2006級(jí)離散數(shù)學(xué)ii試題答案

1、PAGE PAGE 3吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2002級(jí)本科離散數(shù)學(xué)I試題（A）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院簡(jiǎn)答題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）是；是。(a b)=(1 2)、(c d)=(1 2)或(a b)=(1 3)、(c d)=(2 3)或(a b)=(2 3)、(c d)=(1 3)。一定；不一定。不成立。有；0或6。不一定；不一定。是；不是是；不是。是；是。不一定。計(jì)算題【本大題共4小題，每小題5分，共20分】1、H=I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)；(1 3), (1 2 3), (1 3 4), (1 2 3 4) ; (

2、1 4), (1 2 4), (1 4 3), (1 2 4 3); (2 3), (1 3 2), (2 3 4), (1 3 4 2);(2 4), (1 4 2), (2 4 3), (1 4 3 2); (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 4 2 3), (1 3 2 4)2、1的周期是1，逆元是1；5的周期是2，逆元是5；7的周期是2，逆元是7；11的周期是2，逆元是11；真子群的個(gè)數(shù)是4。3、商式：3x4+3x3+2x2+x+6；余式：4。4、N2=2R=0,2,4,6,8,10,12,14,16；N3=3R=0, 3, 6, 9,12, 15；R/ N2=N2,

3、 1+N2；R/ N3=N3, 1+N3, 2+N3【10分】證明：對(duì)任意a, bR，已知半群(R , )中的每個(gè)元素都是等冪元，所以有(a+b)(a+b)=(a+b)。由分配律知(aa)+(ab)+(ba)+(bb)= (a+b)。而aa=a, bb=b，于是由加法交換律和結(jié)合律有(a+b)+(ab)+(ba)= (a+b)，在等式兩邊同時(shí)加上(a+b)的負(fù)元-(a+b)，則(ab)+(ba)=0，其中0是加法單位元。因此，在群(R , +)中ab和ba互為逆元，即有ab=-ba。因?yàn)榘肴?R , )中的每個(gè)元素都是等冪元，所以有ab=(ab)(ab)=( -ba)( -ba)= (ba)(

4、ba)= ba。即，滿足交換律，(R, +, )是交換環(huán)。證明：(1) 因?yàn)閍b，cd, 所以(ac)(bd)=acbd=(ab)(cd)=ac，故acbd。又(ac)(bd)=acbd=(ab)(cd)=bd，故acbd。(2) 設(shè)x, y為S中任意兩個(gè)元素，由于axb，ayb，由(1)知，a=aaxybb=b，a=aaxybb=b，即xyS，xyS，這說(shuō)明中的二元運(yùn)算關(guān)于S是封閉的，故是的子格。所以與等價(jià)的是與等價(jià)的的子格(1) 證明：如果它可約必為一次式與四次及以下因式乘積或二次式與三次及以下因式乘積的形式。（a）在R2上x(chóng)53x27是x5+x2+1，而f(0)=f(1)=10，所以它在

5、R2上無(wú)一次質(zhì)因式；（b）在R2上的二次質(zhì)因式只有x2+x+1，而x5+x2+1=x2（x+1）(x2+x+1)+1，所以它在R2上也無(wú)二次質(zhì)因式，因此它在R2上不可約，從而在R0上不可約。(2) 證明：取質(zhì)數(shù)p=2，因?yàn)?不整除a0=1，但2| a1=2，2| a2=10，22=4不整除a2=10，由E定則知f(x)在R0上不可約。(1)由于9=32，所以p=3, m=2。(1)首先求。(2)求在R3x中的2次質(zhì)式(x)。x4+1=(x2-x-1)(x2+x-1)=(x2+2x+2)(x2+x+2)= (2x2+x+1)(2x2+2x+1)= (-x2+x+1)(-x2-x+1)。無(wú)論取哪個(gè)

6、質(zhì)因式，所構(gòu)造出的9元有限域都是同構(gòu)的，所以不妨取(x)= x2+x-1。(3)若取=，則GF(9)=a0+a1| a0, a1R3=0, 1, -1, , 1-, -1-, -1+, 1+該域的加法表如下：011-1-1-1+1+0011-1-1-1+1+1-1+1-1-01-1+-1-1-1+0-1-1-1-1+-1+0-1-1-1+1-1+10-11-1-1+-11-1+1-1+-1-乘法表如下：011-1-1-1+1+0000000000111-1-1-1+1+1-1-1-1+1+11-1-1+1+1-1-1+1+11-111-1-1-1-1-1+-1-1+-1+證明：因?yàn)?Z4, 4)和(Z5, 5)都是群，所以由定理6.5.1知，如果是(Z4 ,4)到(Z5 ,5)的同態(tài)映射，則同態(tài)像(Z4 )是(Z5 ,5)的子群。(Z5 ,5)的元素個(gè)數(shù)為5是質(zhì)數(shù)，所以其只有兩個(gè)平凡子群，一個(gè)是(0 ,5)，另一個(gè)是(Z5 ,5)本身。如果令是Z4到Z5的函數(shù)，且(k)=0 (kZ4)。容易驗(yàn)證，是