開放式示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組課件

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A4.4.1 Taylor級數(shù)4.4.2 函數(shù)展開成冪級數(shù)4.4.3 函數(shù)展開成冪級數(shù)的應(yīng)用4.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)第4章 無窮級數(shù)中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A4.4.14.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)4.4.1 Taylor級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 直接法4.4.2 函數(shù)展開成冪級數(shù)思考題 間接法Taylor(泰勒)級數(shù)的存在性Taylor(泰勒)級數(shù)的形式 習(xí)例1-3習(xí)例4-104.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)4.4.1 Taylor級數(shù) 函數(shù)展是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)？問題:1.如果能展開, 是什么?2.展開式是否唯

2、一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?一、Taylor級數(shù)是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)？問題:1.如果1. Taylor(泰勒)級數(shù)的形式 證1. Taylor(泰勒)級數(shù)的形式 證泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)定義問題泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義問題泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.可見在x=0點(diǎn)任意階可導(dǎo),可見在x=0點(diǎn)任意階可導(dǎo),2. Taylor(泰勒)級數(shù)的存在性證必要性2. Taylor(泰勒)級數(shù)的存在性證必要性充分性注意: 定理1告訴我們：若f(x)能展成x的冪級數(shù)，則此

3、冪級數(shù)就是Maclaurin級數(shù)；但反過來，若f(x)的Maclaurin級數(shù)在x=0的某鄰域內(nèi)收斂，卻不一定收斂于f(x).其斂散性應(yīng)進(jìn)一步考慮.充分性注意: 定理1告訴我們：若f(x)能展成x的冪級數(shù)，則二、函數(shù)展開成冪級數(shù)步驟：1. 直接法 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)步驟：1. 直接法 例 1 例 2 例 3 用直接法展開函數(shù)成冪級數(shù)習(xí)例例 1 例 2 例 3 用直接法展開函數(shù)成冪級數(shù)習(xí)例例 1 解例 1 解例 2 解例 2 解例 3 解例 3 解開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組牛頓二項(xiàng)展開式.牛頓二項(xiàng)展開式.注意:注意:2. 間接法(1)利用已知冪級數(shù)展式.(2)利用求導(dǎo)求積恒等變形等運(yùn)算轉(zhuǎn)

4、化為已知冪級數(shù) 展式來展開.(3)端點(diǎn)情況的收斂性重新考慮.2. 間接法(1)利用已知(2)利用求導(dǎo)求積恒等變形等運(yùn)算轉(zhuǎn)例 4 用間接法展開函數(shù)成冪級數(shù)習(xí)例例 5.例 6 例 4 用間接法展開函數(shù)成冪級數(shù)習(xí)例例 5.例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 例 7 例 8 例 9 例 10 例 4 解例 4 解開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組例 5 解例 5 解例 6 解例 6 解例 7 解例 7 解開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組例 8 解例 8 解例 9 解例 9 解例 10 解例 10 解開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組 思 考 題1. 函數(shù)處 “有泰勒級數(shù)” 與 “能展成泰勒級數(shù)” 有何不同