應(yīng)用KPK力學(xué)方法研究落體的運動

1、應(yīng)用KPK力學(xué)方法研究落體的運動摘要：利用動量流強度，分析了在阻尼介質(zhì)中的物體包括高空跳傘運動員的運動規(guī)律。首先介紹 了德國卡爾斯魯厄物理教程的力學(xué)體系，該體系將動量和速度定為力學(xué)的中心物理量，根據(jù)力的 定義式與電流的定義式的類比把力看成動量流強度，利用動量的連續(xù)性方程來解決力學(xué)問題。接 著運用卡爾斯魯厄物理教程的力學(xué)方法計算了物體在空氣中下落時速度變化規(guī)律，繼而定性地分 析了具有水平運動速度的高空跳傘運動員在達到第一收尾速率之前會有一個極小速率的原因，說 明卡爾斯魯厄物理教程的力學(xué)體系解決力學(xué)問題不僅是可行的，而且是有效的，更能讓人們在新 的高度認識物理學(xué)。關(guān)鍵詞：卡爾斯魯厄物理課程（KPK

2、）；類比；動量流強度；連續(xù)性方程；收尾速度Analysis on the falling motion with KPK mechanics methodAbstract: Making use of the concept momentum current intensity, the motion of objects including the falling of skydivers in damping medium was analyzed. The mechanics system of Der Karlsruher Physikkurs was introduced, wher

3、e momentum and velocity were regarded as the central physical quantities. According to the denition analogy between force and current, the force was regarded as the momentum current strength. Mechanical problems was solved according to the continuity equation of momentum. The speed of the object fal

4、ling in the air was calculated using this method and the reason for the existence of a minimum velocity for the skydiver with horizontal velocity before reaching the first closing speed was qualitatively analyzed. The study shows that the mechanics system of Der Karlsruher Physikkurs is not only fea

5、sible, but also effective. This can make people understand physics at a new height.Keywords： Der Karlsruher Physikkurs (KPK) ; analogy; momentum current strength; continuity equation; closing speed自從牛頓揭示了力是改變物體運動狀態(tài)原因 的本質(zhì)之后，人類對自然的認識發(fā)生了一大飛 躍，引領(lǐng)力學(xué)走上了正確的道路，取得了輝煌的 成就，牛頓關(guān)于力的三大定律成為了經(jīng)典力學(xué)的 基本定律。但是物理學(xué)的各分支沿著各自

6、的道路 發(fā)展，使經(jīng)典物理學(xué)的各分支學(xué)科之間缺乏基本 的相似性和類比。德國卡爾斯魯厄物理課程1-2 (KPK)開發(fā)者全面梳理了經(jīng)典物理學(xué)中的知識體 系，在力學(xué)中引入了動量流強度的概念，將物體 之間的相互作用看成是動量的流動，而動量流強 度就是經(jīng)典力學(xué)體系中的力，構(gòu)建了與經(jīng)典力學(xué) 等價2的卡爾斯魯厄物理課程的力學(xué)體系，使力 學(xué)與電學(xué)有了基本的相似性，可以進行廣泛的類比340 類比的思想方法在教與學(xué)和創(chuàng)新中起到的啟示作 用是非常積極的，而KPK物理課程在這方面的優(yōu) 勢是毋容置疑的，常言說“他山之石，可以攻玉”， 如果希望將這一新的力學(xué)體系運用于我們的教學(xué) 中，需要我們深入學(xué)習(xí)和研究KPK物理課程，充

7、 分地進行探索實踐、消化吸收、掌握KPK的力學(xué) 體系。落體是生活中較常見的運動物體，這里不 妨通過用KPK力學(xué)方法來解決落體中的一些問 題，作為運用KPK力學(xué)體系的一次探索實踐。1卡爾斯魯厄物理課程的力學(xué)體系卡爾斯魯厄物理課程(KPK)的開發(fā)者全面地 審視了經(jīng)典物理學(xué)，仔細地梳理其中的物理量， 將描述物體運動狀態(tài)的物理量分成與總質(zhì)量成正 比的廣延量和與總質(zhì)量無關(guān)的強度量，并在其中 選擇與能量密切相關(guān)的廣延量動量和強度量速度 作為力學(xué)分支的中心物理量5，分別與電學(xué)分支中 的廣延量電荷量和強度量電勢進行類比，并將物 體之間的相互作用看成是因為有動量在它們之間 流動的結(jié)果。在電學(xué)中單位時間內(nèi)流過某一

8、截面 的電荷量定義為電流強度I = dq/dt。式中：q表示 電荷；t表示時間。同樣，在KPK中把單位時間 內(nèi)流過某一截面的動量定義為動量流強度 IP = dp/dt。式中，p表示動量。對照牛頓第二定 律，物體所受合力F = dp/dt?？梢奒PK中動量流 強度就是經(jīng)典力學(xué)中物體之間的相互作用力6。如 果有兩個物體發(fā)生了碰撞、滑動摩擦等相互作 用，每個物體的動量都會發(fā)生變化，并且其中一 個物體的動量增加量一定等于另一個物體動量的 減少量，可以認為動量從一個物體流出并流入了 另一個物體。在KPK的力學(xué)體系中認為動量守恒 定律是力學(xué)的基本定律，動量可以在物體之間流 動，但總量保持不變，即從一個物體

9、表面流入物 體的動量流強度必定等于該物體的動量變化率。 將其推廣到物體系，就意味著我們可以在空間任 取一物體系閉合曲面，單位時間內(nèi)流入該物體系 曲面的動量，必定等于該物體系曲面所包圍的空 間區(qū)域內(nèi)物體的動量的單位時間增量，可見動量 守恒定律就是動量的連續(xù)性方程: 5 = Z F = dp/dt，也就是牛頓第二定律。因此在KPK中解動 力學(xué)問題是先對研究對象進行動量流分析：動量 流入、流出的途徑有那些？大小是多少？方向向 哪里？然后根據(jù)動量連續(xù)性列方程求解。需要注 意的是動量是矢量，動量流也是矢量，動量的連 續(xù)性方程是矢量方程。燈籠被用來營造喜慶的氛圍，節(jié)假日隨處可 見懸掛的紅燈籠。對于如圖1所

10、示懸掛燈籠的系 統(tǒng)，學(xué)過物理的人都知道，這是一個平衡系統(tǒng)， 在教學(xué)中至少會提到有4個力。它們分別是：通 過引力場作用在吊燈和地球之間的一對相互作用 力，為萬有引力；以及通過懸繩作用在吊燈和支 架之間的一對相互作用力，它們是彈力。每一對 力都遵循牛頓第三定律，而作用在燈籠上的兩個 力構(gòu)成了一對平衡力，這4個力的大小都相等， 但名稱并不相同。F流 I燈蓬睛FI 圖1懸掛的燈籠Fig. 1 Hanging lanterns當我們把動量想象成與水一樣是可以流動的 物質(zhì)，而力實際上就是動量流，那么這個懸掛燈 籠的系統(tǒng)就會這樣來描述了：動量從地球流出， 經(jīng)過引力場流入燈籠，再從燈籠流出，經(jīng)過懸繩 流入支架

11、然后流回到地球。這里相當于一個閉合 回路，在其中流動的是動量，沒有任何地方有動 量的累積，因此各處的動量流強度都相等，每個物體的動量不變，燈籠系統(tǒng)保持靜止狀態(tài)。這樣 的描述簡潔明了，也不會對回路中“各處的動量 流強度都相等”產(chǎn)生異議。反觀在牛頓力學(xué)中， 引入了4個力而名稱各不相同，相當于把同一水 流中4處不同位置的水用了 4個不同的名字來命 名，不僅是沒有必要的，反而還增添了麻煩：為 了消除“名稱不同的力但是大小相同”的困惑， 還要用一個定律來確定其中的每一對作用力與反 作用力相等。在KPK力學(xué)體系中力就是動量流強度，力的 作用遵循動量連續(xù)性方程，那么容易得到，在經(jīng) 歷了一段時間的積累，流入某

12、個閉合曲面動量必 定等于該閉合曲面動量的增量。動量在流動時也 會攜帶著能量一起流動，從而起到傳遞能量的作 用，因此動量被稱為能量載體7-8，它所傳遞的能 量E為：dE = F-dr =非-dr = v-dp。式中：r表示 運動物體的位置；V則是該物體的運動速度。可見 動量流的空間積累效應(yīng)就是能量流。把單位時間 內(nèi)流過某一截面的能量定義為能量流強度Ie = dE/dt，而動量在攜帶著能量所形成的能量流強度 為：Ie = dE/dt = v - dp/dt = v - Ip = v - F，可見動量在 流動過程中傳遞的能量流強度就是我們熟悉的 功率。2對落體運動速度的計算對于我們生活中常見落體，在

13、中學(xué)階段只考 慮重力的作用，在大學(xué)階段還要考慮空氣的摩擦 阻力作用。設(shè)有一質(zhì)量為m的小球由靜止開始下 落，如果我們要確定它的速度隨時間變化的規(guī) 律，在經(jīng)典力學(xué)中，解題的順序通常是先對研究 對象進行受力分析，然后根據(jù)牛頓定律列方程求 解90在KPK中力就是動量流，解題的方法是先 分析對象的動量流，然后根據(jù)動量的連續(xù)性列方 程求解。取向下為動量正方向，對小球進行動量流分 析：因小球處于重力場內(nèi)，因此有動量流強度 Fg = mg從地球經(jīng)重力場流入小球10，式中，g為 重力加速度。小球因為運動與空氣發(fā)生摩擦，會 有動量的流失。一般認為因空氣摩擦而引起小球 的動量流失與速度成正比（即摩擦阻力與速度成正

14、比），設(shè)比例系數(shù)為k，因此有動量流強度Fm = kv 從小球流出進入空氣，如圖2所示。流出小球的動量流kv流入小球的動量流mg圖2落體的動量流圖Fig. 2 Momentum flow diagram of a falling body根據(jù)動量連續(xù)性可確定：流入小球的總動量 流強度等于小球的動量變化率，即：mg-kv = dp drdv m &分離變量并積分：dt = dv m &00 kmg kv解得：v = m （1 - ekt/m）k當tn時，解得收尾速度：v=mgk可見一個在空氣中下落的物體，盡管從重力 場流入物體的動量流強度是恒定的，使物體的動 量穩(wěn)定地增加。但由于物體與空氣之間存在

15、著摩 擦，導(dǎo)致動量的流失，流失的動量流強度隨著物 體運動速度的增加而變大。一旦流入物體的動量 流強度等于流出物體的動量流強度，小球的動量 將不再變化，達到一個穩(wěn)定的速度，此時物體的 速度稱為收尾速度（也稱極限速度）。收尾速度的 大小與k有關(guān)，而k主要取決于物體的外形和自 重。例如毛毛細雨飄飄然潤物無聲，收尾速度不 到1 m/s，而暴雨則擲地有聲，雨滴最大直徑5.5 mm 左右，最大收尾速度可以達到89 m/s。如果沒有空氣的摩擦，就不會有動量從物體 流出進入空氣，但始終有動量從地球經(jīng)重力場流 入物體，因此物體就不會有收尾速度。月球上沒 有大氣，因此所有物體都以同樣的加速度墜落， 片羽毛與一塊石

16、頭只要從同一高度出發(fā)，就會 以同樣速度落向月面。在地球上，如果我們把羽 毛與小塊石頭放入抽成真空的玻璃管中，同樣能 觀察到這一現(xiàn)象。3對跳傘員的速率分析高空跳傘是一項體育運動，跳傘員可以通過 操縱變換出各種表演花樣，令人賞心悅目。撇開 各種操縱因素，高空跳傘員相當于有水平初速度 為V的落體，跳傘員動量變化的途徑只有兩個： 伽由重力場流入的動量和因為摩擦而流失的動量。但是因為跳傘員從飛機上跳出時有水平速度，因 此牽涉到兩維運動，情況變得相對復(fù)雜，且一般 飛機飛行速度都大于跳傘員的第一收尾速度（沒有 開傘時的收尾速度約50 m/s）時，則跳傘員的速率變 化將更加豐富，值得探討。跳傘員由于運動，與空

17、氣發(fā)生摩擦而流失的 動量的狀況比較復(fù)雜，參照文獻11，可以認為流 失的動量流強度與速度的平方成正比，又因為牽 涉到兩維運動，所以動量流強度需要用矢量表 示。這樣，從重力場流入跳傘員的動量流為：Fg = mg0式中，g為重力加速度矢量。因為空氣摩擦 而流失的動量流為：Ip,out = kvv（ Ip,out = kvev） o式 中，ev表示運動方向的單位矢量，如圖3所示。流出跳傘員的圖3跳傘員的動量流圖Fig. 3 Momentum flow diagram of a parachutist根據(jù)動量連續(xù)性可確定：流入跳傘員的總動 量流強度等于跳傘員的動量變化率，即 TOC o 1-5 h z

18、m g - kvv =掣（1）dt寫成分量式（取飛機水平前進方向為x軸正方 向，取向下為y軸正方向）：-kvvx = -kv2 + v2 Vx = m 亨（2）mg - kvvy = mg - kjv% + W = m（3）由式（2）和式（3）所組成的方程組是有交叉項 的一階非線性齊次微分方程組，與用牛頓力學(xué)解 題得到的方程組完全一樣，數(shù)學(xué)上沒有解析解。 因此，文獻12用計算機逐點計算描繪出速率與 時間曲線，發(fā)現(xiàn)跳傘員在達到第一收尾速度之前 會出現(xiàn)一個極小速率，但在文獻12中并沒有對 這一現(xiàn)象進行更深層次的分析解釋，因為用牛頓 力學(xué)的原理難以對這一結(jié)果作出簡單明了的解 釋，這里KPK力學(xué)體系可

19、以有所作為。由于動量流是矢量，而流入與流出的動量又 不在同一個方向，分量中又存在交叉項，因此僅 利用動量流難以說出所以然來。但動量是能量載 體，動量流動時攜帶著能量，而能量流可以用來 確定速率的變化。這樣，動量流結(jié)合能量流，可 以對這一現(xiàn)象作出簡單明了的解釋。由重力場流 入跳傘員的能量流強度為Ie,in = v - Fg = mgVy，而由 摩擦流出跳傘員的能量流強度為Ie,out = |v - F 摩 | = kv3o如果飛機飛行速率大于跳傘員的第一收尾速 度，那么跳傘員出艙后，流失的能量流強度就大 于流入的能量流強度，因此跳傘員的速率在下 降，一直到流入與流出的能量流強度相等。即： mgVy = kv3時，跳傘員的速率將達到一個極小值。 盡管此時能量流維持平衡，但動量流并沒有平衡 （力沒有平衡），在水平方向只有動量的流出而沒 有動量的流入。因此，盡管速率v沒有變化，但 是水平方向速度分量Vx在減小而豎直方向的速度 分量Vy在增大，所以很快就會使能量流失去平 衡，出現(xiàn)mgVy kv3的狀況，即流入的能量流強度 大于流出的能量流強度。因而，跳傘員的速率將 會增加，直到水平方向速率為零，能量流再次取