概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：Ch3-1 連續(xù)型隨機(jī)變量與分布（1,2,3）

1、第三章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第一、二、三節(jié) 第一節(jié) 分布函數(shù) 第二節(jié) 概率密度函數(shù) 第三節(jié) 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量 在實(shí)際問(wèn)題中, 常常遇到這樣的隨機(jī)變量, 它們的值域是一個(gè)區(qū)間或若干個(gè)區(qū)間的并, 稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量. 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量, 我們常常并不注重它取某個(gè)值的概率, 而是更關(guān)心它落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率. 用什么來(lái)描述連續(xù)型隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性呢? 概率密度函數(shù)! 下面先引進(jìn)分布函數(shù)的概念.3.1 分布函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)定義3.1 給定一個(gè)隨機(jī)變量 , 稱定義域?yàn)?為隨機(jī)變量 的分布函數(shù).注 上述定義對(duì)任意的隨機(jī)變量而下;分布函數(shù)的值域范圍為 ;對(duì)任意的 , 總有例1 設(shè)一口袋

2、中有依次標(biāo)有 數(shù)字的六個(gè)球, 從中任取一球, 記隨機(jī)變量 為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字, 求: 的分布函數(shù) , 并作出 的圖像;計(jì)算概率值解 由古典概型計(jì)算方法, 容易得到相應(yīng)的概率分 布:若 則 為不可能事件, 因而若 則 所以同理, 當(dāng) 有當(dāng)所以, 分布函數(shù)為分布函數(shù)的圖像為由計(jì)算公式, 得到的分布函數(shù), 則: 定理3.1 （分布函數(shù)的性質(zhì)）設(shè) 是隨機(jī)變量分布函數(shù)單調(diào)不減;對(duì)任意的 , 分布函數(shù)右連續(xù); 進(jìn)一步, 分布函數(shù)的性質(zhì)刻劃了分布函數(shù)的特征.即: 如果某個(gè)函數(shù)具有上述四條性質(zhì), 那么它必定是某 個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2 在下列函數(shù)中, 哪一個(gè)可以作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)?A.B.C.

3、D. , 其中 . 解 因?yàn)?, 不能保證單調(diào)性, A錯(cuò); 所以C錯(cuò); D中函數(shù) 不確定, 所以D錯(cuò), 又B中正確答案為B.且易驗(yàn)證 , 單調(diào)不減, 右連續(xù). 故因?yàn)槔? 設(shè)隨機(jī)變量 和 的分布函數(shù)為 和為使 為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù), 則常數(shù) 和 必須滿足條件 .A.B.C.D.題解分析 由必要條件:定理3.2 對(duì)于任意的隨機(jī)變量 , 其分布函數(shù) 在 說(shuō)明: 對(duì)任意的故: 點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是 . 3.2 概率密度函數(shù)定義3.3 給定一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 , 如果存在一個(gè)定義域?yàn)?的非負(fù)實(shí)值函數(shù) , 使得 的分布函數(shù) 可以表示為那么稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù). 概率密度函數(shù)滿足下

4、面兩個(gè)條件: 這兩個(gè)條件刻劃了密度函數(shù)的特征性質(zhì), 即如果某個(gè)實(shí)值函數(shù)具有這兩條性質(zhì), 那么它必定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù).例4 如果 是某個(gè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù), 則下面函數(shù)中能夠成為另一隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是 .A.B.C.D.分析 構(gòu)成密度函數(shù)的必要條件是因 所以A錯(cuò); 取 易知這是一個(gè)概率密度函數(shù), 但是因此B錯(cuò); 令 . 這是密度函數(shù) , 但所以C錯(cuò).而 正確答案為 D.例5 設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為求常數(shù)解 由密度函數(shù)性質(zhì):又所以, 定理3.4（連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)） 設(shè) 是任意一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量, 與 分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù), 則: 是連續(xù)函數(shù), 且在 的連續(xù)點(diǎn)處,

5、有對(duì)任意常數(shù) 有對(duì)任意的兩個(gè)常數(shù) 有注 密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系猶如物理學(xué)中線密度與質(zhì)量之間的關(guān)系.由定理3.4的知, 對(duì)實(shí)數(shù)軸上任意一個(gè)集合 , 特別地,例6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 的概率密度函數(shù);求:系數(shù) 概率值解 由 在任一點(diǎn)的連續(xù)性知, 所以因函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),且其余部分所以例7 某城市每天的耗電率 服從下列密度確定的分布:如果該城市發(fā)電廠每天供電量為80萬(wàn)千瓦小時(shí), 那么任意一天供電量不夠需要的概率是多少?（耗電率定義為每天耗電量/百萬(wàn)千瓦小時(shí)）解 供電率為 (供電量/百萬(wàn)千瓦小時(shí)), 所求為例8 設(shè) 的概率密度函數(shù)為求 的分布函數(shù).解 當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí), 綜上

6、, 3.3 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量 1.均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為稱 服從區(qū)間 上的均勻分布, 記作密度函數(shù)圖形為: 顯然 , 這是直線上的幾何概率情形. 分布函數(shù)為分布函數(shù)圖形:例10 公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(guò), 乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的, 求乘客候車時(shí)間在1到3分鐘內(nèi)的概率.解 設(shè) 為等候的時(shí)間, 則 , 因此所求概率為: 2.指數(shù)分布 如果隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為則稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 記為 分布函數(shù)為 指數(shù)分布概率計(jì)算公式 設(shè)則例12 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布. 某顧客在窗口等待服務(wù), 若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).設(shè)某

7、顧客某天去銀行, 求他沒(méi)等到服務(wù)就離開(kāi)的概率.設(shè)某顧客一個(gè)月要去銀行五次, 求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率.解 設(shè) 表示等候服務(wù)的時(shí)間, 則 . 所求即為記 為該顧客在這五次當(dāng)中因未等到服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù), 則 . 因此所求概率即為 3.正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布, 記為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機(jī)變量.其中參數(shù) , 參數(shù) .正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形 正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:密度函數(shù) 的圖形關(guān)于 對(duì)稱; 當(dāng) 時(shí), 在 處取得最大值當(dāng) 較大時(shí), 曲線比較平坦; 當(dāng) 較小時(shí), 曲線比較陡峭.不同 的正態(tài)分布密度函數(shù)圖形 時(shí)的正態(tài)分

8、布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形當(dāng) 時(shí), 的值可以從附表4中查得（見(jiàn)課本 259頁(yè)至260頁(yè)）.當(dāng) 時(shí), 有公式 特別地, 例13 設(shè) , 查表求下列概率值: ; ; ; ; .解 查表得若 , 則 若 , 則特別地 例14 設(shè) , 求 解 查表得 正態(tài)分布的分位數(shù)計(jì)算 給定 , 查表可得數(shù)值 , 使稱 為隨機(jī)變量 的 分位數(shù).右圖為分位數(shù)的幾何意義!且當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí), 例15 求分位數(shù) .解 查表得例16 對(duì)給定的 , 問(wèn): 滿足條件的 是多少分位數(shù).解 由 , 知對(duì)給定的 , 問(wèn): 滿足條件的 是多少分位數(shù).解 由 , 知例17 某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明, 考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分解 本題中 未知, 但 可通過(guò)題中已知的條件制） 服從正態(tài)分布 且96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%, 試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率. 得到. 因 得即: 故所求概率為例18 設(shè)隨機(jī)變量 , 隨機(jī)變量 ,記則下面正確的是 .A.對(duì)任意實(shí)數(shù) , 都有B.對(duì)任意實(shí)數(shù) , 都有C.對(duì) 的個(gè)別值才有D.對(duì)任意實(shí)數(shù) , 都有正確答案 A題解分析 因 故對(duì)任意的例19 設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 , 服從正態(tài)分布 , 且則必有 .A.B.C.D.正確答案 A題解分析 因 即例