?yàn)?，所以，解得，又，所以直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以又，所以，解得故選：B8已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第

5、一象限），線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)若，則的兩條漸近線的斜率之積為（）ABCD【答案】B【分析】利用對(duì)稱性與雙曲線的定義結(jié)合題意得，進(jìn)而，即可求解【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)雙曲線與直線的對(duì)稱性，知因?yàn)椋€段的中點(diǎn)為，所以，且，所以根據(jù)雙曲線的定義，知，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的兩條漸近線的斜率之積為，故選：B二、多選題9教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了解某考生的成績(jī)?cè)谌w考生成績(jī)中的位置，通常將考生的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，其中為原始分?jǐn)?shù)，為原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，為原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差已知某校的一次數(shù)學(xué)考試，全體考生的平均成績(jī)，標(biāo)準(zhǔn)差，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，記平均成績(jī)?yōu)椋瑯?biāo)準(zhǔn)差為，

6、則()ABCD【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式，結(jié)合即可計(jì)算m和【詳解】根據(jù)平均數(shù)與方差公式，得，即，故選：BD10已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離為，記動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為，則（）A直線把分成面積相等的兩部分B直線與沒(méi)有公共點(diǎn)C對(duì)任意的，直線被截得的弦長(zhǎng)都相等D存在，使得與x軸和y軸均相切【答案】ABC【分析】根據(jù)題意知曲線為圓，由直線過(guò)圓心可判斷A，由圓心到直線的距離判斷B，由圓心到的距離為定值判斷C，根據(jù)圓心到坐標(biāo)軸的距離判斷D.【詳解】依題意得，是以為圓心，為半徑的動(dòng)圓，則的方程為.易知直線經(jīng)過(guò)的圓心，所以直線把分成面積相等的兩部分，故A正確；到直線的距離，所以直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，故B正確；圓

7、心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，是定值，故C正確；若存在一個(gè)圓與x軸和y軸均相切，則，顯然無(wú)解，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11已知等比數(shù)列滿足，公比，且，則（）AB當(dāng)時(shí)，最小C當(dāng)時(shí)，最小D存在，使得【答案】AC【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)、單調(diào)性及不等式的性質(zhì)可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】對(duì)A，又，故A正確；對(duì)B和C，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得， 故即，因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，最小，所以B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，故，故D錯(cuò)誤，故選：AC12已知函數(shù)，則（）A曲線在點(diǎn)處的切線方程為B曲線的極小值為C當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)整數(shù)解D當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)整數(shù)解【答案】AC【分析】對(duì)于A,利用

8、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；對(duì)于B，利用函數(shù)極值的定義及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)極值的步驟即可求解；對(duì)于C，D，根據(jù)B選項(xiàng)結(jié)論，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用函數(shù)僅有一個(gè)整數(shù)解，只需要的圖象在的圖象的下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)且只有一個(gè)即可求解.【詳解】對(duì)于A， 所以曲線在點(diǎn)處的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即，故A正確；對(duì)于B, ，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取得極小值為，故B不正確；對(duì)于C，D,由B選項(xiàng)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，取得極小值為，如圖所示由題意可知，直線恒過(guò)，所以，要使僅有一個(gè)整數(shù)解，只要是的圖象在的圖象的下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)且只有一個(gè)，即,于

9、是有，故C正確，D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵，對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)極值的步驟即可，對(duì)于C，D, 畫(huà)出函數(shù)圖象，要使僅有一個(gè)整數(shù)解，只要是的圖象在的圖象的下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)且只有一個(gè)，即即可.三、填空題13若，則_【答案】【分析】由題，結(jié)合三角恒等變換，求出或的值，即可由或求值【詳解】解法一由得，兩邊平方得，解得或（，舍去），故 解法二將兩邊同時(shí)平方，得，即，又，則，所以，則故答案為：14某學(xué)校團(tuán)委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市圖書(shū)館和科技館服務(wù)，每個(gè)人只能去一個(gè)地方，每個(gè)地方都必須有人去，則圖書(shū)館恰好只有丙去的概率為_(kāi)【答案】【分析】利用古

10、典概型的概率計(jì)算公式求解即可【詳解】先將3人分成兩組，再安排到市圖書(shū)館和科技館，共有種不同的情況，圖書(shū)館恰好只有丙去只有1種情況，故所求概率故答案為：15若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).【答案】【分析】對(duì)任意的，都有等價(jià)于對(duì)任意的，都有， 由題意可知，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方，結(jié)合圖象列式即可求解【詳解】對(duì)任意的，都有等價(jià)于對(duì)任意的，都有， 作出函數(shù)的大致圖象，如圖中實(shí)線所示，由題意可知，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方， 若，顯然不符合題意；若，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，所以要使的圖象在的圖象的上方，需；若，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，所以要使的圖象在的圖象的上方，需.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：1

11、6有一張面積為的矩形紙片，其中為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將矩形繞旋轉(zhuǎn)得到圓柱，如圖所示，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，直線與底面圓所成角的正切值為，為圓柱的一條母線（與，不重合），則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，三棱錐外接球的表面積為_(kāi).【答案】【分析】先根據(jù)矩形的面積為，直線與底面圓所成角的正切值為，求出圓柱的底面半徑與高，連接，再由基本不等式求出三棱錐的體積取最大值時(shí)，的長(zhǎng)，最后設(shè)三棱錐外接球的球心到平面的距離為，列出關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而求出外接球半徑，即可求得外接球的表面積【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則，即.因?yàn)橹本€與底面圓所成角的正切值為，所以，即.由，得.連接，由題意得，又，所以平面，而平面，所以平面

12、平面.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面.設(shè)，則，于是三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)此時(shí)三棱錐外接球的球心到平面的距離為，外接球半徑為，則，解得，于是，所以當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，三棱錐外接球的表面積.故答案為：.四、解答題17在.中，角，的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求角；(2)若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將，化為，由此即可求出結(jié)果；（2）由題意可知，進(jìn)而可得，再根據(jù)余弦定理和基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】(1)解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?(2)解：因?yàn)?，所以；所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最大

13、值為.18已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，恒成立，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用，進(jìn)而求得答案；（2）根據(jù)題意先求出，然后根據(jù)（1）求出，進(jìn)而通過(guò)基本不等式證明問(wèn)題.【詳解】(1)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，滿足.所以的通項(xiàng)公式為.(2)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，又時(shí)，滿足，所以對(duì)任意正整數(shù)n，由（1）得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.19隨著生活節(jié)奏的加快生活質(zhì)量的提升，越來(lái)越多的居民傾向于生活用品的方便智能.如圖是根據(jù)20162020年全國(guó)居民每百戶家用汽車擁有量（單位：輛）與全國(guó)居民人均可支配收入（單位：萬(wàn)元）繪制的散點(diǎn)圖.(1)由

14、圖可知，可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（過(guò)程和結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)已知2020年全國(guó)居民人均可支配收入為32189元，若從2020年開(kāi)始，以后每年全國(guó)居民人均可支配收入均以6%的速度增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)哪一年全國(guó)居民每百戶家用汽車擁有量可以達(dá)到50輛.參考數(shù)據(jù)：2.8232.560.465.27，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)；(2)預(yù)計(jì)2026年全國(guó)居民每百戶家用汽車擁有量可以達(dá)到50輛.【分析】（1）根據(jù)參考數(shù)據(jù)和公式算出，進(jìn)而得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）先根據(jù)線性回歸方程計(jì)算出當(dāng)時(shí)的值，將其與通過(guò)已知數(shù)據(jù)計(jì)算所得的值相比較即

15、可得解.【詳解】(1)解： ，所以關(guān)于的線性回歸方程為.(2)解：由，得.因?yàn)?020年全國(guó)居民人均可支配收入為3.2189萬(wàn)元，且， 所以預(yù)計(jì)2026年全國(guó)居民每百戶家用汽車擁有量可以達(dá)到50輛.20如圖1，在平行四邊形中，將沿折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，如圖2，設(shè)經(jīng)過(guò)直線且與直線平行的平面為，平面平面為，平面平面為.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合空間平行線的傳遞性即可求解；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解

16、.【詳解】(1)因?yàn)槠矫鏋?，平?平面平面為，所以，因?yàn)槠矫鏋?，平?平面平面為，所以，所以(2)由題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直線坐標(biāo)系，如圖所示則設(shè)，則由,即，解得或（舍），所以. 所以.設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以.故所求二面角的正弦值為.21已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再將的坐標(biāo)代入方程后可求，從而可得橢圓的方程.

17、（2）設(shè)直線的方程為，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑為可得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于的方程，求出其解后可得直線方程.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)，故橢圓方程為，代入得，故，故橢圓方程為：.(2)的周長(zhǎng)為，故.設(shè)，由題設(shè)可得直線與軸不重合，故可設(shè)直線，則，由可得，整理得到，此時(shí)，故，解得，故直線的方程為：或.22已知函數(shù)(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記函數(shù)，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞增，由可得結(jié)論；（2）由可知是的一個(gè)零點(diǎn)；分別在、和的情況下，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，確定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得最終結(jié)果.【詳解】(1)由題意得：；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.(2)，