概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第二章 離散型隨機變量(4.5)

1、第二章離散型隨機變量及其分布第四、五節(jié)2.4 二維隨機變量及其分布 1.聯(lián)合概率函數(shù) 2.邊緣概率函數(shù) 3.隨機變量的相互獨立性 4.條件概率函數(shù) 例如 新生入學(xué)體檢有兩個指標: 身高與體重, 對每個學(xué)生測量一次, 其結(jié)果就對應(yīng)一組有序數(shù) 戰(zhàn)士打靶的彈著點的位置可以用平面上點的坐標來表示.一、聯(lián)合概率函數(shù)定義2.2 給定一個隨機試驗, 是它的樣本空間, 如果 對 中的每一個樣本點 , 有一對有序?qū)崝?shù) 與之對應(yīng), 則稱向量 是二維隨機向量. 如果一個二維隨機向量只可能取有限個或可列個值,則稱其為二維離散型隨機向量.稱 設(shè) 的值域為為二維隨機向量 的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布律. 也可用表格形式表示

2、顯然 滿足下列條件例1 一口袋中有4個球, 依次標有數(shù)字1, 2, 2, 3. 從袋 中任取一球后, 不放回袋中, 再從袋中任取一球. 以 分別記第一、第二次取到的球上標有的數(shù)字, 求的聯(lián)合概率函數(shù)及概率值 .解 由題意, 隨機變量 的取值為 由乘法公式比如等, 類似可得:由概率函數(shù)表即得: 利用聯(lián)合概率函數(shù), 可求任意隨機事件的概率:例2 袋中有1個紅球, 2個黑球和3個白球. 現(xiàn)有放回地 從袋中取2次球, 每次取一個球, 以 分別表示取到的紅球、黑球與白球的個數(shù). 求: ;二維隨機變量 的聯(lián)合概率函數(shù).解 因又所以類似可以計算其它概率, 由此得到概率分布律例 袋中有六球，編號為從袋中取3球

3、, 以 表示取到球的最小編號和最大編號, 求 的聯(lián)合概率函數(shù).二、邊緣概率函數(shù) 對于隨機向量 , 分量 或 本身是一個（一維）隨機變量, 它的概率分布稱為 的關(guān)于 或 的邊緣概率函數(shù)或邊緣分布律. 設(shè)隨機向量 的聯(lián)合分布為隨機變量 的值域為 , 則 的邊緣概律函數(shù)或邊緣分布（律）定義為 隨機變量 的值域 , 定義 的邊緣概率函數(shù)或邊緣分布（律）為即有例3 一口袋中有5個球, 4個白的1個紅的, 無放回抽樣連摸兩次, 記第一次取到紅球,第一次取到白球,第二次取到紅球,第二次取到白球,試求: 的聯(lián)合概率函數(shù);分別求 與 的邊緣概率函數(shù).解 由乘法公式得到: 在上題中, 若作有放回抽樣, 求問題,

4、.解 同樣由乘法公式得到 以上例子說明, 由聯(lián)合分布可以決定邊緣分布, 但反之不然.例4 設(shè)隨機變量 與 有相同的分布律, 且 的概率函數(shù)為且 , 求 .解 由已知條件, 知隨機變量 的聯(lián)合分布有下列形式:再由邊緣分布得從而有因此例5 設(shè)隨機變量 的聯(lián)合概率函數(shù)如表所示:且已知 , 求 的值.解 由即知又由概率函數(shù)的性質(zhì)知:所以 如果等式 三、隨機變量的相互獨立性定義2.3 設(shè)隨機變量 與 的聯(lián)合概率函數(shù)為對所有的 都成立, 則稱隨機變量 與 是相互獨立的.兩個邊緣概率值的乘積.獨立性意味著, 在下表中, 交叉點的元素 是對應(yīng)的 例3中, 在有放回抽樣時, 隨機變量 與 是相互獨立的; 而在無

5、放回抽樣時, 與 不獨立. 由定義可知, 如果隨機變量 與 相互獨立, 那么由邊緣分布可以決定聯(lián)合分布.定理2.2 隨機變量 與 相互獨立的充分必要條件是:對于實數(shù)軸上的任意兩個集合 與 , 總有 定義2.4 如果隨機變量 的聯(lián)合概率函數(shù) 恰為 個邊緣概率函數(shù)的乘積, 即有則稱這 個隨機變量 相互獨立. 定理2.2可以推廣到 個隨機變量的相互獨立性上去. 因此當 相互獨立時, 這 個隨機變量中的任意 個也是相互獨立的 . 進一步 個隨機變量相互獨立保證它們兩兩獨立. 四、條件概率函數(shù)定義2.5 設(shè)隨機向量 的聯(lián)合分布為若對任意一個固定的則稱為已知 發(fā)生的條件下 的條件概率函數(shù)或條件分布（律）,

6、 記作類似地, 對任意一個固定的稱為已知 發(fā)生的條件下 的條件概率函數(shù)或條件分布（律）, 記作 條件分布也是分布, 易知 或 滿足例6 一整數(shù) 隨機地在1, 2, 3, 4四個整數(shù)中取一個值,另一個整數(shù) 隨機地在1至 之間取一個值. 求: 的聯(lián)合分布律; 或 的條件分布律解 由乘法公式:知:同理可計算其它概率, 由此得到由條件概率函數(shù)計算公式, 得到及例7 設(shè) 的聯(lián)合概率函數(shù)如下表所示:求條件分布 和解 先計算邊緣分布再由條件分布計算公式,得及例8 以 記某醫(yī)院一天中誕生的嬰兒個數(shù), 以 記其中男嬰的個數(shù). 設(shè) 的聯(lián)合概率函數(shù)為試求邊緣分布, 條件分布解 邊緣分布為由此得到條件分布:例9 某地區(qū)公安機關(guān)經(jīng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn), 交通事故由自行車造成的 占1/2, 由汽車造成的 占1/3, 由其它原因造成的 占1/6. 由自行車造成的引起輕傷 占1/2, 引起重傷與死亡 各占1/4; 由汽車造成的引起輕傷、