二元一次方程整數(shù)解

1、關于二元一次方程的整數(shù)解第1頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四（一）二元一次方程：1定義： 只含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都為1，這樣的方程稱為二元一次方程。(linear equation of two unknown)lini i kwein nnn 第2頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四2二元一次方程的一般式：3二元一次方程解的概念：使二元一次方程的左右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四4、二元一次方程的正整數(shù)解問題。 一般來說，二元一次方程有無窮多解，

2、但在某些特殊條件下，解就可能是有限個了。 一般地，我們更關心二元一次方程的（正）整數(shù)解。第4頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四對于二元一次方程2x+y=8，若x=2時y= ， 則 是方程2x+y=8的一個正整數(shù)解.x=2y=44x=1y=6x=3y=2注意：一般地，二元一次方程有無數(shù)個解。但在實際問題中經常會遇到求方程的正整數(shù)解。請你寫出二元一次方程2x+y=8的其它正整數(shù)解 。知識拓展第5頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四 7第6頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四挑戰(zhàn)自己,你一定行(1)已知方程是二元一次方程,則a= b

3、= (2)如果 X=3y=1是二元一次方程kx+y=7的解,則k=3-32第7頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第8頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第9頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四 3. 求二元一次方程的正整數(shù)解： 方法一.先求出整數(shù)解的通解， 再解不等式組 方法二.用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù) , 求這個未知數(shù)的取值范圍，再用觀察法直接寫出正整數(shù)解. 第10頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第11頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第12頁，共23頁，202

4、2年，5月20日，17點56分，星期四第13頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第14頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四 不定方程(組)是數(shù)論中的一個古老分支，其內容極其豐富我國對不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國剩余定理近年來，不定方程的研究又有新的進展學習不定方程，不僅可以拓寬數(shù)學知識面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學解題的技能 如果未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，那么，一般來說，它的解往往是不確定的.第15頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四求不定方程x-y=2的正整數(shù)解

5、 解:我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，所以這個方程的正整數(shù)解有無數(shù)組，它們是 其中n可以取一切自然數(shù) 因此，所要解的不定方程有無數(shù)組正整數(shù)解，它的解是不確定的 第16頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四定理 如果a，b是互質的正整數(shù)，c是整數(shù)，且方程 ax +by=c 有一組整數(shù)解x0，y0則此方程的一切整數(shù)解可以表示為 其中t=0，1，2，3， 證 因為x0，y0是方程的整數(shù)解，當然滿足 ax0+by0=c， 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c 這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程的解 設x，y是方程的任一整數(shù)解，則有ax+

6、by=c. -得a(x-x0)=b(y-y0) 由于(a，b)=1，所以ay-y0， 即y=y0+at，其中t是整數(shù) 將y=y0+at代入，即得x=x0-bt 因此x， y可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程的一切整數(shù)解，命題得證 第17頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四求方程123x+57y=531的全部正整數(shù)解。解：方程兩邊同除以3得：41x+19y=177,所以x、y是整數(shù)，取x=2得y=5方程123x+57y=531的整數(shù)解為：因此方程123x+57y=531只有一組整數(shù)解(評注：本題是通過先探求一個特解，由

7、特解寫出通解，再由通解求出整數(shù)解，這也是求二元一次不定方程整數(shù)解的一般步驟。)第18頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四例題6求不定方程 的正整數(shù)解 。例題講解： 解：由題意可知: 07z23 故0z3; 即z=1, 2, 3. (1)當z=1時,其自然數(shù)解為x=2, y=4; x=5, y=2.(2)當z=2時,其自然數(shù)解為x=3, y=1.(3)當z=3時,顯然無自然數(shù)解. 所以原方程的自然數(shù)解為:(評注:此類三元一次不定方程的正整數(shù)解的求法是通過 系數(shù)最大的未知數(shù)的約束條件和分類討論的方法解答。) 第19頁，共23頁，2022年，5月20日，17點56分，星期四第20頁，共23頁，2022年，5月20日，1