概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第二章 離散型隨機(jī)變量(4.5)

1、第二章離散型隨機(jī)變量及其分布第四、五節(jié)2.4 二維隨機(jī)變量及其分布 1.聯(lián)合概率函數(shù) 2.邊緣概率函數(shù) 3.隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 4.條件概率函數(shù) 例如 新生入學(xué)體檢有兩個(gè)指標(biāo): 身高與體重, 對(duì)每個(gè)學(xué)生測量一次, 其結(jié)果就對(duì)應(yīng)一組有序數(shù) 戰(zhàn)士打靶的彈著點(diǎn)的位置可以用平面上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示.一、聯(lián)合概率函數(shù)定義2.2 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空間, 如果 對(duì) 中的每一個(gè)樣本點(diǎn) , 有一對(duì)有序?qū)崝?shù) 與之對(duì)應(yīng), 則稱向量 是二維隨機(jī)向量. 如果一個(gè)二維隨機(jī)向量只可能取有限個(gè)或可列個(gè)值,則稱其為二維離散型隨機(jī)向量.稱 設(shè) 的值域?yàn)闉槎S隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布律. 也可用表格形式表示

2、顯然 滿足下列條件例1 一口袋中有4個(gè)球, 依次標(biāo)有數(shù)字1, 2, 2, 3. 從袋 中任取一球后, 不放回袋中, 再從袋中任取一球. 以 分別記第一、第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字, 求的聯(lián)合概率函數(shù)及概率值 .解 由題意, 隨機(jī)變量 的取值為 由乘法公式比如等, 類似可得:由概率函數(shù)表即得: 利用聯(lián)合概率函數(shù), 可求任意隨機(jī)事件的概率:例2 袋中有1個(gè)紅球, 2個(gè)黑球和3個(gè)白球. 現(xiàn)有放回地 從袋中取2次球, 每次取一個(gè)球, 以 分別表示取到的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù). 求: ;二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù).解 因又所以類似可以計(jì)算其它概率, 由此得到概率分布律例 袋中有六球，編號(hào)為從袋中取3球

3、, 以 表示取到球的最小編號(hào)和最大編號(hào), 求 的聯(lián)合概率函數(shù).二、邊緣概率函數(shù) 對(duì)于隨機(jī)向量 , 分量 或 本身是一個(gè)（一維）隨機(jī)變量, 它的概率分布稱為 的關(guān)于 或 的邊緣概率函數(shù)或邊緣分布律. 設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合分布為隨機(jī)變量 的值域?yàn)?, 則 的邊緣概律函數(shù)或邊緣分布（律）定義為 隨機(jī)變量 的值域 , 定義 的邊緣概率函數(shù)或邊緣分布（律）為即有例3 一口袋中有5個(gè)球, 4個(gè)白的1個(gè)紅的, 無放回抽樣連摸兩次, 記第一次取到紅球,第一次取到白球,第二次取到紅球,第二次取到白球,試求: 的聯(lián)合概率函數(shù);分別求 與 的邊緣概率函數(shù).解 由乘法公式得到: 在上題中, 若作有放回抽樣, 求問題,

4、.解 同樣由乘法公式得到 以上例子說明, 由聯(lián)合分布可以決定邊緣分布, 但反之不然.例4 設(shè)隨機(jī)變量 與 有相同的分布律, 且 的概率函數(shù)為且 , 求 .解 由已知條件, 知隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布有下列形式:再由邊緣分布得從而有因此例5 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù)如表所示:且已知 , 求 的值.解 由即知又由概率函數(shù)的性質(zhì)知:所以 如果等式 三、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義2.3 設(shè)隨機(jī)變量 與 的聯(lián)合概率函數(shù)為對(duì)所有的 都成立, 則稱隨機(jī)變量 與 是相互獨(dú)立的.兩個(gè)邊緣概率值的乘積.獨(dú)立性意味著, 在下表中, 交叉點(diǎn)的元素 是對(duì)應(yīng)的 例3中, 在有放回抽樣時(shí), 隨機(jī)變量 與 是相互獨(dú)立的; 而在無

5、放回抽樣時(shí), 與 不獨(dú)立. 由定義可知, 如果隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立, 那么由邊緣分布可以決定聯(lián)合分布.定理2.2 隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立的充分必要條件是:對(duì)于實(shí)數(shù)軸上的任意兩個(gè)集合 與 , 總有 定義2.4 如果隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù) 恰為 個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積, 即有則稱這 個(gè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立. 定理2.2可以推廣到 個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性上去. 因此當(dāng) 相互獨(dú)立時(shí), 這 個(gè)隨機(jī)變量中的任意 個(gè)也是相互獨(dú)立的 . 進(jìn)一步 個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立保證它們兩兩獨(dú)立. 四、條件概率函數(shù)定義2.5 設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合分布為若對(duì)任意一個(gè)固定的則稱為已知 發(fā)生的條件下 的條件概率函數(shù)或條件分布（律）,

6、 記作類似地, 對(duì)任意一個(gè)固定的稱為已知 發(fā)生的條件下 的條件概率函數(shù)或條件分布（律）, 記作 條件分布也是分布, 易知 或 滿足例6 一整數(shù) 隨機(jī)地在1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中取一個(gè)值,另一個(gè)整數(shù) 隨機(jī)地在1至 之間取一個(gè)值. 求: 的聯(lián)合分布律; 或 的條件分布律解 由乘法公式:知:同理可計(jì)算其它概率, 由此得到由條件概率函數(shù)計(jì)算公式, 得到及例7 設(shè) 的聯(lián)合概率函數(shù)如下表所示:求條件分布 和解 先計(jì)算邊緣分布再由條件分布計(jì)算公式,得及例8 以 記某醫(yī)院一天中誕生的嬰兒個(gè)數(shù), 以 記其中男嬰的個(gè)數(shù). 設(shè) 的聯(lián)合概率函數(shù)為試求邊緣分布, 條件分布解 邊緣分布為由此得到條件分布:例9 某地區(qū)公安機(jī)關(guān)經(jīng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn), 交通事故由自行車造成的 占1/2, 由汽車造成的 占1/3, 由其它原因造成的 占1/6. 由自行車造成的引起輕傷 占1/2, 引起重傷與死亡 各占1/4; 由汽車造成的引起輕傷、