虛位移原理在求解梁式桿件內(nèi)力方程中的應(yīng)用

1、虛位移原理在求解梁式桿件內(nèi)力方程中的應(yīng)用摘要:利用虛位移原理求解靜定條件下構(gòu)件截面的內(nèi)力方程，即彎矩方程和剪力方程。該方法直觀有效,可以不必求解 約束反力，避免由于約束反力計(jì)算不準(zhǔn)確帶來的二次錯(cuò)誤，減小了計(jì)算工作量；同時(shí)該方法豐富了虛位移原理的應(yīng)用，為靜 定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力方程求解提供了另一種思路。關(guān)鍵詞:虛位移原理；內(nèi)力計(jì)算；彎矩;剪力0引言虛位移原理又稱為虛功原理，虛功是指力在虛位移中所做的功。虛位移原理是分析靜力平衡問題的 主要方法之一，廣泛應(yīng)用于未知力和未知位移的求解，尤其在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來的積分法 和圖乘法使得位移計(jì)算量較之材料力學(xué)方法大大減小。同時(shí)虛位移原理也是分析動(dòng)力學(xué)的

2、重要基礎(chǔ)，它 為人們求解平衡問題提供了一個(gè)極佳的工具,在經(jīng)典力學(xué)中起著支撐作用。在材料力學(xué)中，梁的內(nèi)力主要包括軸力、剪力和彎矩。計(jì)算梁的內(nèi)力的方法主要是截面法，這一解題 方法計(jì)算量大，且一般需要求出支座約束反力。如果利用虛位移原理進(jìn)行求解，則不需要求出支座約束反 力，就能夠求解任意截面的彎矩與剪力，這一方法不失為對(duì)內(nèi)力方程求解的有用補(bǔ)充。1虛位移原理的概念及應(yīng)用1.1虛位移原理的概念= 0，(1)設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束,其中某質(zhì)點(diǎn)受力如圖1所示。兒，的虛功之和 為零,其平衡的充要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所 做虛功的和等于零，表達(dá)式如下： 其中,= 0，(1)1.2虛位移原

3、理的應(yīng)用、71.2.1虛設(shè)位移狀態(tài)求未知力*如圖2所示的計(jì)算簡圖，在求解此平衡體系中的未知力或者約束反力圖1質(zhì)點(diǎn)受力與虛位移時(shí),如果利用平衡方程進(jìn)行求解，需要至少兩個(gè)方程才能 解出尸,求解過程見表1。而利用虛位移原理進(jìn)行求解時(shí)，把桿件看作剛體體系，虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知力。例如利用表1中的計(jì)算簡圖求解A點(diǎn)豎向約束反力，只需要將A點(diǎn)固定端支座變?yōu)榛瑘D2計(jì)算簡圖示例動(dòng)支座，同時(shí)把豎直約束力Fa畫在圖上,然后在A點(diǎn)虛設(shè)單位位移AA-=1，畫出此機(jī)動(dòng)體系位移圖，如表 1圖中虛線所示。應(yīng)用虛位移原理,用一個(gè)方程即可求出Fa圖2計(jì)算簡圖示例表1虛設(shè)位移狀態(tài)求未知力求A點(diǎn)豎向約束反力Fa x 1 - qFa

4、x 1 - q x 3a x 1 + qa x 0.5 = 0 二 Fa = 2.5qa(XMC = 0, Fb x 2a - qa x 3a = 0(XFy = 0, Fa + Fb - 3qa - qa = 0 Fa = 2.5qa1.2.2虛設(shè)力狀態(tài)求未知位移在求解梁式桿件中某點(diǎn)位移時(shí)，我們還可以利用撓曲線近似微分方程EIw = -M3）進(jìn)行求解，也可以利用疊加法進(jìn)行求解。利用撓曲線近似微分方程求解時(shí)，需要積分兩次得到撓度方程,再利用邊界條 件和連續(xù)條件求出積分常數(shù)。如果桿件的內(nèi)力方程有3個(gè)，積分常數(shù)就會(huì)有6個(gè)，聯(lián)立6個(gè)方程進(jìn)行求 解，工作量較大，且很容易出錯(cuò)。利用虛位移原理求解時(shí),把梁

5、式桿件看作變形體體系，虛設(shè)力狀態(tài),求未知位移。同樣如圖2所示的 計(jì)算簡圖,要求解D點(diǎn)豎向位移。首先求出結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的軸力F,剪力膈，彎矩M,接著單獨(dú) 在D點(diǎn)作用一豎向單位荷載1,計(jì)算結(jié)構(gòu)在單位荷載作用下的軸力Fn,剪力Fq,彎矩M，對(duì)梁來說，軸 力和剪力對(duì)其變形影響很小，可以忽略不計(jì)，只考慮彎矩的影響。因此利用下面公式中最后一項(xiàng)即可求得D點(diǎn)豎向位移，見表2,并且由此公式演化而來的圖乘法,可以簡化計(jì)算，不再贅述。 =j Fds + 釧FQF項(xiàng)s+ 空為。EA GA A EI表2虛設(shè)力狀態(tài)求未知位移虛位移原理aD(2.5qax - 3aD(2.5qax - 3qa2 - 0.5qx2 ( 0

6、 W x 3a )Mp/ -0.5qa (x -3a)(3a W x W 5a)qax - 6qa2(5a W x W 6a )1.5a - 0.5x( 0 W x W 5a )1.5a - 0.5x + 1.5( x - 5a ) ( 5a W x W 6a )1MmpEI2虛位移原理求解內(nèi)力方程內(nèi)力方程是畫內(nèi)力圖的前提，傳統(tǒng)教材中求解內(nèi)力方程都是采用截面法,一般解題步驟為:求解支座 約束反力，在某一截面處切割桿件后選取研究對(duì)象，在梁上截切梁段,在截面處代之以內(nèi)力，畫出已知的 主動(dòng)力和約束反力，在截面處畫出軸力、剪力、彎矩等內(nèi)力，并列出平衡方程求解內(nèi)力方程。使用截面法， 需要先求出支座反力，

7、步驟較多,而且一旦支座反力求解錯(cuò)誤，就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算失效。使用虛位移原理 進(jìn)行求解內(nèi)力方程，只需要把某梁段左右截面之間變成鉸接點(diǎn)或者滑動(dòng)支座，代上一對(duì)大小相等、方向相 反的彎矩或者剪力，畫出此時(shí)機(jī)動(dòng)體系的位移圖，根據(jù)幾何關(guān)系求解各主動(dòng)力相應(yīng)的位移，列出虛位移方 程，即可獲得該段梁的內(nèi)力方程。這種方法省去了求解支座約束反力這一步驟，直觀易懂,不失為一種有 效的方法。下面將以圖2所示的計(jì)算簡圖為例，闡述利用虛位移原理求解內(nèi)力方程的方法。2.1虛位移原理求彎矩方程首先，將在AC段的F點(diǎn)連接變成鉸接點(diǎn)，代上一對(duì)大小相等，方向相反的內(nèi)力M,如圖3(a)所示。然 后做出機(jī)動(dòng)體系的位移圖，圖中虛線表示相對(duì)位

8、移，使CFE = 1,如圖3(b)所示。則由虛位移原理可得：3a - xM x( -1) - J q x 1 x y x dy + qa x DG = 0,其中,DG = 0.5EC =0.5x 1 x(3a - x)。代入上式后得3a - x3 a - xM x( -1) - q I ydy + qa x 0.5 x(3a - x )=0,0/. 3 a - xM x( -1) - q I ydy + qa x 0.5 x(3a - x )=0,0/. M = 2.5qax - 3qa2 - 0.5qx2 , (0 W x W 3a )。3 a x顯然，結(jié)果與表2中彎矩方程一致。對(duì)于均布荷載

9、，Jydy其實(shí)就等于FEC的面積,0同理可以得到CB段和BD段的彎矩方程計(jì)算簡圖，如圖3(c)、圖3(d)所示。 經(jīng)過位移分析，由虛位移原理得到：= -0.5qa( x - 3a ) ( 3a W x W 5a )IM = qax - 6qa2F=qa遂AG圖3梁式桿彎矩方程計(jì)算簡圖F=qaM /(F=qa遂AG圖3梁式桿彎矩方程計(jì)算簡圖F=qaM /(5a W x W 6a )2.2虛位移原理求剪力方程首先，將在AC段的F點(diǎn)連接變成滑動(dòng)支座，代上內(nèi)力兒，如圖4(a)所示。然后做出機(jī)動(dòng)體系的位移 圖，使FH = 1,如圖4(b)所示。FsFs X1q X 1x y X dy + qa X DG = 0,其中,DG=0.5E =0.5 x 1=0.5。代入上式后得Fs Fs x 1 - q3a0dy + qa X 0.5 = 0,Fs = 2.5qaqx , (0 W x W 3a )。對(duì)于均布荷載，/-dy其實(shí)就等于四邊形FHEC的面積，即等于FC-ECOFC = 3a - x，EC = 1。同理0可以得到CB段和可以得到CB段和BD段的剪力方程計(jì)算簡圖，如圖4(c)、圖4(d)所示。圖4梁式桿剪力方程計(jì)算簡圖根據(jù)虛位移原理求得以下剪力方程:Fs = -0.5