存在性問題模塊第二講等腰、直角三角形

1、 源于名校，成就所托 全日制課程初三教案模塊 存在性問題 第二講 存在等腰、直角三角形問題教學(xué)內(nèi)容概要：本講主要講解等腰三角形、直角三角形存在性問題，該題型也多與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合在一起，綜合性較強(qiáng)。 等腰三角形問題有兩個(gè)切入點(diǎn)，一個(gè)為邊，一個(gè)為角，常用的輔助線為底邊上的中線（底邊上的高），再根據(jù)三線合一的性質(zhì)及其他一些已存條件（比如角的銳角三角比）去求解；直角三角形問題往往是通過討論哪個(gè)角為直角入手，常用到的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、相似三角形、銳角的三角比等。教學(xué)目標(biāo)： 1、讓學(xué)生熟悉該題型的常用解題思路與方法。 2、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)幾何問題的分析能力、對(duì)方程的計(jì)算能力。 3、培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。 4

2、、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。重難點(diǎn)： 1、分析問題的靈活性及全面性。 2、計(jì)算環(huán)節(jié)的準(zhǔn)確性。 3、分類討論。 第一部分 例題經(jīng)典例1：如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).一直A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9C【點(diǎn)評(píng)】主要考查學(xué)生考慮問題的全面性。例2：已知，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，2）、B（-1，-2），點(diǎn)P在軸上且PAB是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P（x，0）則AP= BP= AB=5 當(dāng)P=90時(shí)，AP2+BP2=AB2 得x2-x-6=0 解得x1=3 x2=-2 當(dāng)A=

3、90時(shí) ，AP2+AB2=BP2 得6x=28 解得x= 當(dāng)B=90時(shí) ，BP2+AB2=AP2 得6x=-22 解得x=- 綜上，滿足條件的點(diǎn)有P1（3,0） P2（-2,0） P3（，0） P4（-，0） 【點(diǎn)評(píng)】本題從哪個(gè)角為直角入手，分三種情況討論，難度不大，計(jì)算過程中要細(xì)心。例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3,0），B（-1,0），C（0，-3），頂點(diǎn)為D （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；yxOABCD （2）在軸上找一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），使得，求點(diǎn)坐標(biāo).yxOABCD解：（1）y=x2-2x-3 頂點(diǎn)D（1，-4） （2）設(shè)OP=

4、m 過點(diǎn)D作DEy軸，垂足為點(diǎn)E. 若APD=90，可知AOPPED 則= = m2-4m+3=0 解得m1=1 m2=3（與點(diǎn)C重合，舍） m=1 點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-1）【點(diǎn)評(píng)】本題第2問代數(shù)法和幾何法皆可用，代數(shù)法即與例2相同，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，將AP、DP用兩點(diǎn)的距離公式表示出來，在APD中利用勾股定理求未知數(shù)，代數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)在于不容易漏解，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大；本題給出的方法為幾何法，運(yùn)用了一線三直角判定三角形相似，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式最后求出未知數(shù)，幾何法的優(yōu)點(diǎn)在于借助圖形觀察清晰可見而且計(jì)算量較小，缺點(diǎn)在于可能會(huì)出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。例4：已知：把RtABC和RtDEF按如圖甲擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E

5、重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上BAC = DEF = 90，ABC = 45，BC = 9 cm，DE = 6 cm，EF = 8 cm如圖乙，DEF從圖甲的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向ABC勻速移動(dòng)，在DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從DEF的頂點(diǎn)F出發(fā)，以3 cm/s的速度沿FD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P點(diǎn)停止移動(dòng)，DEF也隨之停止移動(dòng)DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接BQ、PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）解答下列問題： （1）設(shè)三角形BQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；(圖乙)(圖甲) （2）當(dāng)(圖乙)(圖甲)解：（1）ACB = 45，

6、DEF = 90，EQC = 45EC = EQ = t，BE = 9t 即： （）（2）當(dāng)DQ = DP時(shí)，6t =103t，解得：t = 2s. 當(dāng)PQ = PD時(shí)，過P作，交DE于點(diǎn)H， 則DH = HQ=，由HPEF , 則，解得s 當(dāng)QP = QD時(shí)，過Q作，交DP于點(diǎn)G， 則GD = GP=，可得：DQG DFE , ，則，解得s【點(diǎn)評(píng)】本題第2問的等腰三角形分類討論問題的解法很常規(guī)，在此三角形中已知了兩邊的表達(dá)式，而且這兩邊的夾角為定角，銳角三角比已知。那么第一種情況就可直接討論該兩邊相等，直接就可得到未知數(shù)的一個(gè)等式，從而去求解；后面兩種情況的方法是一致的，都是添加底邊上的高，

7、根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到平分，最后再根據(jù)相似三角形或者銳角三角比的相關(guān)知識(shí)列出等式，從而求解。例5：已知ABC為等邊三角形，AB=6，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），過點(diǎn)P作AB的垂線與BC相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，在ABC內(nèi)作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F(xiàn)在AC上， （1）設(shè)BP的長(zhǎng)為x，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域； （2）當(dāng)BP=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)； （3）GDP是否可能成為直角三角形？若能，求出BP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由. 解：（1）ABC為等邊三角形，B=C=60，AB=BC=AC=6. DPAB，BP=x，BD=2x

8、. 又四邊形DEFG是正方形，EFBC，EF=DE=y，PGDEFABPGDEFABC . （3） （2）當(dāng)BP=2時(shí)， （3）GDP能成為直角三角形. PGD=90時(shí)，DABCGPEFDABCGPEFGPD=90時(shí)，解得當(dāng)GDP為直角三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)為或者.【點(diǎn)評(píng)】本題中有特殊角，很多線段之間有相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，這大大降低了解題的難度。第3問中直角三角形分類討論問題只存在兩種情況，因?yàn)樵撊切沃杏幸粋€(gè)固定的角。在兩種情況下，把握好特殊角、相應(yīng)線段之間的比值關(guān)系是解答本問的關(guān)鍵，作圖能力也是本問考查的一個(gè)重點(diǎn)。例6：如圖，已知在直角梯形中，動(dòng)點(diǎn)、分別在邊和上，且線段與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

9、射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè) （1）求的值A(chǔ)BQCGFEPD （2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究四邊形的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)用的代數(shù)式表示四邊形的面積ABQCGFEPD （3）當(dāng)是以線段為腰的等腰三角形時(shí)，求的值解：（1）在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，又BQ=2DP， （2）不發(fā)生變化在BCD中，EFBC，而BC=13，又PDCG，CG=2PDCG=BQ，即QG=BC=13作EMBC，垂足為點(diǎn)M可求得EM=8 （3）作PHBC，垂足為點(diǎn)H（i）當(dāng)PQ=PG時(shí)， 解得（ii）當(dāng)PQ=GQ時(shí)，解得或綜上所述，當(dāng)PQG是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，x的值為、2或【點(diǎn)評(píng)】本題第3問還是有一定難度

10、的，因?yàn)樵搯栂薅司€段為腰，所以只需討論兩種情況，但是最后的答案其實(shí)是有3個(gè)，在這點(diǎn)上很多學(xué)生可能會(huì)漏解，鈍角三角形的情況容易被忽略。本題運(yùn)用代數(shù)方法去求解的話相對(duì)于幾何方法漏解的幾率會(huì)低很多。兩種情況下本題添加的是同一條輔助線，但是第一種情況利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，第二種情況是運(yùn)用了勾股定理。 第二部分 課堂練習(xí)1、已知點(diǎn)A（0，3）、B（0，-1），是等邊三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，作CDy軸，垂足為D 由已知可得AB=4，則AD=BD=2 則CD=2 點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，1） 同理，當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，C（-2，1）綜上C1（2，1）C2（-2，1）已知正

11、方形ABCD，試在該平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得PAB、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？試畫出圖形.解：如圖，以正方形頂點(diǎn)為圓心、正方形的邊長(zhǎng)為半徑作圓，圓的交點(diǎn)有8個(gè)，這8個(gè)點(diǎn)到4個(gè)圓心的距離都為半徑r.再加上中心點(diǎn)，一共是9個(gè)點(diǎn).3、在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線y=2ax2+ax-經(jīng)過點(diǎn)B （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式；A(0，2)OxyA(0，2)OxyBC(-1,0)解：（1）過B作BDx軸于D BCA=90 BCD=CAO=90-ACO 又BC=AC

12、，BDC=AOC=90 BDCCOA AO=DC=2 BD=OC=1 B（-3，1） （2）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式 解得a= 拋物線解析式為y=x2+x- （3）存在.如圖所示，假設(shè)ACQ是以AC為直角邊、CAQ的等腰直角三角形，過點(diǎn)Q作QHy軸，垂足為H 易證AHQCOA AH=1 QH=2 點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2,1） 將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線解析式 點(diǎn)Q不在拋物線上 同理 當(dāng)ACQ是以AC為直角邊、ACQ的等腰直角三角形時(shí) 可求得點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，-1） 經(jīng)驗(yàn)證 點(diǎn)（1，-1）在拋物線上 滿足題意的點(diǎn)有P（1，-1）如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFBC交CD于點(diǎn)

13、FAB=4，BC=6，B=60度 （1）求點(diǎn)E到BC的距離； （2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMEF交BC于點(diǎn)M，過M作MNAB交折線ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP=x當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H 在RtBEH中，BE=2，B=60，可求得EH= （2）不改變.在三角形PMN中，可知PM=，MN=4. 延長(zhǎng)MP交直線AD于點(diǎn)G，則MGAD，在RtMNG

14、中，MG=2，MNG=60，可求得GN=2 在RtPNG中，可PG=，GN=2，可求得PN= PMN的周長(zhǎng)為+4 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)，在CMN中，C=60，CMN=60，CMN始終為等邊三角形 由（1）可知BH=1，EP=BC-BH-CM=5-CM 當(dāng)PM=PN=時(shí)，可求得MN=3，CM=3 EP=5-3=2 當(dāng)MN=MP=時(shí)，CM= EP=5- 當(dāng)NP=NM時(shí)，可求得MN=1，CM=1，EP=5-1=4 綜上，x的值為2或5-或4 第三部分 課后作業(yè) A卷1、已知A（0，3）、B（4，0），在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)C，使為等腰三角形.2、如圖，拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，BCx

15、軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，AB平分CBOxyCBOxyA （1）求該拋物線的解析式； （2）若P在x軸下方，且PAB是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).3、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式； （3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)4、如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2

16、，將一個(gè)大小與B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E （1）求證：BPDCEP；（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，說明理由5、如圖，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBC于Q，過點(diǎn)Q作QRBA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)設(shè)BQx，QRy （1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)； （2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）； （3）是否存在點(diǎn)P，使PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足

17、要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由AABCDPQEHR B卷1、如圖，在中，點(diǎn)在上，過點(diǎn) 作，角的兩邊分別與、交于、（1）求的長(zhǎng)；（2）如果為等腰三角形，求的長(zhǎng)；2、如圖，已知拋物線y=ax 2bxc（a0）的對(duì)稱軸為x1，且拋物線經(jīng)過A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B （1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （2）在拋物線的對(duì)稱軸x1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；yOxABCxyOxABCx1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合）現(xiàn)

18、將PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將POE沿PE翻折，得到PFE，并使直線PD、PF重合 （1）設(shè)P（x，0），E（0，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)4、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上另一等腰OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OCAC，C120現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)

19、單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿AOB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止. （1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；AMCBNOAxy圖AMCBNOAxy圖AQCBPOAxy圖5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA4，OC2點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA （1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，DPA能否成為直角三